Considérons un corps solide élastique, en équilibre sous
l'action d'un système de forces extérieures. Soient (fig- i) :
A un point quelconque de ce corps ;
x, y, s les coordonnées rectangulaires de ce point, avant déformation du corps;
dx, dy, dz les longueurs d'arêtes, mesurées avant déformation, d'un parallélépipède infiniment petit, pris dans le corps, et dont A est l'un des sommets;
"n Ixy, dz ; tyX, nr, tÏZ ; tzr, tZf, «= les corn posantes parallèles aux axes, des forces élastiques, rapportées à l'unité de surface, sur les trois faces du parallélépipède, ayant le point A comme sommet commun et respectivement normales à O*, Oy et Or.
Ci Voir aussi mu: noie lue par le général Menabrea a la séance de l'Académie des Sciences du 3i mai i85S { Comptes rendus, t. XLVI, p. io56).
('} Zeitsckrift der Architecten und Ingénieur fereins tu Hannover, i8;4, p. ™s.
Constructions métalliques a la Compagnie r les Méthodes nouveltes de ta Statique
Pour préciser le signe de ces composantes, nous considérons les forces élastiques comme les actions exercées par les parties du corps situées à l'extérieur du parallélépipède, sur celles situées ci
tf
fat Ai
l'intérieur, et nous convenons de les compter positivement dans le sens positif des axes.
Suivant l'usage adopté par les ingénieurs, nous dirons que n et ( sont respectivement les fatigues normales et les fatigues tangentielles sur trois éléments plans, rectangulaires entre eux avant déformation, menés au point A. D'après la convention qui vient d'être faite, un élément est soumis à la compression ou à la traction, selon que la fatigue normale sur cet élément est positive ou négative.
On sait que, sur deux éléments rectangulaires entre eux, les fatigues tangentielles, dirigées normalement à l'intersection de ces cléments, sont égales entre elles, c'est-à-dire que l'on a
ce qui réduit, de neuf à six, le nombre des fatigues inconnues sur les trois éléments rectangulaires considérés.
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Paramètres de la déformation élastique d'un corps isotrope.
3. Soient u, r, w les composâmes parallèles aux axes, du déplacement élastique du point À (as, y, a). Les six quantités
[àw àv\ (du d»'\ (ôv d»\
fy" Kày^ài)' '<"'-*- {as *"&)' ~lxï~~\ài^'àp)
définissent la déformation élastique du parallélépipède; nous les appellerons les paramètres de la déformation élastique.
«j-, £r, £B sont les raccourcissements subis respectivement par les arêtes dx, dy, dz du parallélépipède, rapportés aux longueurs initiales de ces arêtes. Selon que la valeur de e correspondant à une arèle est positive ou négative, il y a réellement raccourcissement ou, au contraire, allongement de cette arête.
"V=t fsri fj-y sont les augmentations subies par les angles droits que forment entre elles, avant déformation, les arêtes dy et dz, dz et dx, dx et dy du parallélépipède. Selon que la valeur de y correspondant à l'un de ces angles est positive ou négative, il y a réellement augmentation ou, au contraire, diminution de l'angle considéré. Les quantités y portent le nom de glissements ou distorsions.
Les six fatigues normales et tangentielles s'expriment, en fonctions des six paramètres de la déformation élastique, par les formules suivantes :
1 nx = J.(î,r+E,.+ e:)+ a(«„ t)C= [l'/yj.;
(I) j nr=\(la+ly-*-t3) + 1yXy, /;,.= [*?« =
( „. = ),(e.rH-Sj.-t-EI)-i-2[iE;, txr= nr),
dans lesquelles ), et j* désignent deux constantes physiques du corps considéré. ( Ces constantes sont liées aux modules d'élasticité longitudinale et transversale, considérés en Résistance des matériaux, par les relations
li. *"--""■ G-,..
Inversement, les expressions des paramètres de la déformation élastique, en fonction des fatigues normales et tangentielles, sont
''-^i>^Wa^">"'--H"'+"')l '"---'f;
Travail des forces élastiques.
Potentiel interne d'un corps isotrope.
i. Au moyen, des expressions ci-dessus des fatigues normales et tangentielles, et des paramètres de la déformation élastique, on calcule aisément le travail accompli par les forces élastiques agissant sur les six faces du parallélépipède, pendant que celui-ci passe de son état naturel à un état de déformation défini soit par les valeurs des fatigues, soit par celles des paramétres. Soit m le quotient de ce travail infiniment petit, par le volume dxdydz du parallélépipède; c'est le travail des forces élastiques, rapporté à l'unité de volume, au point A ( x, y, s). On trouve
<3' ro= ...m'-u ,,nK*+ l*)<"S+»?+»i)-*<"*"j + "j'H*-|-''«''«>] amaA-t-apj
(4) m = J(^+ «,.-■- ».)*+ K«I -*-■; + •!>+ £(tf» + -{h +ÏÎJ-).
Le travail des forces élastiques, pour le parallélépipède considéré, est mdxdydz. Si donc on décompose le corps en une infinité de parallélépipèdes élémentaires, par des plans normaux aux axes de coordonnées, on voit que le travail total IT des forces élastiques, pour le corps entier, est
Ci) n= f f fmdxdydz,
l'intégrale triple étant prise pour le volume entier occupé par le
corps.
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Il est clair que celle expression du travail total des forces élastiques s'applique également à un système de corps reliés entre eux d'une manière quelconque, déformé par des forces extérieures en équilibre, l'intégrale étant alors prise pour le volume total occupé par le système de corps.
On vérifie immédiatement que, si l'on dérive l'expression{4) de ra, successivement par rapport as,,..., y^, on retombe sur les expressions f i) de nx, . . . , t„, de sorte qu'on a
Les dérivées partielles de la fonction ta, par rapport aux six paramètres de la déformation élastique du parallélépipède, sont donc égales aux fatigues normales et tangentielles au point A.(x,y, z). On en conclut que les forces élastiques, appliquées sur les faces du parallélépipède, dépendent d'une fonction de forces et que cette fonction est jsdxdydz. Par suite, pour le corps entier (ou pour un système de corps), les forces élastiques dépendent de la fonction de forces II.
La déformation élastique d'un parallélépipède quelconque fait naître, à l'intérieur de celui-ci, des forces moléculaires ; ces forces sont inconnues, mais il est facile d'évaluer le travail qu'elles ont accompli pendant la déformation; en effet, le système de points matériels composant ce parallélépipède étant au repos avant et après la déformation, la somme algébrique des travaux des forces extérieures et intérieures sollicitant ce système est nulle, en vertu du théorème des forces vives; par suite, le travail des forces moléculaires est égal et de signe contraire à celui des forces élastiques; sa valeur est donc — rsdxdydz, pour le parallélépipède considéré, et — II, pour le corps (ou le système de corps) entier, Conséquemment, en ce qui concerne l'évaluation du travail des forces moléculaires, tout se passe comme si celles-ci dépendaient d'une fonction de forces — Il ou, ce qui revient au même, comme si elles dérivaient d'un potentiel II. Nous dirons, en conséquence, que la fonction II est le potentiel des forces moléculaires ou, par abréviation, le potentiel interne du corps (ou du système de corps) déformé, sous réserve toutefois que, si cette fonction changée de signe représente bien le travail
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ij des forces moléculaires pendant la déformation, elle ne saurai! être utilisée pour calculer les valeurs de ces forces qui demeurent inconnues.
11 résulte de ce qui précède que les forces moléculaires forment un système conservatif : leur travail ne dépend que de l'état final de déformation et non des états intermédiaires; il est exclusivement fonction des valeurs finales des paramètres de la déformation ou des valeurs finales des fatigues.
La fonction II est susceptible d'une autre interprétation que
La formule (4) montre que ro est essentiellement positil et qu'il s'annule lorsque le corps est à l'état naturel; il en est de même du potentiel total II; ce dernier est donc minimum lorsque le corps est à l'état naturel, ce qui prouve (fait d'ailleurs évident) que cet état est celui d'équilibre stable des molécules du corps. Si l'on imagine que le corps déformé revient à son état naturel, par suite de la suppression des forces extérieures ayant déterminé sa déformation, le potentiel de ses forces moléculaires passe de la valeur II à la valeur zéro; elles accomplissent donc un travail positif égal à II, pendant que les molécules du corps reviennent à leur position d'équilibre stable; or, on sait que (') l'énergie potentielle d'un système matériel occupant une position quelconque est égale au travail essentiellement positif des forces intérieures de ce système, lorsqu'il passe de celte position à sa position d'équilibre stable. II est donc l'énergie potentielle interne du corps (ou du système de corps) déformé.
Paramètres de la déformation d'un corps isotrope, lorsque celle-ci est à la fois élastique et calorifique,
5. Soit un corps libre; soumettons-le à l'action d'un système quelconque de forces extérieures en équilibre et supposons que sa température s'élève de t degrés; soit a son coefficient de dilatation linéaire. La déformation subie par un parallélépipède quelconque, pris dans le corps, peut être considérée comme résultant de la superposition de la déformation purement élastique
( ' ) Maurice Levï, Sur le principe de l'énergie, 18S8, p. g.
due aux forces extérieures et de la dilatation calorifique. Or, celte dilatai ion ne modifie pas les angles que forment entre elles les arêtes du parallélépipède, lesquelles subissent simplement des allongements qui, rapportés à l'unité de longueur, sont égaux à a-c. Par suite ts, .... v^ désignant comme précédemment les six paramètres de la déformation purement élastique, les paramètres de la déformation élastique et calorifique sont
Ces expressions restent valables dans le cas d'un abaissement de température à condition, dans ce cas, de compter t négative-
Elles Sont également valables pour les corps non libres, ces corps pouvant être considérés comme libres sous l'action des forces qui leur sont directement appliquées et des forces de liaisons correspondantes.
Remarquons que le potentiel interne ne dépend évidemment que de la déformation élastique; par suite, si la déformation est à la fois élastique et calorifique, les expressions du potentiel interne restent celles données au n° 4.
Remarque.
6. Tout ce qui vient d'être dit des corps, isotropes s'applique immédiatement aux pièces à fibres moyennes, considérées en Résistance des matériaux, si, selon le point de vue très clair et très précis du général Menabrea, on considère ces pièces comme des corps semi-rigides. Ce point de vue permet de passer des formules de la Théorie mathématique de l'Elasticité aux formules correspondantes de la Résistance des matériaux; mais il est plus simple d'établir directement ces dernières.
Forces élastiques, en Résistance des matériaux. Eléments de leur réduction.
