AB=: BC X BH

AC=BCxHC

D'après la remarque que nous avons faite au n^ 14* ces deux relations sont exactement équivalentes à des égsdités numériques ordinaires. On peut les additionner.

L'addition montre que la somme A B + A C est égale au produit de la longueur B C par sa somme B H + H C.

elle-même égale à B C. Donc la somme A B + A C égale

le produit de B C par B C, c'est-à-dire B C : Le carré

de r hypoténuse du triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Cette fameuse proposition, connue sous le nom de théorème de Pythagore, nous apparaît ainsi comme une conséquence de la théorie des proportions. On peut la présenter autrement en se plaçant au point de vue du n° 12. Le carré d'une longueur, en effet, c'est, nous l'avons vu, la grandeur superficielle du carré construit sur cette longueur (ayant cette longueur pour côté) . Le théorème de Pythagore exprime

donc le fait que sur la figure 18 la superficie du carré 1 est égale à la somme des superficies des carrés 2 et 3.

Une autre propriété quantitative remarquable, qui se rencontre, celle-là, dans un triangle quelconque (non nécessairement rectangle) e$t la propriété sui-vante : Soit A B C un triangle, A D la bissectrice de l'angle A, qui détermine sur le côté B C deux (( segments » B D et D C.

Il se trouve que ces segments sont proportionnels aux côtés A B et A C du triangle. En d'autres termes, on a la proportion