Ce que nous venons de dire sur les longueurs

nous pouvons le répéter à propos des angles. Soient donnés deux angles A O B et A' O' B' (fig. 5) . Faisant coïncider O' A' avec O A de façon que O' B' soit à droite de O A, nous voyons que les deux angles seront égaux ou ' inégaux suivant que, dans sa nouvelle position, O' B' coïncidera ou non avec O B. Dans le cas de la figure ci-contre l'angle A' O' B' est plus petit que A O B. Pour additionner les deux angles, on pKjrtera audessous de O B un angle B O C égal à A' O' B' : le grand angle A O C se trouvera alors égal à la somme de A O B et A' O'B'. De même on peut soustraire un angle d*un autre, multiplier un angle par 2, 3 ou 4, etc., diviser un angle par 2, 3, 4, etc.

En particulier, considérons l'angle formé par deux

demi-droites A B, A C situées en prolongement l'une de

^ l'autre. Ces deux demi-droites forment le plus grand angle

possible. Divisant cet angle par 2, nous formons deux angles égaux B AD et C A D qui sont dits angles droits (fig. 6) . La droite A D qui divise ainsi en deux l'angle B A C est dite, comme on sait, « droite perpendicu-

Fig. 6

laire sur B C (au point A) . »

12. Des considérations analogues permettent de comparer, d'additionner, de soustraire, des grandeurs superficielles ou des volumes.

Supposons que deux figures différentes puissent être

l'une et l'autre décomposées en un même nombre de figures partielles qui soient congruentes deux à deux (au sens indiqué au n° 10), c'est-à-dire qui puissent être mises en coïncidence exacte. En ce cas l'on dira que les deux figures totales ont des superficies égales. Ainsi, par exemple, sur la figure 7, les deux « quadrilatères » A B C D et A' C B' D' (figures à- 4 côtés rectil ignés) ont des superficies égales, car elles sont composées, la première des deux triangles ABC, B C D, la seconde des deux triangles A' B' C, .D' B' A', et il se trouve que le triangle A B C est con- fig. 7

gruent au triangle A' B' C\ le triangle B C D congruent au triangle D' B' A'. D'ailleurs, bien que de superficies égales, les deux quadrilatères ne sont pas eux-mêmes congruents l'un à l'autre, car il est impossible de les faire coïncider en les plaçant Vun sur Vautre : ils sont seulement composés de parties congruentes deux à deux.

Ue moyen que nous veno/is d'employer pour comparer deux superficies implique, on s'en est rendu compte, la notion ai* addition ou de soustraction de deux superficies. Ainsi la superficie A' C B' D' est la somme des superficiel A' B' C et A' B' D\ fait que l'on exprime plus brièvement en disant que le quadrilatère est la somme des deux triangles. De même le triangle A' B' D' est la diffé^ rence entre lé quadrilatère A' C B' D' et le triangle A' B' C.

En appliquant ces principes, nous saurons effectuer sur les grandeurs superficiçllçs toute unç çérie de calculs.

Ces calculs (*) nous permettent de donner un sens à une notion qui, à première vue n'en offrait aucun, la n^rtion de multiplication de deux longueurs Vune par Vautre, Par définition le produit de deux longueurs A B et A C sera regardé comme une grandeur égale à la superficiç du rectangle A B C D ayant pour côtés (**) A B et A C (fig. 8.) . Dans le cas où les deux longueurs A B et A C

seront égales entre elles, le produit considéré deviendra le produit de la Ipngueur A B par elle-même et il sera égal à la superficie du carré de côté Fig. 8 A B (fig. 8 à droite) ; on dira alors

que ce produit est le « carré de A B )) (on le désignera généralement par le symbole