CHAPITRE PREMIER

Les propriétés des nombres

1. Depuis les temps reculés où la spéculation mathématique a pris naissance, le nombre n*a cessé <l*en être Tun des objets principaux, l'une des données essentielles.

Entendons-nous bien cependant. Les nombres peuvent être envisagés sous plusieurs aspects, et l'intérêt qu'y prend le pur mathématicien est un intérêt d'une nature rare et spéciale que le génie grec a. soigneusement défini.

Le pur mathématicien ne cherche point à expliquer le nombre. Il admet que l'idée de nombre préexiste, parfaitement claire, dans l'esprit de tout homme de bon sens, et il laisse au philosophe ou au logicien le soin de rechercher les origines et le contenu exact de cette idée.

Le pur mathématicien ne s'attache pas davantage au mécanisme du calcul numérique. Contrairement à l'opinion vulgaire, le chiffre n'est pas son fait et ce n'est pas lui qui jadis en fut l'inventeur. Les premiers calculateurs ^irent des praticiens, des marchands, des ingénieurs. Pour » mathématiciens aussi, sans douté, le calcul est un auxiaire indispensable, mais ce n'est qu'un instrument, ce n'est as un but.

Supposons donc comme le fait un Pythagore ou un Platon, que nous soyons déjà maîtres de cet instrument, c'est-à-dire que nous sachions additionner, soustraire, naultiplier. diviser les nombres, extraire les racines, que nous sachions aussi former les fractions, les simplifier, les réduire au même dénominateur, les additionner, etc. Alors, étant à même de nous mouvoir à notre gré dans le monde des nombres, nous pourrons entreprendre de l'explorer et d'en découvrir les beautés cachées.

Entre les nombres il y a des relations, des parentés inattendues. Il y a des lois numériques, souvent saisissantes par leur simplicité, ou bien par les symétries, par les harmonies qu'elles nous révèlent. Ces lois, ces harmonies, constituent ce que l'on peut appeler les propriétés ou les vertus des nombres. Par quelques exemples nous pourrons nous faire une idée de leur caractère ainsi que des problèmes qui s'y rattachent.

SUITES DE NOM- 2. L'attention des créateurs de la BRES. SOMME science des nombres — les Pythago- D E S NOMBRES riciens — se porta particulièrement IMPAIRS ET DES sur certaines suites de nombres, se NOMBRES EN- succédant suivant certaines lois déter- TIERSi minées et jouissant en conséquence

^ de propriétés notables. Considérons par exemple la suite des nombres. impairs, 1, 3, 5, etc., qui se suivent de deux en deux. En représentant ces nombres respectivement par I par 3, par 5 points, etc., etc., disposés comme l'indique la figure I ci-contre, les Pythagoriciens ont découvert la loi suivante : la somme des nombres impairs, arrêtée par exemple au quatrième

■— ■ ■ ■ ■■■,— ■-...■-■■■ I. I ■■- ■ ■ ^■ »»■■ .1. I ■■■■■■■■■ — — ■ ■■ M II pi

de ces nombres — c'est-à-dire la somme 1 +3-1-5 + 7 — forme un carré (fig. 1 ) ; elle est égale au carré dont le côté a 4 points, c'est-à-dire au carré de quatre (ou, avec les notations modernes, . • . , ^ , # 4') , lequel est 1 6. De même la somme i'^ . i # • j des cinq premiers nombres impairs est •"•' i égale au carré de cinq et ainsi de suite. • •"< D'une manière générale, désignant par n ^ un nombre entier quelconque, nous pou- Fio. i

vons vérifier cette propriété : la somme des n premiers nombres impairs est égale à ri.

Si au lieu de considérer la suite des nombres impairs, - on considère la suite complète de tous les nombres, 1,2, ' 3, etc., on constate que la somme de ces nombres possède,

^ elle aussi, une belle propriété : la somme des n premiers ^ nombres est égale à la moitié du produit du nombre n par le nombre suivant (n + 1). (Ceci est vrai quel que soit le nombre n; par exemple, soit n pris égal à 5 :> l'énoncé ci-dessus veut dire que la somme 1+2 + 3 + 4 + 5 sera égale à la moitié du produit 5x6, soit à la moitié de 30, ou 1 5 ; on peut vérifier immédiatement qu'il en est bien ainsi.)

PROGRESSIONS 3. Une suite de nombres analogues à la A RIT H METI- suite 1, 2, 3, etc., ou 1, 3, 5, etc., mais QUESi d'un type plus général, est la « progres-

sion arithmétique » . Donnons-nous un premier nombre appelé « premier terme » de la progression, ^ et un autre nombre appelé raison. En ajoutant la raison au premier terme, nous obtenons un second terme de la progression; en ajoutant encore la raison à ce second

terme, nous obtenons un troisième terme; et ainsi de suite; de proche en proche nous formons une suite de termes ou de nombres qui est appelée progression arithmétique. Ainsi, par exemple, la progression arithmétique ayant pour |>remier terme 1 et pour raison 7. sera :