Les méthodes modernes de la résistance des matériaux

t. Les méthodes modernes de la Résistance des matériaux ont pour objet deux des questions les plus importantes de celte branche de la Mécanique appliquée : la détermination des déformations élastiques et calorifiques, et le calcul des forces de liaisons clans les pièces et les systèmes de pièces hjperstaliques.

Ces méthodes, fondées sur le théorème des forces vives et sur celui du travail virtuel, sont entièrement générales ; elles s'appliquent uniformément à tous les cas qui peuvent se présenter. Elles offrent, sur les anciennes méthodes géométriques cl cinéma tiques, l'avantage d'être d'une application plus rapide et de ne pas nécessiter l'introduction, dans les calculs, d'inconnues auxiliaires dont l'élimination est très souvent laborieuse.

Cependant elles sont assez peu répandues en France où, parmi les nombreux ouvrages didactiques sur la Résistance des matériaux, quatre seulement, à notre connaissance, font mention des méthodes modernes, avec des développements plus ou moins étendus, savoir :

Le Traité de Statique graphique de Maurice Levj (IVe Partie, 1886, Note I) contient un aperçu de la méthode du général Menabrea'et de celle de Mohr, pour le calcul des efforts dans les ■ systèmes articulés à barres surabondantes;

La traduction en français (1901), par Ilahn, delà Résistance des matériaux de Fdppl, expose la méthode générale de Castigliano, pour la détermination des déplacements élastiques et des

forces de liaisons surabondantes dans les pièces et les systèmes de

* pièces à libres moyennes;

L'ouvrage de M. Ernest Flamard, intitulé Calcul des systèmes élastiques de la Construction (1918), rappelle la méthode de Castigliano et en fait des applications nombreuses et variées aux poutres droites, aux arcs et aux systèmes articulés ; • Enfin, le Cours de Mécanique professé à l'Ecole Polytechnique par M. Léon Lecornu (t. III, 1918) donne l'Équation géné-

• raie de l'élasticité des constructions, ainsi que la méthode de Castigliano, avec application à divers systèmes hyperslatiq'ues.

Il nous a paru, dès lors, utile de présenter, ici, un exposé d'ensemble des diverses méthodes modernes, exposé que nous nous sommes efforcé de rendre aussi simple que possible, en nous attachant, d'ailleurs, à faire ressortir les liens étroits, qui unissent ces méthodes. Dans ce second ordre d'idées, nous montrons que la mise en compte des déformations caloriliques, qui jusqu'à présent n'avait été effectuée qu'au moyen du théorème du travail virtuel, peut aussi s'obtenir par application du théorème des forces vives. Nous établissons également que ce dernier théorème permet, aussi bien et plus simplement que le premier, de démontrer le beau théorème de Belli, Boussinesq el Maurice Levy.

II nous a semblé intéressant de faire intervenir la Théorie mathématique de l'Élasticité, afin de mettre en lumière la voie dans laquelle devraient, croyons-nous, être dirigées les recherches des savants relatives à cette théorie, en vue de permettre l'extension des méthodes modernes aux systèmes de corps isotropes, et d'affranchir ainsi le calcul des constructions, des hypothèses de la Résistance des matériaux ; mais il ne faut pas se dissimuler que de telles recherches sont extrêmement ardues, à cause des difficultés que présente l'intégration des équations aux dérivées partielles de la Théorie mathématique de l'Élasticité.

Les méthodes fondées sur le théorème des forces vives ont leur origine dans le Mémoire de Clapeyron sur le travail des forces élastiques (i858) ('), et dans celui du général Menabrea intitulé

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, p. 10%. — Voir aussi Lamé, Leçons sur la Théorie mathématique de l'Élasticité des corps solides (1866) : Théorème <le Clapeyron, p. 80.

dbyGoogle

Principe général pour déterminer les pressions et les tensions H ans un système élastique {1868) ( '). La première application du théorème du travail virtuel à l'étude des déformations élastiques a été faite par Mohr, en ce qui concerne les systèmes articulés, sous le titre Beitrag zur Théorie des Bogenfachtverkstrdger 087i)(<).

Depuis, ces méthodes ont fait l'objet des recherches de nombreux savants et ingénieurs. On en trouvera un historique très complet, accompagné de minutieuses indications bibliographiques, dans la Thèse de doctoral présentée en içji4i à h* Faculté des Sciences de Nancy, par M. Ernest Flamard (3).

Rappel de quelques notions de Théorie mathématique de l'Elasticité et de Résistance des matériaux.

Forces élastiques, en Théorie mathématique de l'Elasticité.