chapitre IV. e>l

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e par i.

FÏG. 42

fonction de x [car, si Ton pose })=sîn x, à toute valeur de X correspond une valeur de ^ (la valeur du sinus de la quantité x) ]. Cette fonction sera représentée par une courbe nouvelle, appelée sinusoïde, dont la forme est indiquée par la figure ci-çontre (*). La sinusoïde se

compose d'une série de bou- , des égales entre elles, ainsi qu'il était facile de le prévoir : en effet, quel que soit jc, on a, d'après la formule (6) du n° 51, où l'on remplace t par X, sin {lic+x) =sin x; de même sin (4tc +x) =szrf (2îc+x) =sin Xf etc.; la fonction sin x, après être passée par une série de valeurs pour x variant de à 27C, repasse par la même série de valeurs pour x variant de 2ir à 4 îT, puis encore pour x variant de 47u à Ôtu, etc.

D'une manière générale, en résumé, définir une courbe par une équation, c'est la définir par une fonction. Que cette manière d'interpréter les figures soit avantageuse et conduise tout droit à la découverte des propriétés géométriques les plus intéressantes, nous ne saurions en être surpris. Ne trouvons-nous pas partout, dans la science, de nombreuses questions où l'idée générale de fonction joue un rôle tout à fait fondamental ? La hauteur de -la colonne de mercure dans un baromètre dépend de l'altitude du lieu où est placé l'instrument; cela veut dire que cette hauteur barométrique est « fonction de l'alti-

(*) On remarquera que la courbe doit couper Taxe X'X pour X = 0, pour X =: TUi pour x •= 2 tu ; car on a sin = 0, de même sin TU = 0, de même sin 2 tu = 0.

tyde ». Le volume d'une masse de gaz à pression constante varie avec la température : ce volume est « fonction » de la température. Et ainsi de suite. De ces exenyjles, bien entendu, nous ne devons pas conclure que, si la notion de fonction est féconde en mathématiques, c'est parce qu'elle se trouve correspondre à des réalités physiques. Mais plutôt il faut admettre qu'elle dérive d'une forme de pensée très naturelle à notre intelligence, • qui s'applique aux choses des mathématiques comme aux choses de la physique.

66» Le long d'une droite ou courbe déterminée, avons-nous dit, — c'est-à-dire en tous les points de cette courbe — l'ordonnée est une certaine fonction déterminée de l'abscisse. Il est clair qu'au lieu de considérer 3? comme fonction de x, nous pourrions aussi considérer oc comme .fonction de 1;. En d'autres termes, lorsque deux variable sont fonctions l'une de l'autre; nous avons le droit de choisir celle que nous prendrons comme variable indépendante. Ainsi l'égalité x^'^yl^=/, qui définit p comme fonction de x (on a };=Vr^ — x'), définit également X comme fonction de 3; (on a jc= Vr^ — j') .

Nous pouvons aussi nous placer pour étudier la relation de jc et 3; à un point de vue légèrement différent.

Supposons que x et ^ soient deux fonctions d'une troisième variable, f, qui sera la variable indépendant*. Nous servant d'une notation très usitée nous exprimerons

fait par les égalités symboliques :

où / {t) et 9 (/) tiennent lieu d'expressions algébriques quelconques contenant la variable t et des quantités connues. A chaque valeur de t correspond, d'après les^ égalités (12), un couple de valeurs de x et i;, donc un poiat M du plan (d'abscisse x, d'ordonnée i;). Supposons alors que t « varie de moins l'infini à plus l'infini » de la manière indiquée au n° 64. Le point M, pendant, ce » temps, décrira une certaine courbe. Nous dirons que cette courbe est (c définie » par les deux fonctions / et 9. Cette façon de définir les courbes par deux fonctions

d'une variable auxiliaire t retint spécialement l'atlention. des géomètres à la fin du XVII® siècle. Elle s'introduit en effet très naturellement dans l'étude des problèmes de mécanique auxquels s'attachait Newton. Supposons que t représente le temps, et considérons sa variation depuis O (instant envisagé comme initial) jusqu'à plus r infini (temps infiniment -éloigné) . Dire qu'à chaque valeur de t correspond un point M du plan (de coordonnées X et yî) , c'est dire qu'à chaque instant dvt temps correspond une position M d'un certain point mobile (qui se meut cuivant une certaine loi à mesure que le temps

s'écoule) ; et dire que, lorsque t varie à partir du jour et de l'heure O, le point M décrit une certaine courbe, c'est dire que notre point mobile parcourt une certaine « trajectoire ». Les deux fonctions x=f (t) et 3; =9(0

qui définissent les variations de x et j; « en fonction du temps » font connaître les conditions du mouvement Et, selon les principes admis par Newton, ce sont ces conditions du mouvement qui doivent déterminer la forme, la grandeur et la position de la trajectoire. Toute courbe susceptible d'être la trajectoire d'un mobile se trouve

LES MATHÊMATICIU ES 137

^^»i^*— ^— ^^-^^^ W ■ ■ i'^^^^^- ■■ ■■ I M iM» ■■■■^p»^li ■■ Ml- ^^—a ■ ■■■ ^1 ■■ ■ — ■ ■ ^mm ■■ ■ ■- Il ■ - ■

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ainsi naturellement définie par deu:;^ fonctions du temps. Nous trouvons un exemple classique de ces remarques dans la théorie newtoniehne relative au mouvement de la. terre. Kepler a montré que la terre en une année décrit une courbe fermée dans un plan passant par le soleil. Choisissant dans ce plan un système convenable d*axes X' X et Y' Y ayant pour « origine » le soleil.

Newton constate que, lorsque le temps t varie de jour à 365 jours, les coordonnées x et j; de la terre sont deux fonctions du temps, / (t) et 9 (t) , liées entre elles par la relation

où a et b sont deux quantités constantes (qui ne varient

pas avec le temps) . De ces égalités on déduit que x et ^ vérifient" Téquation (11) du n° 61, donc que la « trajectoire » de la terre est une ellipse ayant pour foyer le soleil.

pËMVéES. 67. Nous comp^léterons ce chapitre en

I * définissant encore une notion fondamen-

tale, intimement liée d'ailleurs à la notion de fonction et aux considérations qui permettent de définir une courbe par une équation.

' Chacun sait que, lorsqu'on veut étudier l'allure et les

propriétés d'une courbe, il est fort utile de considérer

^, les droites tangentes à cette courbe. La position de la tangente en un point quelconque M de la courbe définit en effet la direction de la courbe au voisinage de ce

LES MATHÉMAriQUES,:

point. D'ailleurs, pour préciser cette direction, ' îl sera bon d'envisager non seulement la position de la tan^ gente, mais aussi son sens; et ce sens, on pourra le définir de la façon suivante : Supposons que nous mouvions M sur notre courbe dans un sens tel que son abscisse O P aille ^ croissant (sens de M vers M, sur la figure 43} ;

FiG. 43

nous conviendrons de dire que la direction de la tangente au point M est la direction de la droite. M T parcourue de M vers Mj.. De cette convention résultent aussitôt diverses remarques importantes relatives à la variation de l'abscisse (O P) du point M et de son ordonnée (P M) (fig. 34) . On voit que si la tangente en M est dirigée vers le haut, la courbe monte à

partir de M; donc, tandis que l'abscisse augmente (le point P se déplaçant vers la droite) , l'ordonnée augmente aussi. Si, au contraire, la tangente était dirigée vers le

bas, comme il arrive au point M^ de la figure, la courbe descendrait, et l'ordonnée diminuerait tandis que l'abscisse augmente. Quand la tangente est* horizontale comme au point Mj ou M», l'ordonnée passe par lu maximum (cas du point Mj) ou par un minimum {ci

du point M3). Pour ces raispns, et pour beaucoup d'autres, il est fort désirable d*avoir un procédé régulier permettant de déterminer, en un point quelconque d'une courbe quelconque, la tangente correspondante M T.

68. Dans ce but, prolongeons TM jusqu'à sa rencontre en S avec l'axe XOC et appelons a l'angle XST ou, plus précisément, sa mesure. On voit (]ue la droite M T sera entièrement déterminée icn position et direction si nous connaissons : \° les coordonnées x et y de M (donnant la position de M) ; 2° Vangle a. D'ailleurs les formules de la trigonométrie dont nous avons donné un aperçu aux n"" 50-51, montrent qu'au lieu de connaître directement Vangle cl il revient au même de

connaître le rapport (*) (voir à la fin du n" 51-

'^'^ ^ ' cos a ^

le sens qu'il faut donner aux mots sinus et cosinus d'un angle). Ce rapport de deux quantités algébriques (réelles) est lui-même une quantité . algébrique positive ou négative; nous l'appellerons « pente » de la tangente M T.

Cela dit supposons que le point M décrive une courbe (parcoure d'une course continue une courbe telle que celle de la figure 43). En chaque point M, avons-nous dit, nous avons trois éléments à considérer : les deux coordonnées x et ^ et la pente. Or, le long de la courbe, 1; est une fonction de x, et d'autre part, si l'on connaît

la courbe (c'est-à-dire la fonction 1; de x) , la tan-

{*) Ce rapport est appelé en trigonométrie « tangente de a » (voir n*^ 51)^ Nous évitons ici cette expression afin de ne pas employer simultanément le mot tangente dans deux sens différents.

gente M T, et par suite sa pente en un point M donné, seront déterminées; en d'autres termes, dès que x est donné, la valeur de ^ s'ensuit et aussi la valeur de la

pente ; d'ailleurs ces deux valeurs varient quand x varie ; donc la pente est, comme }?, une « fonction de x ». Conformément à une notation consacrée, nous désignerons la « pente au point M » pwir la lettre accentuée y', et lorsque nous représenterons par le symbole / (x) la fonction qui- définit la courbe, nous appellerons de même f (x) , avec un accent, la fonction qui définit la pente.

69, Entre les fonctions / (x) et f (x) [ordonnée et

pente] il y a une corrélation manifeste (puisque, dès que

la première est donnée, la seconde est aussi donnée). On peut mettre cette corrélation en évidence en faisant appel >' I "^ à des considérations algébri-

""X ^"^^ ^"^ ^^^ ^*^ développées, au XVII® siècle, par Pascal et Fermait d'abord, par Leibniz et Newton ensuite.

Soit, sur la courbe, un point M' voisin du point M (fig. 44) . La droite MM' est voisine de la tangente M T et s'en rapproche d'autant plus que M', sur la courbe, est plus près de M : on précise ce fait en disant que la tangente M T est la position-limite vers laquelle tend la droite MM' lorsque le point M', décrivant la courbe, se rapproche indéfiniment du point M (que l'on suppose ici rester fixe).

Il suit de là que la pente de la droite MM' (rap-

îir.

Fig. 44

port ^ ou P est l'angle M N*X de la figure 44) est

CQS p

très voisine de la pente de M T quand M' est très voisin de M. Menons alors, par M la parallèle à X'X, et par M' la parallèle à VY, droites qui se coupent erf J. D'après un théorème classique (n° I 7) l'angîe P est égal à Tangle M' MJ, et l'on peut démontrer de plus que le rap-

sin p , , J M' iv/i • .

port p- est égal au rapport iwi t"- Mais qu est-ce que

les longueurs J M', et M J ? La première est égale à la différence des ordonnées (P' M' et P M) des points M et M', la seconde à la différence des abscisses des mêmes points (O P' et O P) . D'où la règle suivante : « Faisons le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses de deux points voisins de la courbe M' et M; nous obtenons la pente de la droite M M'; lorsque M' 5e rapproche indéfiniment de M, la pente ainsi calculée devient la pente de la tangente MT ». Une analyse plus détaillée montrerait que cette règle est valable lors même que la différence d'ordonnées ou la différence d'abscisses considérée est une quantité négative (la fig. 44 représente le cas simple oii les deux différences sont positives) .

70. Etant donné que l'ordonnée j; est fonction de l'abscisse x, on peut présenter autrement la règle ci-dessus. Lorsque l'on passe du point M au point M', l'abscisse subit une certaine variation h que j'appelle êccroissement (l'accroissement peut d'ailleurs être négatif) ; en d'autres termes, de x qu'elle était, elle devient x+h (abscisse du point M') . D'ailleurs, quand l'abscisse passe dç x à

142 LES MA THÉMA TIQ UE Si

x+ht rordonnee de son côté passe de la valeur p à un^| vafeur'3;+^; elle subit donc un accroissement i^ (qui peutl être . négatif) . La pente de la droite M M', est le

rapport -y- des deux accroissements, et la pente de la

tangente^ est la limite vers laquelle tend ce rapport quand M' se rapproche de plus en plus de M, par conséquent, quand h devient de plus en plus petit.

Ce nouvel énoncé, un peu énigmatique au premier abord, devient très clair lorsqu'on l'interprète par quelques exemples.

Considérons la fonction 3;=Zx''+mx+n, qui représente une parabole (n® 60). Lorsque l'abscisse subit l'accroissement yh et devient x+fi, l'ordonnée devient :

l{x+hy^m{x+h) +n. c'est-à-dire (*) k'+mx+n+ 2lxh + lh*+mh. Donc (puisque j?=Zx'+mx+n), l'accroissement ^ que subit l'ordonnée est llxh-hmh'^lV. Le rapport -r- (obtenu en divisant 1^ par h) est égal à llx-hm+lh.

Et l'on voit que, lorsque h devient de plus en plus petit, ce rapport se rapproche de plus en plus de la valeur

2/x+m. Cette valeur est celle de la pente de la tangente MT au point M de la parabole qui a pour abscisse x.

[ Considérons pareillement la fonction }?=\/x+T, qui

représente une hyperbole [en effet, en élevant au carré les

U deux membres de l'égalité, nous en déduisons 3;'=x* — i

ou :f — y — 1 ; c'est l'équation (8) de l'hyperbole (voir

(*) Je remplace (x + /i)' par x'4-2/ix + /i* (idenrité (2) du n' 40). et je change Tordre des terme» de la somme.

d 1£5 MA THÉMA TIQ UES 143

tL^ 60) pour laquelle a=l, t=l]. Lorsque l'abscisse devient x+h, l'ordonnée subit l'accroissement

Je remarque que, d'après (*) l'identité (1) du n® 40, j'ai toujours :

(V(x+fi)'+l + V"?Tr) (\/(x+/i)*+1 -^ vn?+T)

= (jc+fi)^+l — x^— 1

Remplaçant dans le second membre (xH-A)'* par (**) x'-f;2/i + h\ supprimant les termes qui sont à la fois ajoutés et retranchés, et divisant les deux membres par

(V(xH-ft)'H-l + V x*+r) , ce qui ne détruit pas l'égalite, j ai : ^=

\/(x+/i)Hl +\^7Tr jt^ ^ 2x /

/» ""V(x+A)'+1 +VVTr

Lorsque h devient de plus en plus petit, ce dernier rapport se rapproche de plus en plus de la valeur

[ (*) J utilise celte identité en y faisant a = V (x + /i)" + 1 et

fc = V *' + h les carrés de ces racines carréçs sont naturellement les quantités figurant sous le si^e yT

(**) Identité (2) du n" 40.

1 44 LES MATHÉMA TIQ UES

Il I I ■ I 1 ■ .. .1. . w— ■ ■■ ■ ■ - -.^ - .. - — »1. ■ ■ ■ ^

C'est ^la valeur de la ï>ente dé la tangente au point de rhyperbole qui a pour abscisse x,

71. Il serait facile de multiplier les exemples ana- ' logues. D'une manière générale on cgnstate que, par une suite d'opérations assez faciles, on peut toujours calculer les pentes des tangentes relatives à une courbe ou fonction quelconque de Talgèbre. En d'autres termes, des procédés algébriques simples permettent de faire

correspondre à toute fonction / (x) une autre fonction^ que (suivant la notation indiquée au n® 68) nous

désignerons par f{x) , et qui représenté la pente de la tan- !

gente. Pour indiquer que l'on a affaire ici à un type ]

général de correspondance entre une fonction /(x) fet '

une autre fonction, on dit que la fonction /'(x) (pente j

de la tangente) est la dérivée de /(x) , et qu'inversement / (x) est la fonction primitive de f(x). On dit aussi que /(x) est une fonction intégrale, définie par Y intégration de la fonction f{x), tandis que f{x) est définie par la dérivation ou différentiation de /(x) .

72. Le calcul des dérivées dépend d'un ensemble de règles qui constitue un nouveau chapitre de l'algèbre (tout conune le calcul des logarithmes, ou le calcul trigonométrique) . Voici les plus simples de ces règles, par lesquelles on pourra se faire une idée des autres (toutes les règles peuvent être justifiées par des démonstrations rigoureuses) :

La dérivée d*une somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions,

La dérivée d^une quantité constante est (en effet, si

p no varie pas quand x varie, son accroissement k ^^t

toujours nul et le rapport ,- est nul quel que 3oit h),

La dérivée du produit d'une quantité constante a par

une fonction f{x) est égale au produit de a par la dérivée f{x) de f(x) [en effet, quand f(x) subit Taccrois^ sèment ^, le produit af{x) subit l'accroissement ak] .

La dérivée de la fonction i;=x* est égale à 2x. La dérivée de x' est égale à 3x'. La dérivée de x* est égale à 4x', et ainsi de suite.

En utilisant ces diverses règles, on obtient immédiate* men;t les dérivées des sommes (que l'on appelle en algèbre polynômes en x) telles que ];=3x^ — 5x* — 3«'H-2xH- 1'.

La dérivée est ici (*) y=3x4x" — 5x3x' — 3x2x+2 oui?''=12x\— 15x' — 6x+2.

On a, d'autre part, les règles suivantes : La dérivée

de la fonction — est égale à — — i. La dérivée de

3>= Vx est égale à ^ , — . La dérivée de la fonction (I) })=sin X est la fonction y^=cos x, La dérivée de la fonction y=cos x est y= — sin x, etc., etc.

73. Le calcul des dérivées sert à de très nombreux usages. L'une des applications les plus connues de ce calcul est celle qui a trait à l'étude du a sens de la variation des fonctions ».

Reportons-nous à la définition de la pente de la tangente, au n^ 68. En étudiant les signes de sin a et cos a,

(*) La dérivée de x (rapport de raccroissement de x à lui-même) est évidemment 1 . Donc la dérivée de 2 x est 2.

on reconnaît très facilement que, quand la tangente MT est dirigée vers le haut (voir fig. 43) , la pente est positive; quand la tangente est dérigée vers le bas, la pente est négative ; quand la tangente est^ horizontale, la pente est nulle. Dès lors les remarques que nous avons faites à la fin du n° 67 peuvent être formulées dans les termes suivants :• « Si la dérivée f(x) est positive, la fonction f(x) varie dans le même sens que la variable indépendante x; si elle est négative, la fonction et la variable varient en sens contraires; si la fonction passe par un maximum ou un minimum, la défivée est nulle, »

Nous verrons dans le prochain chapitre d'autres applications plus importantes du calcul des dérivées.