CHAPITRE VII

La théorie des fonctions

85* En passant en revue, dans les chapitres précédents, quelques-unes des grandes voies où s'est engagée la pensée mathématique depuis l'époque de Platon, nous avons vu ressortir de plus en plus nettement l'importance du rôle joué par la notion de fonction dans les théories les plus diverses. Les fonctions sont au monde mathématique ce que les lois sont au monde physique. C'est par elle que s'expriment les correspondances, et par conséquent les harmonies des figures et des grandeurs. L'étude des courbes remarquables, telle que la concevaient les anciens, c'est l'analyse de certaines fonctions.^ Les formules de l'algèbre (où entrent des lettres, c'est-à-dire des quantités pouvant prendre des valeurs variables) , ce sont autant d'expressions de certaines quantités algébriques, fonctions d'autres quantités. Les logarithmes, les sinus, les cosinus sont des fonctions d'un type particulier. L'étude des équations différentielles repose en fin ,de compte sur la définition et sur les propriétés de certaines familles de fonctions. Ainsi, à chaque tournant de la science, on voit la fonction reparaître, et c'est pourquoi

l'Analyse moderne a été amenée à constituer une fois pour toutes une théorie systématique des correspondances fonctionnelles. Cherchons à nous faire une petite idée de l'objet de cette théorie, qui est le couronnement de tous les travaux mathématiques dont nous avons parlé au cours de ce livre.

86. Une fonction, c'est en principe une loi de correspondance entré plusieurs quantités — deux au moins — variant simultanément. Partant de cette idée très générale, nous pouvons la préciser de diverses manières. Ainsi nous pouvons supposer que la variable indépendante varie avec continuité de moins V infini à plus r infini de la manière indiquée au n^ 64. Cela revient à considérer x comme une abscisse O P dont

l'extrémité P décrit un axe X'X. Si la variable dépendante 37 (fonction de x) est elle-même toujours réelle, on peut, si l'on veut, la considérer comme l'ordonnée d'un point d'abscisse x, et la fonction 37 de x est alors représentée par une courbe (n° 64 et suivants) . Les fonctions qui se prêtent à ce genre de représentation sont d'un type particulièrement intéressant : ce sont elles qui interviennent dans tous les calculs de la géométrie analytique et c'est à elles que nous nous sommes borné dans les deux chapitres qui précèdent On peut cependant faci- . lement concevoir des types de fonctions différents. Supposons, par exemple, que nous écrivions la suite des nombres premiers en les rangeant par ordre de grandeur : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc, et appelons f{n) le n® nombre premier dans la suite ainsi écrite. Nous pouvons considérer / (n) comme une fonction de n, — la variable indé-

LES MA THÈMA TIQ UES 1 69

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pendante n variant ici non plus comme tout à Theure, <l*une manière continue, mais cTune manière discontinue en prenant la suite des valeurs 1, 2, 3, 5, etc. Pareillement, nous pourrions imaginer des fonctions / (x) qui soient définies et définies seulement pour les valeurs rationnelles de X (voir n® 38) ; pour de telles fonctions, la variable indépendante varierait encore de façon discontinue (*). -

'87« Une hypothèse d'une autre nature que l'on peut faire — avec profit — sur la variable x consiste à supposer que celle-ci ne prend pas seulement des valeurs réelles mais aussi des valeurs imaginaires ou complexes (quantités complexes au sens du n° 47). Expliquonsnous. Lorsqu'on introduit dans la science les quantités imaginaires, c'est tout d'abord pour envisager des expressions dépendant de quantités réelles (des (c fonctions de quantités réelles )> telles que f{x) ) qui éventuellement cessent d'être réelles. En d'autres termes, on part de données réelles, mais on rencontre, au cours des calculs effectués, certaines fonctions imaginaires que, pour les raisons indiquées au chapitre IV, on juge avantageux de considérer. Dans l'hypothèse à laquelle nous faisons

{*) Si, en eftet, nous regardons x comme abscisse OP, nous ne pourrons pas suivre la variation de / (x) en mouvant P de bout en bout sur la droite X^X, puisque pour toutes les valeurs irrationnelles

de X telle que \/2, \/3, etc., / (x) sera inexistant : il nous faudra faire sauter x par- dessus ces valeurs. — > On peut également concevoir des fonctions \f =z f {x) qui sont, elles, déEnies pour toutes les valeur de x, mais sont telles que, quand x varie avec continuité, p varie d*une manière discontinue en sautant par-dessus certaines valeurs.

maintenant allusion, on pousse beaucoup plus loin la fiction et l'initiative. Ici, en effet, on s*attaque à des problèmes oii l'une des données principales — la variable indépendante x — est elle-même imaginaire. Dans quel bût fait-on donc cette singulière hypothèse? Parce que l'on s'aperçoit que l'on peut ainsi rendre plus apparentes

les parentés des fonctions et leurs propriétés caractéristiques. En étudiant les fonctions dans le « champ imaginaire )) comme dans le « champ réel », on découvre des faits mathématiques extrêmement importants qui mettent à nu d'une façon inespérée la structure et, si l'on peut ainsi dire, l'anatomie de ces êtres abstraits et mystérieux que nous dénommons des « fonctions )).

Voici par exemple deux fonctions — i r et > , i

qui, par leurs formules, se ressemblent beaucoup, mais qui, par leurs propriétés, sont à première vue très dissemblables. La première devient infime pour deux valeurs de X (x= 1 et X — 1) [en effet pour ces deux valeurs,

la différence x' — 1 devient 0; or le r apport -tv- est infi-

ment grand (*) .] Au contraire la fonction » , | , dont le

dénominateur ne s'annule pour aucune valeur (réelle) de x, ne devient jamais infinie quand x est réel. Supposons, pourtant, que X puisse prendre des valeurs imaginaires complexes. En ce cas, x prendra notamment les valeurs i et — c (racines carrées de — 1, voir n® 47) pour lesquelles

{*) Puisque le rapport — devient de plus en plus grand lorsque

n devient de plus en plus petit.*

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X* 4-1=0; et alors » , , deviendra infini. Donc cette propriété, très caractéristique, que possède la fonc^

tien —5 r ^^ devenir infinie pour deux valeurs de x (et

deux seulement) , la fonction , . < la possède aussi.

Partant de là, et poursuivant l'analyse des propriétés des deux fonctions, on reconnaît — fait qui était masqué lorsque Ton se limitait au « champ réel )> -r- que les deux fonctions appartiennent sans nul doute à la même famille.

88. On apercevra peut-être mieux la portée de la théorie des fonctions de variables complexes si Ton a recours à un certain mode de figuration géométrique qui se présente très naturellement à Tesprit. Une quantité complexe c'est, d'après la définition du n° 47, la somme d'une quantité ordinaire et d'une quantité ordinaire multipliée par 1. Désignons les deux quantités ordinaires — qui seront ici des variables — par les lettres x et }?, et appe-

lons désormais z la quantité {ou variable) complexe eUemême (*). c'est-à-dire posons z=x+i^. Nous pouvons considérer que les deux quantités réelles x et ^ définissent un point M (le point qui dans un plan donné a pour

abscisse x et pour ordonnée 37) . Suivant cette manière de voir, à toute « valeur » de la variable z correspondra

(*) Ainsi la variable indépendante dont dépendent les fonctions que nous étudions, sera dorénavant appelée z et non plus x; et la quantité x qu'au n° 87 nous supposions pouvoir être complexe sera désormais toujours réelle.

une position bien déterminée^ et réciproquement à toute position de M correspondra une et une seule valeur de la quantité complexe z ; nous exprimerons ce fait en disant

qu'une quantité complexe z équivaut à un point, ou même Y. — pour parler d'une façon plus con-

^1 cise encore — nous dirons que z est

I* un point. Ainsi, par exemple (fig. 48) ,

"lîî^T ^ la quantité 1 +2î est le point M^

d'abscisse 1 et d'ordonnée 2 ; la quan-

F IG. 48 •#/>• 1 • n>ii»i* '^

tite Zi est le pomt M2 d abscisse 2 et d'ordonnée — 1 , etc. ; les quantités réelles, qui forment un groupe particulier spécial de quantités complexes sont elles-mêmes des points : ce sont les points de l'axe X'X, dit axe réel.

Cela posé, que sera-ce qu'une fonction de la variable z? Ce sera une quantité algébrique dont la valeur variable sera déterminée par la position variable « du point z » ; en d'autres termes, ce sera une fonction d'un point variable dans un plan. Désignons une telle fonction par /(z) . En général, /(z) sera une quantité complexe que l'on pourrait, elle aussi, figurer par un point. Mais nous

réserverons ce mode de figuration pour la variable z, et nous définirons /(z) en termes algébriques, comme étant égale à u + fv, forme générale des quantités complexes; les quantités u et v seront ici réelles et toutes deux des variables, fonctions de la position du point z.

Ces diverses conventions étant admises, on peut faire aussitôt deux remarques. La première, c'est que si l'on réussit à faire line étude complète de la fonction /(z) , on déterminera par là même les propriétés de la fonction de variable réelle f {x) à laquelle /(z) est égale pour z=x

(c'est-à-dire pour les valeurs réelles de z, dont Tordonnée p est nulle) . La seconde remarque, c'est qu'en élargissant par les considérations indiquées ci-dessus le champ de la théorie des fonctions, on accroît considérablement la souplesse de cette théorie. Ainsi, par exemple, considérons deux valeurs réelles de z, soit z=Xi et z=Xj, représentées par deux points Mj et Ma de l'axe XOC. Dans la théorie élémentaire, z ne peut varier d'une manière continue entre ces deux valeurs que d'une seule façon (en parcourant la série des valeurs réelles intermédiaires). Dans la nouvelle théorie, au contraire, le point variable z pourra aller de z=Xi à z^Xj par tous les chemins que l'on peut tracer, dans le plan, entre les deux

points Ml et Ma; et cette circonstance nous fournit de nouveaux points de vue, de nouveaux moyens d'investigation pour l'étude des fonctions /(z). Nous aurons également la faculté d'étudier la façon dont se comporte /(z) pour les points z intérieurs à des « régions » variées du plan, choisies et délimitées comme il nous P'aira. Par cet artifice, il nous arrivera de découvrir diverses propriétés extrêmement saisissantes, extrêmement fertiles en conséquences, dont nous ne nous serions autrement jamais avisés. A titre d'exemples je vais indiquer brièvement quelques-uns des faits les plus saillants que l'on a obtenus de cette manière. L'exposé de ces faits nous conduira au seuil de l'un des chapitres les plus nouveaux et les plus suggestifs de l'Analyse mathématique contemporaine.

89. Nous avons défini au n° 50 le sinus et le cosinus d'une quantité réelle. Nous avons montré plus loin com-

ment les quantités sm t et cos t peuvent être consîdi comme des sommes de séries convergentes à tice in! de termes (séries (13) et (12) du n" 54). En nous rant à ces séries, nous pouvons dé£ntr d'une n cise ce qu'il convient d'entendre par sin

que z est une quantité complexe quelconque : sin z et cos z seront des fonctions de z dont les valeurs seront données (dans les conditions indiquées au n" 54, c'està-dire avec une approximation arbitrairement grande) par les égalités (*) :

Pour les valeurs particulières de z qui sont des quantités réelles, le sinus et le cosinus ainsi définis coïncident exactement avec le sinus et le cosinus du n" 50. D'ailleurs

on peut démontrer que les égalités (6) du n^ 30, qui caractérisent le sinus et le cosinus réels, sont vraies aussi

lorsque z est complexe, en sorte que Ton a toujours (^) » quel que soit z,

(3) sin (z+lrs) = sinz; cos (z+2'k) = cos z

Marquons , alors sur Taxe réel X'X les extrémités des abscisses 27u, 4w, 6w, etc. et — 2w, — 4w, etc., et par ces extrémités menons les parallèles à l'axe Y'Y. Nous divisons ainsi le plan en une série de bandes parai" lèles toutes identiques à celle que nous couvrons de hachures sur la figure 49. Dans toutes ces bandes les fonctions sin z et cos z prennent exactement la même série de valeurs. Plus précisément, soit M un point quelconque de la première bande; sur la parallèle à XOC menée par M portons les longueiu's MM^ et MM, égales à Itç ou

- — 2w ; le sinus et le cosinus prennent alors aux points Ml et Ma la même valeur quau point M; de même au point Ma, situé à la distance 4ic de M, et ainsi de suite. Ainsi, il suffira de connaître les fonctions sin z et cos z dans Vune des bandes parallèles pour les connaître partout Les deux fonctions « se réproduisent y> quand z passe d'une bande à l'autre, fait que l'on exprime en disant que ces fonctions sont périodiques (**) .

90. En se plaçant à un point de vue semblable on peut définir une famille de fonctions plus nouvelles et

(*) Revoir au n° 50 la définition précise du nombre w. "

{**) De là résulte en particulier la propriété fondamentale de la « sinusoïde y^ que nous avons énoncée au n^ 65.

plus curieuses, qui sont elles aussi dites périodiques ou, plus précisément, bipérioJiques, A, chacune d'elles correspond dans le plai^ de la variable z un réseau de parallélogrammes (fig. 50) tels que la fonction se reproduise (repasse par la même série de valeurs) lorsque l'on passe d'un parallélogramme à un autre. Ainsi il suffit de connaître la fonction dans un parallélogramme (tel que le

parallélogramme ABCD couvert de hachures sur la figure) pour la connaître partout. Plus précisément, soit

Fig. 50

M un point quelconque du parallélogramme haché; de M menons des segments de droite Mm et Mn, Mp et Mq, parallèles et égaux aux côtés AB et AC du parallélogramme et de sens différents : les fonctions f(x) auxquelles nous faisons allusion ont la propriété de toujours prendre aux points m, n, p, q la valeur qu elles ont au point M.

Les fonctions bipériodiques ainsi définies ont reçu le nom de « fonctions elliptiques )>. Il en existe une grande variété, car on peut faire varier ad libitum le réseau de parallélogrammes qui détermine la « périodi-

cité )) des fonctions, et à chaque réseau correspondent, d'autre part, plusieurs familles de fonctions el iptiques. Indépendamment de leur particularité fondamentale, les fonctions elliptiques possèdent de nombreuses propriétés et elles interviennent dans de nombreux problèmes. Ainsi, on démontre que l'équation différentielle

où ];'* désigne le carré de la dérivée de p et où a, t, c. d sont des quantités constantes (indépendantes de x et ];) , a pour « solutions » des fonctions elliptiques.

.91 • D'autres fonctions encore ont la propriété de se reproduire dans une série de régions de formes régulières dont l'ensemble recouvre le plan de la variable z. Telles sont, par exemple, les fondions modulaires.

Marquant sur l'axe X'X les points 1, 2, 3.... et — 1, — 2, divisons le plan en bandes parallèles à OY (conlme plus haut au n° 89) . Menons ensuite des demicirconférences ayant pour diamètres les segments de X'X qui vont de 2=0 à z=l, de 2=1 à z=2, etc. Nous obtenons, au-dessus de ces déhii-circonférences, et entre les parallèles a Y'Y, une première série de régions telles

que la région couverte de hachures; dans chacune dfe ces régions la fonction dite modulaire prend une et une seule fois toute valeur possible, et elle se reproduit lorsque z passe d'une région à l'autre.

Marquons maintenant sur l'axe XOC les points

-^ ' "t"' "T"» ^^^•» ^^ — "T"» — "T" » ^*'^'» ^ menons les

demi-circonférences ayant pour diamètres les segméits de

XOC qui vont de à-sp, de -y à 1, de 1 -à -y, etc.

Nous obtenons, entre les nouvelles demi-circonférences et les précédentes, une deuxième série de régions limitées , chacune par trois demi-circonférences (telle que la région couverte de, points sur la figure 51); la fonction modulaire se reproduit périodiquement lorsque l'on passe de l'une à l'autre de ces régions et, pareillement, lorsque l'on passe d'une région quelconque de la première série à une région quelconque de la seconde série.

Ce n'est pas tout Entre les demi-circonférences tracées en dernier lieu et l'axe X'X, on peut encore tracer une troisième série de demi-circonférences ayant pour diamètres les segments de l'axe XOC limités aux points et

-T"^ '^~€t -j-, -y- et ~j-, etc. (voir sur la ng. D I les quatre

premières) ; on obtient ainsi une troisième série de régions comprises entre la deuxième et la troisième série de circonférences; et, en appliquant indéfiniment le même procédé, on construira indéfiniment de nouvelles séries de régions. Eh bien, dans chacune des régions ainsi définies la fonction modulaire se reproduira elle-même, y prenauit une et une seule fois toute valeur possible.

Il ■ ■ I . I II •—

92. Les fonctions modulaires ont été l'objet de nombreux travaux pendant la seconde moitié du XIX° siècle. C'est vers 1880 seulement qu'Henri Poincaré s'aperçut qu'elles ne formaient qu'un groupe particulier d'une classe de fonctions beaucoup plus générales qu'il a bapti-* sées fondions fuchsiennes; celles-ci, d'ailleurs, ne sont elles-mêmes qu'une branche d'une famille encore plus étendue, la famille des fonctions automorphes.

Une fonction fuchsienne f{z) a la propriété de se reproduire elle-même dans une série de régions qui recouvrent le plan de la variable z (ou au moins une partie de ce plan) et dont chacune est limitée par certains arcs de cercle construits (et placés lés uns par rapport aux autres) suivant des lois régulières. Une telle région est appelée polygone curviligne (*). Algébriquement, la propriété fondamentale des fonctions fuchsiennes se traduit comme il suit : On se donnera un certain nombre de fractions de

la forme — j-r (où a, fc, c, d sont des quantités constan-

cz-rd

tes) , soit par exemple trois fractions (convenablement choisies) :

C^Z'\'di CaZ + Ja C^Z + d^

A ces fractions correspondent des fonctions fuchsiennés f{z) telles que, si Von désigne par t une quantité complexe quelconque, la fonction f(z) prend la même valeur

{*) Ainsi la région couverte de points sur la fig 51 est un polygone à trois côtés ou triangle curviligne;, les polygones curvilignes relatifs aux fonctions fuchsiennes ont en général plus de trois côtés.

m LÉS MATHÉMATIQUES

pour 2=f et pour 2= , , ainsi que pour z= r

®^ ^~ " °i i j' ' Ainsi est exprimée quantitativement la

loi d'après laquelle se correspondent les points corrélatifs des régions où la fonction se réproduit périodiquement.

Les fonctions modulaires sont, comme je l'ai dit, des cas particuliers de fonctions fuchsienues. De même les fonctions elliptiques (*) . Un grand nombre d'autres fonctions fuchsiennes et automorphes interviennent dans divers problèmes essentiels de l'Analyse moderne.

93. Il n'y a pas quarante ans qu'en promenant leurs regards sur l'univers mathématique, les savants y ont découvert les fonctions fuchsiennes et automorphes. El pourtant la structure de ces fonctions n'est-elle point d'une régularité et d'une beauté qui auraient ravi jadis les géomètres grecs? Pour les conquérir, ceux-ci n'eussent-ils pas été prêts à déployer tous leurs talents, à mettre en œuvre toutes leurs ressources, s'ils avaient su de tjuel côté il fallait chercher. Ce trésor, cependant, leur fut. refusé. Les Grecs, en effet, ne possédaient point les moyens d'investigation dont lious disposons aujourd'hui. Ils n'avaient pas comme nous su faire de l'algèbre une machine à grand rendement. Ils manquaient de la hardiesse nécessaire pour introduire dans la science des notions fictives comme celle

(*) On voit aussitôt que si l'on ne conserve que les deux premières fractions ci-dessus et si, de plus, on suppose que a^, a,, d^ et J, sont nuls, et que c^ et c, ont pour valeur 1 , la fonction f uchsienne devient une fonction bi- périodique au sens du n° .90. — Les longueurs OA et OB du n** 90 auront alors pour valeurs b^ et b^.

de nombres imaginaires. D'autre part ils avaient de l'objet des mathématiques une conception noJ[>le mais étroite. Encore trop esclaves de leurs sens, et trop attachés aux arts plastiques et à la musique, ils recherchaient trop exclusivement la beauté des formes géoihétriques et l'harmonie des rapports numériques. Aux savants de notre

époque était réservé de reconnaître qu'en étudiant pour elles-mêmes, dans l'abstrait, et en" dehors de toute figuration matérielle, les propriétés des choses mathématiques, on peut découvrir des vertus, des coïncidences, des lois, aussi admirables que celles dont se délectaient les Grecs, eti par surcroît, plus générales. Les vérités mathématiques doilt nous obtenons ainsi la révélation, personne ne les avait encore aperçues depuis que la terre existe. Et, pourtant, elles sont de tous les temps, et désormais elles procureront des satisfactions intellectuelles à des milliers de générations. Est-il besoin de chercher d'autres raisons pour nous convaincre qu'elles sont précieuses?