CHAPITRE VI

Les équations différentielles

74. Dans les premiers temps de l'algèbre, on pensait que l'objet suprême de cette science était la résolution des équations, c'est-à-dire le calcul des quantités inconnues vérifiant certaines égalités (voir n® 41). On s'est aperçu plus tard que le problème* des équations n'est qu'un cas particulier d'un autre problème beaucoup i^us général

et d'un intérêt tout différent; en effet, c'est surtout pour satisfaire des besoins pratiques que l'on s'est trouvé 'amené

à résoudre des équations ; au contraire le nouveau problème dont nous allons parler permet de découvrir des propriétés, des lois, qui nous font péi|étrer au cœur de la vérité mathématique et qui serviront de base à des conceptions théoriques fondamentales.

Le problème très général auquel nous 'faisons allusion a pour objet Vétude des propriétés des fondions qui satis^ font à certaines conditions données. D'ailleurs les conditions données constituent déjà des (( propriétés », en

sorte que notre problème revient au suivant : « Comme conséquence du fait qu'une fonction jouit de certaines

148 LÉS MA THÈMA TIQ UËS

propriétés, quelles sont les autres propriétés, corrélative^» qu'elle devra posséder en même temps? » Ajoutons que les conditions du problème sont supposées exprimées par des formules algébriques. La méthode à suivre pour avoir la solution consistera donc à opérer des. calculs sur des formules, afin d'en tirer des conséquences.

75. Eclairons tout de suite ces remarques par un exemple. Partons d'une égalité, dont le premier membre contient x, y et des quantités connues constantes, et^ dont le second membre est 0. On peut se proposer d'étudier la ou les fonctions ^ de x qui satisfont à une telle égalité. C'est ainsi que l'égalité x*-f y=r' (équation d'un cercle, voir n° 60) définit ur>e fonction ^ de x — très élémentaire et facile à étudier, celle-là — dont l'expression peut

s'écrire (*) p=vr— ôc (comparer n° 66).

Lorsque l'on envisage une relation d'égalité plus compliquée, comme par exemple :

(1) * x*+axy+fcy+c=a

où a, b, c sont des quantités «onnues, il se peut qu'on ne sache pas écrire d'emblée à quoi la quantité p doit être égale pour que la relation soit satisfaite; cependant une égalité telle que (*) indique toujours l'existence d'une certaine loi de correspondance entre x et i?; en d'autres .

(*) Pour être tout à fait précis, nous devons dire que VégalîU x' + p' = ï"' définit deux fonctions de x, savoir j> = -f" V '"' — *'

eX }f =z — V ï"' — *'» car, l'une ou Taulre de ces dernières égalités donne, en élevant un carré, j>" = r* — x*.

termes, ]; est, en vertu de cette égalité».' une certaine «* fonction de x » dont on peut rechercher les propriétés. On remarquera que le problème ainsi posé est la généralisation immédiate du problème plus particulier relatif à la résolution d'une équation à une inconnue. Dans l'équation ( I ) . en effet, regardons x comme une quantité connue et ]; conune T inconnue : la résolution de Téquation donnera la valeur de }f correspondant à une valeur quelconque de X. En d'autres termes, pour connaître la fonction }f de X envisagée, il suffit de savoir résoudre (*) Téquation (I) [par rapport à l'inconnue j^] pour toutes les valeurs Je x. *

Lorsqu'une fonction inconnue est déterminée par une égalité telle que (I), on dit qu'elle est définie implicitement (ou (( par une relation implicite ») . Le problème que l'on se pose consiste à exprimer et à étudier « explicitement )) ladite fonction ^.

76. II se présente en mathématiques bien' des manières de définir une fonction inconnue par des conditions algébriques.

Pour prendre un nouvel exemple, proposons-nous de trouver une fonction f(x) telle que, si l'on appelle x^ et Xj deux valeurs particulières quelconques de x, on ait toujours" :

(2) /(x.+xj =f{x,) +/(xj :

{*) Je signale en passant que c'est là une résolution d*équation que l'algèbre élémentaire ne sait effectuer que dune manière approchée : la présence de J7\ cinquième puissfuice de y, rend le problème extrêmement complexe.

150 LES MATHÈMATlCjUKS

en d'autres termes, la valeur prise par la fonction pour x=Xi+Xa doit toujours être égale à la somme des valeurs qu'elle prend pour x=Xi et pour x=X2. On constate qu'une solution du problème est la fonction ax, où a ost une quantité constante quelconque. En effet, si Ton pose /(x) =ax, on aura /(xj =axi et /(xj) =ax^ et, d'autre part, /(Xi + Xo) = a{xi + Xj) •= ax^ + ax^. Donc l'égalité (2 ) * sera bien vérifiée. On donne à l'égalité (2) lé nam d' « équation fonctionnelle définissant une jonction inconnue de x y>.

Nous aurions beaucoup à dire sur les équations fonctionnelles. Mais c'est en faisant intervenir le calcul des dérivées que l'on obtient, dans l'ordre d'idées ifîdiqué, les problèmes les plus remarquables, ceux qui conduisent aux résultats les plus nouveaux et qui sont le plus riches en conséquences.

Appelant toujours x la variable indépendante, désignons par ^ une fonction inconnue de x et par }?' sa dérivée (voir pour cette notation le n°' 68) qui elle-même est, comme nous savons, une fonction de x. Par rapport à x les deux quantités corrélatives ^ et };' sont des « variables dépendantes ». En particulier, il pourra arriver que les trois variables x, ^ et }/ soient liées par une certaine relation (ou égalité algébrique) . Cette relation constitue alors une condition à laquelle la fonction inconnue ]; est tenue de satisfaire et d'où l'on peut essayer de tirer, par le calcul, une expression explicite et diverses propriétés de ladite fonction. On appelle une telle relation « équation différentielle )), afin d'indiquer qu'elle fait intervenir une dérivée (voir n° 71).

Exemples. — Soit à trouver les fonctions y de

X satisfaisant à la relation ou équation différentielle :

que nous nous donnons a priori. Nous vérifions sans peine que, quelle que soit la quantité constante c (indépendante

de x) t la fonction ];=cx*+3 et sa dérivée satisfont à la relation (3) [en effet, la dérivée de ex' +3 est 2cx; or,

j. , o I r .• 2(]; — 3) o .^ ^ 2cx* SI t;=cx^ + 3, la fraction se réduit a ^ ou

2cx] . Inversement, on peut démontrer que les seules fonctions de x qui (avec leurs dérivées) vérifient l'égalité (3) , sont les fonctions obtenues en donnant à c toutes les valeurs possibles dans l'expression ^ = cx''+3. Nous dirons donc que l'ensemble de ces fonctions constituent les <( solutions » de l'équation différentielle (3) .

Soit proposée pareillement l'équation différentielle

Je constate que, quelle que soit la valeur de la constante c, la fonction ^ = V x"" — c satisfait à cette équa- *tion [en effet un calcul semblable à celui du n** 70 mon-

tre que la dérivée de V xT — c est " 7 g — ; elle ^ V X — c

est donc égale à — L

■ A.-- ■■■■■ 1. ■! ——1^ I M ■ - ■ ■ I ■ ^— ^<MW^i^^^» ■ ■ Il * — — ■■-■-■■ ■ ■ ■■

77* Donc, d'une manière générale, nous appellerons équation différentielle toute égalité algébrique — équation — contenant la variable indépendante, une

fonction inconnue et sa dérivée (*) et autant de quantités connues (constantes) que Ton voudra. Une relation contenant plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées sera également appelée équation différentielle, mais à elle seule elle ne suffira pas à définir les fonctions inconnues; en général, il faudra, pour que celles-éi soient toutes déterminées par les conditions du problème, que Ton ait autant d'équations difiérentielles qu'il y a de fonctions inconnues. Ainsi, par exemple, la recherche de deux fo'hctions inconnues p et z satisfaisant avec leurs dérivées }/ et z' aux deux équations di£Férentielles

z — hl

est un problème qui a im sens précis et comporte des solutions déterminées. Les équations sont notanunent satisfaites (le lecteur le vérifiera sans peine) par le couple

de fonctions v= — et z=x — — .

78. La dérivée 3?' d'une fonction }; de x est, nous l'avons vu, une fonction de x. A ce titre elle a elle-même une dérivée (fonction de x dite « dérivée seconde

{*) Dans certains cas, ces trois éléments ne figureront pas toi explicitement dans Téquation différentielle.

de p) que je désigne par p". On peut imaginer qu'une fonction inconn\ie ^ soit définie p^tV une relation contenant non seulement x, i;, y' et des quantités constantes, mais aussi ^^\ Une telle relation sera dite « équation diflférentielle du second ordre ». Résoudre Téquation, ce sera ici encore, trouver les fonctions p qui y satisfont. i\insi, par exemple, on vérifie facilement que Téquation différentielle

admet pour -solution (*) la fonction p=ax*+ix, icjuellés^ que soient les valeurs données aux quantités constantes

a et b.

Plus généralement, il peut arriver que deux fonctions inconnues soient définies par deux équations différentielles du second ordre contenant ces fonctions, leurs dérivées et leurs dérivées « secondes ».

Et Ton peut imaginer' des équations différentielles plus compliquées encore.

79. L'étude des équations différentielles fournit la clef de nombreux problèmes mathématiques. Toute notre mécanique, notamment, et par suite une grande* partie de notre physique, reposent sur cette étude, et c'est pourquoi les équations différentielles occupent une place d'honneur dans le système de calcul mathématique institué par Newton et ses successeurs.

Il est facile de voir qu'en effet la notion de dérivée est

(*) Si, en effet, jjz=ax* + tx, on a J?'=2ax + t et J?''=2a, et par, suite : 2 ax* =i 2 x {2 ax -{- b) — 2 ax* — 2 bx.

très intimement liée aux idées et aux principes fondamentaux de la science diT mouvement.

Considérons un point matériel mobile sur l'axe yY el supposons que pendant un certain intervalle de temps, soit entre l'hetire t et l'heure <+/i, ce point mobile par- , coure un intervalle MM', c'est-à-dire

aille d'un point M d'ordonnée y à un .^ point M' d'ordoniiée i;+i^. On appelle

^ ' communément « vitesse du mobile pen-

dant l'intervalle de temps h » le rap-

* port -v" de l'espace parcouru au temps

FiG. 45 du parcours. Mais, si l'intervalle de

temps a une certaine étendue, rien ne

dit que le mouvement du mobile ne soit pas très irrégulier

entre M et M^ auquel cas la connaissance du rapport -7—

ne nous renseignera que très grossièrement sur la véritable allure du mobile (ce rapport définit seulement l'allure moyenne du mobile). Pour que la notion de vitesse devienne applicable à des mouvements irréguliers, il faut que les intervalles de temps servant à la définir soient extrêmement petits. Supposons, plus précisément, que nous considérions à partir de l'heure t un intervalle de temps (heure t à heure t+h) de plus en plus petit; lorsque cet intervalle se rapproche indéfiniment d'un intervalle nul,

le rapport -,- s'approche, quant à lui, d'une certaine

grandeur qu'on appellera vitesse du mobile « à V heure t » ou (( au temps t » . Ainsi l'on dira, par exemple, qu'un train a, à 14 heures 03, une vitesse de 30 kilomètres à

Theure; à 14 heures 06 le même train pourra être animé d'une vitesse différente (telle que 40 ou 60 kilomètres à f rheufe) .

On voit que la vitesse à V heure t, telle que le sens commun nous la fait définir, n*est autre chose que la dérivée y' de Vordormée y calculée pour la valeur t de ^ la variable [comparer la définition de la dérivée donnée i au n° 70] . Cette définition de la vitesse s'impose immédiatement à nous lorsque, nous plaçant au point de vue du n° 66, nous considérons le mouvement comme un déplacement qui s'opère en fonction du temps^ c'est-à-dire, dans le cas présent, lorsque nous regardons V ordonnée y

comme une fonction (*) de la variable t.

Allons plus loin. L'ensemble des faits physiques que

nous connaissons nous conduit à considérer une force

mécanique s'exerçant sur un point matériel mobile comme

un agent qui a le pouvoir de modifier la vitesse du mobile,

quelque court que soit le temps pendant lequel il opère.

En d'autres termes, une force agissant à l'heure t est ce

[ qui produit, dans une certaine direction, et pendant un

! intervalle de temps h aussi petit que l'on veut (de l'heure t

\ à l'heure f+/i) une variation, un accroissement de la

[ vitesse. Or nous avons vu au chapitre V que la variation

d'une fonction est caractérisée par la pente de la tangente

à la courbe correspondante, c'est-à-dire par la dérivée

^ (n**" 67 et 73) . Il est donc naturel de supposer que la

force agissant sur un mobile est en relation directe avec

la valeur de la dérivée de la vitesse de ce mobile. En

(*) Le lecteur est prié de prendre garde au fait que dans ce numéro et les suivants la quantité regardée comme variable indépendante est désignée par t{lc temps) et non plus par x (cf. n° 66),

particulier dans le cas où le mouvement est rectîligne et se fait sur l'axe Y'^Y, on constate que la définition conventionnelle suivante de la force conduit à des conséquences qu*ont confirmées presque exactement toutes les expériences : « La force est une grandeur proportionnelle à la masse du point matériel mobile (on peut dire si Ton préfère : à son poids) et aussi à la dérivée de la vitesse du point, c est-à-dire à la dérivée de la dérivée de Vor^

donnée }) ou « dérivée seconde de y » (selon la définition du n^ Z8, mais la variable indépendante étant ici / au lieu de x). D'ailleurs on doniKe à la dérivée de la vitesse le nom d'accélération, et Ton dît, par conséquent : « La force est proportionnelle à la masse et à l'accélération du point mobile ».

Cette définition, encore une fois, est conventionnelle et approximative, et il paraît même probable aujourd'hui, que nous allons être obligés de l'abandonner; mais toute la mécanique et toute la physique édifiées depuis Newton jusqu'à notre époque sont fondées sur elle.

80. Adoptant donc la définition ci-dessus, supposons que la force qui fait mouvoir notre mobile (sur Y' Y) nous soit connue, et qu'elle soit d'ailleurs variable avec l'heure et avec la position du mobile : ladite force est alors une certaine. /oncfîon connue de l'heure t et de l'ordonnée i;, et à cette fonction l'accélération du mobile, ou dérivée seconde ];", est proportionnelle. On a donc l'équation différentielle.

(5) p" ^ expression algébrique contenant i et }^

qui exprime les conditions du mouvement. Pour « et

dier » le mouvement d*après ces conditions, c'est-à-dire pour calculer la position du mobile (l'ordonnée yi) à une heure quelconque, il faut trouver une fonction p= 9 (l) [comparer n** 66] qui satisfasse à Téquation différentielle (5). Ainsi l'étude du mouvement rectiligne d'un point, soumis à une force connue se ramène à la résolu" iion d'une équation différentielle du second ordre (n** 78) .

81. Dans le cas où le mouvement s'effectue, non pas le long d'une droite (telle que Y' Y) mais sur une courbe quelconque dans un plan, le problème se pose dans des termes un peu plus complexes, mais fort analogies.

Définissons, dans le plan du mouvement, la position d'un point M quelconque par ses coordonnées x et ^ relatives aux axes X' X et Y' Y, l'un horizontal, l'autre vertical. Déterminer le mouvement de M, c'est, conmie nous l'avons vu au n** 66, trouver les deux fonctions du temps, x=f (t) et ^=9(2), auxquelles x et ^ sont égales. ^

Appelons P et Q les projections de M sur X' X et Y' Y (voir n** 57 et fig. 34). Lorsque M se meut dans son plan, le* point Q est mobile sur l'axe Y' Y; il a à chaque instant (conformément aux définitions cidessus) une certaine vitesse (dérivée i?') et une certaine accélération (dérivée seconde ^'^) . De même le point P

se meut sur la droite X' X, en sorte que la longueur O P (abscisse x) est ici une fonction du temps; le point P

a une vitesse (qui est la dérivée (*) de x, soit x') et

(*) X étant ici une fonction de la variable <, a une dérivée qui se définit exactement comme la dérivée de p.

une accélération (qui est la dérivée seconde de x, soit x^ . Nous dirons que la vitesse et l'accélération du point Q sont la vitesse verticale et V accélération verticale du point "mobile M et que celles du point P en sont la vitesse horizontale et Y accélération horizontale.

Cela dit, l'analyse des conditions qui caractérisent V ^/ l'action des forces physiques conduit à

r /\ admettre les principes que voici : 1° Toute force agissant sur M dans le plan considéré produit un effet équivalent à celui que pro-

FiG. 46 duiraient deux autres forces s* exerçant sur M, l'une verticalement. Vautre horizontalement et proportionnelles, Vune à Y accélération verticale. Vautre à Vaccélération horizontale de M; 2° Les deux tprces ainsi définies, dites composantes de la force proposée, peuvent être déduites de celle-ci d'après la règle suivante (règle de la décomposition des forces) : Supposant la force donnée représentée par une grandeur M F (son intensité) portée à partir de son point d'application sur sa ligne de direction, construisons un rectangle de sommet M ayant MF po(îr diagonale : les côtés M H et MV de ce rectangle (fig. 46) seront les forces composantes cherchées.

82. Ces principes admis, supposons commues la force et ses composantes, et regardons-les comme fonctions de rhewre t et aussi de la position du mobile M (c'est-à-dire des coordonnées x et ^) . Alors, en raisonnant comme au n° 80, nous pouvons écrire, deux équations différentielles :

s^. i /'= expression contenant t, x et y ( j''= expression contenant ^ x ç( y

qui définissent les conditions du mouvement. Les fonctions x=f (t) et ];=9(0 que nous recherchons seront des solutions de ces équations. Ici encore, par conséqu^t, l'étude du mouvement se ramène à l'étude d*équations différentielles, et il en est encore de même dans le cas plus général où le mobile que Ton considère ne se meut pas dans un plan, mais bien sur une ligne courbe quelconque dans l'espace à trois diniensions.

A titre d'exemple, indiquons comment s'écrit dans le

langage des équations différentielles ^

le problème du mouvement des planètes

étudié par Newton.

Supposant que toute planète, la terre

par exemple, est attirée vers le soleil par unte force inversement proportionnelle fig. 47

au carré de la distance. Newton démontre d'abord que la terre circule dans un plan. Dans ce plan prenons pour « origine des coordonnées » le soleil et pour axe X'' X la droite qui passe par les points de la trajectoire de la terre qui sont respectivement le plus près et le plus loin du soleil (périgée et apogée) ; appelons r (cf. n° 61) la distance du soleil à la terre pour une position M quelconque de celle-ci (de coordonnées X et };) . Le théorème de Pythagore montre que, quel que soit M dans le plan, on a toujours l^=x^^-l;^ D'ailleurs la force cjui attire la terre vers le soleil est dirigée suivant M O et, d'après l'hypothèse newtonienne,

elle a pour intensité — ^ , la quantité ^ étant un certain

facteur constant (indépendant du temps) . De la règle de la « décomposition des forces » on déduit alors

m L ES MATHÉMATIQUE S

* " - ■ ■ ■ T " - -*■ — ■ ■■-■■ — -■--■■'■■■' ■ ■ — ■ ■ ■ ■ ... — ■■ ■ I. ■ ■ ■■■II. ■ ■ ^

facilement que les composantes horizontale et verticale

de cette force ont respectivement pour grandeurs •^- • — • r r

^ k V , . ,. kx kv kx

et -y- . — - , c est-a-dire — 3— et —y- ou r r r r

et TTTTITTT^T^^ puisque Ton a r= Vx'+y. En consé-

quence on obtient comme équations exprimant les conditions de mouvement les deux équations :

kx m jc =

(x +i?') Vx +3? (m masse de

k}^ la terre)

'"^"" (x'+y) Vlc'+V'

Ce sont là deux équations différentielles du second ordre, dont la résolution fait connaître les coordonnées X et i; sous forme de fonction du temps. On trouve comme résultat un couple de fonctions x=/ (/) et ];=<p (f) satisfaisant à la relation (13) du chapitre V et Ton en déduit (comme nous l'avons montré au n** 66) que la trajectoire de la terre est une ellipse; conclusion qui se trouve d'accord avec les observations astronomiques.