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13. Nous venons de voir en quel sens et par quels procédés on peut effectuer des comparaisons et des calculs sur les grandeurs géométriques. Ces mêmes grandeurs peuvent être comparées d'un autre point de vue encore, conformément à un principe «qui était' familier, lui aUssi, aux arpenteurs dessinateurs ou ingénieurs des temps les plus reculés. Je veux parler du principe de la similitude.

Considérons une figure et supposons qu'en en' conservant toutes les proportions nous en fassions uiïe image

('*') Les calculs relatifs aux volumes à trois dimensions permettent de même de donner un sens aux notions de produit -de trois longueurs et de cube d*une longueur,

(**) Pour définir un rectangle (figure formée dp 4 droites se coupant à angles droits) il suffit d'indiquer les longueurs de deux de ses côtés, les côtés opposés étant respectivement égaux;

à une échelle réduite ou agrandie. Nous obtenons ainsi une nouvelle figure qui a la même forme, les mêmes caractéristiques, les mêmes propriétés que la première et qui en dilFère seulement par ses dimensions. On dit que cette nouvelle figure est semblable à la première. C'est ce que savaient déjà fort bien les artistes de TEgypte ancienne chargés de la décoration des chambres funéraires; ils avaient en effet l'habitude de reproduire à des échelles variables des personnages ou des scènes conformes à des modèles immuables.

La propriété fondamentale par laquellp se manifeste la similitude de deux figures est la proportionnalité des longueurs qui s'y rencontrent. Quand on passe d'une figure à l'autre toutes les longueurs sont réduites ou augmentées dans la même proportion. Il s'ensuit que si A B et C D sont deux longueurs de la première figure, A' B' et C D' les longueurs correspondantes de la seconde figure, on a entre les quatre longueurs une relation de proportionnalité que l'on énonce en disant « A' B' est à A B' comme C D' est à C D » et que l'on écrit symbol (finement sous forme d'égalité :

/,x A^B- ^ CD-

^*^ AB CD

Mais supposons que l'on ait affaire à quatre Iongueurs A B, CD, A' B', C! D' sans savoir encore si elles appartiennent à des figures semblables. Comment saura-t-on si ces longueurs sont « proportionnelles » , c'està-dire si elles satisfont à la « relation de proportionnalité )) écrite ci-dessus? Une règle simple, très anciennement connue sans doute, et que précisèrent les géo-

FiG. 9

mètres grecs, permet de répondre à cette question. Prenons deux droites quelconques A X et A Y se coupant au point A. Sur la droite A X plaçons bout à bout les longueurs A B et CD (l'origine de la seconde longueur coïncidant avec l'extrémité B de la première). Sur la droite A Y portons bout à bout les longueurs A' B' et C D'* Si la relation de proportionnalité est satisfaite, les deux droites B B' et D D' se trouveront être parallèles. Réciproquement, si les droites jS B^ fii D D' sont parallèles, les quatre longueurs satisferont à la relation de proportionnalité : elles seront « proportionnelles )).

14. Poursuivant l'étude de la notion de proportionnalité (indépendamment, cette fois, de la considération des figures semblables) on découvre de nombreuses propriétés qui s'y rattachent et l'on en tire les règles d'un « calr cul géométrique » sui gêner is, le calcul des proportions.

Désignons, pour abréger, par un numéro entre parenthèses, soit (1), la relation de proportionnalité écrite plus haut, et appelons cette relation une « proportion ». On constate, que si l'on a entre les quatre longueurs considérées la proportion ( 1 ) , on aura aussi la proportion

A'B' CD'

AB CD

On aura également les proportions

AB + CD

D'autre part, sî Ton traitait les longueurs A B. A' B', etc., comme des grandeurs numériques (*) et par suite les

rapport» . p -, etc., comme des fractions (**)• on dédui- A D

rait de Tégalité (1) [en multipliant les deux fractions égales par le produit A B X C D ce qui ne détruit par Tégalité] la nouvelle relation d'égalité suivante :

(3) A'B'xCD = AB xCD'

Or, cette assimilation des longueurs aux grandeurs numériques est parfaitement légitime : en effet (là-dessus reposent tous les calculs des arpenteurs) les longueurs sont toutes mesurées par des nombres ehtiers ou fractionnaires (soit exactement, soit, du moins, avec une approximation (***). aussi grande que l'on voudra) ; en sorte qu'à toute longueur correspond une grandeur numérique et inversement. Il suit de là que l'égalité (3) exprime une , vérité géométrique précise, une « propriété » remarquable des quatre longueurs considérées, propriété qui donne une signification nouvelle à la notion de ((•produit de deux longueurs » [on se rappelle qu'au n° 12 nous avons interprété le produit de deux longueurs comme représentant la grandeur superficielle d'un rectangle].

(*) Nombres proprement dits (nombres entiers) ou nombres fractionnaires (fractions).

(*♦) Le rapport de deux nombres entiers est, par définition, une fraction. Le rapport de deux nombres fractionnaires peut toujours être mis sous la forme du rapport de deux nombres entiers et est . donc encore -une fraction.

(♦♦♦) Voir plus bas, chap. IV, n" 38 et 53,

Envisageons en particulier le cas où les longueurs A B et CD' sont égales entre elles. Alors le second membre de l'égalité (3) devient le prqduit de la. longueur A B par elle-même; et Tégalité (3) devient

Lorsqu'une telle égalité a lieu entre trois longueurs A B, A' B' et C D\ on dit que la longueur A B est mo'^enne proportionnelle -entre A' B' et C D.

1S« Le calcul des prof>ortions, dont nous venons d'indiquer le principe, sert en premier

j5 pÇ lieu, comme nous l'avons dit, à étu-

/ ^^^'^^ Nw dier les figures semblables. Parmi

^4:^- ^^j) celles-ci, les plus simples et les plus

^s. ^/^ fréquemment utilisées dans la prati-

^g que, sont les triangles et les figures

pjq ^0 planes limitées par des droites que

l'on appelle polygones et qui se laissent d'ailleurs toujours décomposer en triangles (Êxemple, fig. 10 : le polygone à 5 cotés, ob pentagone» A B C D E, se trouve divisé en trois triangles lorsque l'on trace les lignes en pointillé A C et A D) .

Nous avons im premier exemple de triangles semblables dans les triangles A B B' et A D D' de la figure 9 (voir plus haut) qui ont deux côtés relativement appliqués sur les mêmes droites (A X et A Y) et leurs troisièmes côtés parallèles. Et noj^s constatons que ces deux triangles jouissent des propriétés suivantes :

I ® Leurs angles sont égaux deux à deux (l'angle en A

est le même pour les deux triangles; l'angle de sommet B du premier triangle est égal à l'angle de sommet D du second triangle f l'angle de sommet B' est égal à l'angle de sommet DO*

2® Leurs côtés [j'entends : les longueurs de leurs côtés] sont àeux à deux proportionnels, ce qui veut dire que Von a les deux proportions (*)