Soient X'X et Y' Y deux droites

parallèles coupées par une troisième droite

quelconque 7/ Z. Cette dernière droite

(souvent appelée transversale) forme avec

les deux parallèles huit angles

que j'indique sur la figure 1 1

par des numéros. En comparant

ces angles on constate : 1^ que

les angles 3 et 6 sont égaux de

même que les angles 4 et 5 (ces

angles sont dits deux à deux

aliernes-iniernes) ; 2® que les

angles 1 et 8 sont égaux de même que les angles 2

et 7 (ces angles sont dits deux à deux alternes^

externes) ; 3° que les angles 1 et 5 sont égaux de même

que les angles 2 et 6, ou 3 et 7 ou 4 et 8 (ces angles sont dits deux à deux correspondants (*) . — D'ailleurs ces propriétés ne se présentent que dans le seul cas où les droites X' X et Y' Y sont parallèles : ce sont des propriétés caractéristiques des droites parallèles.

IB 18. Tous les triangles jouissent d'une

ANGLES même propriété extrêmement simple et sai-

TRIANGLE sissante : la somme de leurs trois angles ■ est égale à deux angles droits. Ceci signifie

(conformément aux remarques faites plus haut au n° 1 1 ) que si, ayant un triangle quelconque ABC d'angles 1 , 2, 3 (voirfig. 12), on porte à droite de A C un angle C AE (angle 4) égal à l'angle 2, puis un angle £ A D (angle 3) égal à l'angle 3, la somme des angles 1 , 4, 5 vaudra deux angles droits; ce qui' revient k dire que les côtés A B et AD de Vangle-somme sont en prolongement Vun de Vautre {forment une même droite) .

Remarquons en passant que la droite A E, que nous devons construire pour former l'angle 4, jouit de la propriété d'être parallèle au côté B C du triangle. En effet, du fait que les angles alternes-internes 2 et 4, formés par la droite transversale C A avec les deux droites C B et A E, sont des angles égaux, il résulte que ces deux dernières droites sont parallèles (n° 17).

(*) Ajoutons que les angles tels que 1 et 4 ou 2 et 3 sont «gaux comme « opposés par le sommet ». Ce dernier fait qui concerne les angles formés par Z'Z avec X'X seulement (ou Y'Y seulement) «st indépendant des propriétés des droites parallèles.

DIVERSES 19. D'un sommet A d un triangle, abais-

PROPRIÉTÉS sons la perpendiculaire A H sur le côté

DES TRIANGLES opposé B C; joignons, d'autre part, A '""'~''"""""~"^'"" au milieu M de B C; menons enfin la droite A D qui divise en deux angles égaux l'angle BAC. Les deux droites A H, A M sont appelées respectivement hauteur et médiane du triangle relatives au côté B C ; la droite A D est appelée bissectrice de l'angle A. Construisant les droites correspondantes issues d^s

deux autres sommets B et C, du triangle, on constate les propriétés suivantes :

Les trois hauteurs d*un triangle se coupent en un même point

Les trois médianes d^un triangle se coupent en un même point

Les trois bissectrices d^un triangle se coupent en un même point

Un triangle qui a deux côtés égaux {triangle isoscele) jouit en outre de propriétés spéciales : les angles qui, dans le triangle isoscele, sont opposés aux côtés égaux (angles B et C sur la fig. 14) sont égaux; la bissectrice AD du troisième angle se trouve être en même temps hauteur et médiane relative au côté B C.

[ERES P R 0- 20. Un cercle ou circonférence est, comme iS DU CERCLE on sait une courbe plane dont tous les

points sont à égale distance d*un même point appelé centre du cercle.

Soient A et B deux points quelconques de la cftcon- \ férence (fig. 1 5) . La droite qui les joint est appelée corde. Elle jouit de cette propriété que si Von abaisse sur elle du centre du cercle une perpendiculaire O H, celte perpendiculaire la coupe en deux parties égales (le pied H de la perpendiculaire est au milieu de A B) .

Une droite telle que T' T (fig. 15), qui touche le cercle en un point unique C, est appelée tangente au cercle. Elle jouit de cette propriété que la droite ou ra}^on du cercle qui joint le centre au point de contact C est perpendiculaire sur elle.

Si nous joignons les mêmes points A et B à d'autres ^ points quelconques du cercle tels que D, E, nous obtenons des angles tels que A D B, A E B qui sont tous égaux entre eux (en d'autres termes, on a angle A D B =

angle A E B, et la valeur de l'angle A D B reste la même lorsque les points A et B demeurant fixes, le point D se déplace sur la circonférence) . Chacun de ces angles égaux est d* ailleurs la moitié de r angle A O B (obtenu en joignant A et B au centre du cercle) .

Dans le cas où la corde A B passe par le centre du Tcle (elle est dite alors « diamètre )) du cercle) , Tangle

Fig. 16

48 LES MA THÈMA TIQ UES

A C B obtenu en joignant A et B à un autre point quel-conque^ C, de la circonférence est toujours un angle droit (fig. 16).

QUELQUE^ PRO- 21 • Les propriétés que nous avons signa-

PRIeTeS QUAN» lées jusqu'ici ont un caractère qualitatif;

^TITATIVES DES aucune relation de grandeur n'y inter-

TRIANGLES. vient (en dehors de certaines égalités de

longueurs ou d'angles). Voici maintenant quelques propriétés mettant en jeu le calcul des « proportions )), dont nous avons parlé plus haut et ayant, de ce fait, un caractère quantitatif.

Soit A B C un triangle dont un angle (l'angle du sommet A ou angle A) est un angle droit. Ce triangle est dit triange rectangle (rectangle en A) : le côté B C, opposé

à l'angle droit, en est Yhy^poiénuse, Abaissons du point A la perpendiculaire A H sur B C (hauteur du triangle) . Entre les longueurs qui apparaissent alors sur la figure (fig. 1 7) , nous découvrons toute une série de relations remarquables :

La hauteur A H (c'est-à-dire la longueur de cette hauteur) est moyenne proportionnelle entre les deux segments quellç détermine sur Vhypoténuse (longueurs B H et H C) ; en d'autres termes (voir n® 14) , on a

AH=BHxHC

Le côté A B du triangle rectangle est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse B C et le segment B H

de cette hypoténuse. De même A C est moyenne proportionnelle entre B C et H C. Eji d'autres termes :