Ainsi se présente, en gros, la déduction df

Newton. Il n'est pas inutile de signaler que, pour la pousser dans le détail, on est amené à modifier quelqu* peu la forme algébrique que nous venons de donner ai

problème. Usant des ressources que nous offre la technique du calcul, on ne s'attaque pas d'emblée aux équations (7) , mais on introduit d'autres équations algébriquement « équivalentes », où figurent d'autres variables (ou inconnues) . Ainsi, il est clair que, puisque les coordonnées X et ^ sont fonctions de temps, la distance r du

soleil à la terre, égale à VT+jT» est ellcrmême fonction de ^' elle a donc une dérivée que nous désignerons par r'. Envisageant cette fonction, on peut démontrer, 'que, si les équations (7) sont satisfaites, — c'est-à-dire ; dam Vhy^pothèse newtonienne, — la fonction r et sa dérivée satisferont à Véquation différentielle suivante :

OU /, n, p sont trois quantités positives constantes (indépendantes de t et de r). Cette équation ne contient plus qu'une fonction inconnue et peut donc être étudiée isolément (cf. n° 76). Elle ne renferme d'ailleurs pas de dérivée seconde, circonstance qui en facilite considérablement la résolution (*) .

Dans la nouvelle théorie de la gravitation proposée par Einstein, la distance r du soleil à la. terre vérifie une équation différentielle analogue, savoir l'équation :

{*) En fait, d*ailleurs, cette équation elle-même ne sera pas étudiée directement ; on lui substitue encore une autre équation équivalente.

l^p— a^^^— ^— ^■^— ^^^^^— l»^!! I ■ ■■ ■—^I^M^^M^— ^— ^^—^P— ■ ■ MM ■ Il ^^— — — M^-^ IM ■ ■ M ■— ^i^M^M^— M^— ^i^i^^— ^^^^M-^— ^l^^^iM^

OÙ /, n, p et (7 sont des constantes. Cette équation, on le voit, ne cli£Fère de celle de Newton que par l'adjonction

du terme —y qui (étant donne que r est très grand)

est beaucoup plus petit que les autres et dans la. pratique

négligeable (*) . Ainsi s'explique que la trajectoire attribuée à la terre par Einstein ne diffère pas sensiblement de la trajectoire newtôrienne. Il faut remarquer toutefois que la variable indépendante, t, (qui ne figure pas explicitement dans les équations (8 ou (9) mais qui intervient dans les conséquences tirées de ces équations) n'est plus pour Einstein te temps de Newton, mais a ime signification différente.

84. Ges exemples nous mettent à même d'apprécier les services rendus par les équations différentielles dans les théories astronomiques. Je ne saurais cependant trop répéter que ce ne sont pas des considérations relatives

aux problèmes physiques qui fixèrent sur ces équations l'attention des purs analystes. L'étude des équations différentielles soulève bien des questions qui sont purement mathématiques. En particulier, elle nous amène à donner une extension nouvelle et considérable à notre notion primitive de « fonction d'une, quantité variable ». Toutes les équations différentielles que nous avons

{*) Le nombre q se trouve être en effet du même ordre de grandeur que / ; par contre r* est beaucoup plus grand que r parce que r,

distance du soleil à la terre, est très grand; en conséquence — p est

beaucoup plus petit que et ~r~ est négligeable par rapport à

citées comme exemples daAs les pages qui précèdent sont, sans que nous en ayons averti le lecteur, des équations très particulières, très exceptionnelles. Ce sont des équations que nous « savons résoudre, c'est-à-dire qui sont satisfaites par des fonctions de x (ou de i) dont le type^ l'expression algébrique, et certaines propriétés tout au moins, nous sont connues d'avance. Or, il n'en sera pas ainsi en général. Si nous écrivons ime équation différentielle au hasard, par exemple :

il nous sera impossible d'exprimer et d'étudier les « solutions )) de cette équation à l'aide des moyens algébriques dont nous disposons. C'est qu'en effet une telle équation « définit » des fonctions radicalement nouvelles — ses solutions — -, qui ne peuvent être formées -par aucune combinaison de fonctions déjà connues, et qui ne sont

reliées à aucune fonction connue par aucun lien connu. Cette difficulté — observons-le en passant — n'est pas particulière aux équations que nous étudions en vue de fins théoriques. Elle se présente également dans les problèmes physiques. Ainsi les équations (7) , que nous avons écrites tout à l'heure pour déterminer le mouvement de Ja terre, ne sont qu'approximativement exactes,

même dans l'hypothèse de Newton; et, si l'on veut entrer dans les détails, on n'a pas le droit de s'en contenter. Ces équations supposent en effet que le soleil et la terre sont assimilables à des points et que les attractions exercées sur eux par les autres planètes, par la lune, et a fortiori par toutes les étoiles, sont inexistantes ou négligeables. Si,

cependant, précisant l'énoncé du problème, on tient compte de toutes ces attractions ainsi que des dimensions des corps, les équations différentielles (7) se compliquent extrêmement et on ne sait plus les résoudre au moyen de fonctions connues (la trajectoire exacte^ selon Newton, n'est pas une ellipse) .

Cependant, lors même qu'on ne peut les ramener à des données connues les solutions des équations différentielles, néanmoins, existent bel et bien (*). Qu'est-ce que cela veut dire? Les premiers algébristes ont pu éprouver ici quelque surprise, quelque hésitation. Nous ne saurions quant à nous, partager leur embarras.

En effet, nous avons vu déjà comment, à un moment donné, des fonctions irréductibles aux fonctions jusque-là connues sont susceptibles de faire brusquement leur apparition dans la science. Ainsi, tant que nous ne disposions encore que des opérations élémentaires de l'arithmétique^ nous n'avions aucun moyen d'exprimer algébriquement les

valeurs exactes des fonctions sin i et Cos L Ces fonctions sont à tous points de vue irréductibles aux fonctions que l'on peut obtenir en combinant des additions, des multiplications, dés extractions de racines, etc. Si' nous tenons absolument à les calculer au moyen d'opérations élémentaires, nous devons nous contenter de les exprimer avec une certaine approximation (arbitrairement grande d'ailleurs} en utilisant des formules convergentes telles que les « séries » (12) et (13) du n® 54. Pourtant le sinus et le cosinus sont des êtres mathématiques dont l'existence nous est garantie par des définitions rigoureuses.

(1) Sauf dans des cas très rares.

Semblablement, et pour la même raison, la série (11) du n° 54 définit une fonction de / irréductible à toutes les fonctions de Talgèbre élémentaire.

Ayant ces exemples sous les yeux, comment pourrionsnous trouver étrange que les solutions des équations différentielles soient en général des fonctions irréductibles, non seulement aux fonctions élémentaires de l'algèbre, mais aussi aux fonctions appelées sinus, cosinus, loga» rithme, et à toutes les autres fonctions déjà étudiées?

Au lieu de nous inquiéter de cette circonstance, félicitons-nous, au contraire, de pouvoir, par l'intermédiaire des équations différentielles, allonger la liste de nos relations dans le monde des fonctions. C'est ainsi que

M. Painlevé, en étudiant (entre autres) l'.équation différentielle y=6)?*+x, dont les solutions étaient irréductibles à toutes les fonctions connues avant lui, a fait entrer dans la science une nouvelle et fort remarquable 'famille de fonctions.

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