R'-:)IL
Or, l'équation générale (a) (n° 47), suppression faite du terme correspondant aux déformations dues à l'effort tranchant, peut s'écrire
En remplaçant, dans la seconde intégrale, les efforts normaux et les moments de flexion'par leurs expressions ci-dessus, et en ajant égard à la relation 1 = ûr1, on obtient, après réductions, ,
les intégrales s'étendant à la longueur totale de la fibre moyenne AB de l'arc Posons
et convenons de représenter indistinctement par :
M' l'un ou l'autre des deux moments conjugués M' et M"; ÏÏÏL' l'un ou l'autre des deux moments conjugués ;)[L' et 3H.";' ds' l'un ou l'autre des deux éléments ds et ds" des deux lignes conjuguées, correspondant â un élément ds de la fibre moyenne.
Moyennant cela, on peut écrire
la seconde intégrale s' étendant à la longueur totale des deux lignes conjuguées A'B' et A'B".
En comparant l'équation (b) (n° 47) qui néglige les déformations dues à l'eflort normal, à l'équation (c) qui en tient compte, on voit que, pour passer de la première à la seconde, il suffit d'y remplacer les moments de flexion M et 3IL par les moments conjugués M' et 311/, les moments d'inertie I, par I' = al, et d'y regarder la seconde intégrale comme étendue, non plus à la longueur totale de la ligne moyenne, mais bien à la longueur totale des deux lignes conjuguées.
On peut, dés lors, concevoir, sans entrer dans la démonstration donnée dans notre Mémoire sur la Statique graphique des arcs élastiques, que :
Pour introduire les déformations dues à l'effort normal, dans les méthodes de la Statique graphique qui les négligent, il suffit de remplacer, dans ces méthodes, les forces fictives parallèles r^ds , appliquées aux divers éléments ds de la fibre moyenne de l'arc considéré, par des forces fictives M' ds ., M' , Wd7di = Wds'
parallèles aux premières et appliquées à chaque élément ds' des deux lignes conjuguées.
49. Introduction des déformations dues à l'effort normal et à l'effort tranchant. — Appelons points conjugués relatifs à une section quelconque (S), de centre de gravité G (fig- 1 1), les trois points H', H", H'" qui, situés dans le plan de la fibre moyenne, ont pour coordonnées rapportées à la tangente Gx à cette fibre et à la normale Gy :
{pf= rYS5 r/6
*•= rJZây y= r/6,
-•— rYïï. y= o,
a désignant le rapport du module d'élasticité longitudinale E au module d'élasticité transversale G.
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Dès lors, par analogie avec ce qui a été dit précédemment, l'arc admet trois lignes conjuguées A'B', A"B", A'"B'", et à chaque élément ds de sa fibre moyenne, correspondent trois éléments ds',
ds" et ds"1 des lignes conjuguées; de plus, à toute section (S) répondent trois moments conjugués.
Soient :
M', M", M'" les valeurs de ces moments, dansTarc hyperstatique considéré, soumis à des forces extérieures F et à une variation de température t;
3H', 3R.", Sk.m les valeurs de ces mêmes moments, dans l'arc isostatique, obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de l'arc hyper statique, et soumis à des forces et [couples auxiliaires ff et £<
ri/6
idiatement
d'où l'on tire
Irtfï ■
an
an.'
-4-3IL'— «.m"
'-n.m'+jn."
En portant ces valeurs des efforts normaux, des efforts tranchants et des moments de flexion, dans la seconde intégrale de l'équation générale (a) (n° 47) écrite sous la forme
on obtient, en tenant compte de ce que a = ^ et de ce que I = û/"a,
les intégrales s'é tendant à la longueur totale de la libre moyenne AB de l'arc.
Posons
et convenoDS de représeuter indistinctement par :
M' l'un quelconque des trois moments conjugués M', M" et M'";
,1IL' l'un quelconque des trois moments conjugués 3K,', 3R." et 3IL"';
ds' l'un quelconque des trois éléments ds', ds", ds'" des trois
lignes conjuguées, correspondant à un élément ds de la fibre
Dès lors, on peut écrire
(4 ja^j,»— „/«**/■*.»;*,*.
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la seconde intégrale s'é tendant à la longueur totale des trois lignes conjuguées A'B', A"B", A"'B'".
Celte équation est exactement de même forme que l'équation (c) (n* 48), et l'on en conclut, comme précédemment, que :
Pour introduire les déformations dues à l'effort normal et à l'effort tranchant, dans les méthodes de la Statique graphique qui les négligent, il suffit de remplacer, dans ces méthodes, les forces fictives parallèles -p\ds appliquées en chaque élément ds de la fibre moyenne de l'arc, par des forces fictives
parallèles aux premières et appliquées à chaque élément ds! des trois lignes conjuguées.
Ajoutons qu'ainsi qu'il est établi dans notre Mémoire précité, à une section de l'arc ne correspond pas qu'un seul système de trois points conjugués, mais bien une infinité, et, par suite, une infinité de systèmes de trois moments conjugués; qu'un arc admet, par conséquent, une infinité de systèmes de trois lignes conjuguées. La proposition ci-dessus est applicable à l'un quelconque de ces systèmes; mais le plus commode entre tous, à utiliser dans les applications, est celui défini plus haut.
COMPARAISON EHTRli LES TBOIS MÉTHOnES.
50. De l'exposé qui précède se dégagent les quelques remarques suivantes :
Les méthodes présentées sont entièrement concordantes et toutes trois tiennent compte non seulement des efTets des forces extérieures, mais aussi des effets calorifiques.
Bien qu'ayant entre elles des rapports étroits, elles n'ont ni la même portée ni le même caractère théoriques :
La première conduit, comme les deux autres, aux principes de réciprocité qui sont des cas particuliers du théorème de Betti,
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Boussinesq et Maurice Levy ; mais, dans son état actuel, elle ne permet d'établir directement ni ce beau théorème, ni l'équation générale de l'élasticité, synthèse de toute la théorie des déformations ; elle est donc, à cet égard, moins satisfaisante que les deux dernières. Au point de vue de l'exposé, cette première méthode, fondée sur le théorème des forces vives, est asse* délicate, du moins dans la partie relative aux déformations calorifiques, qui nécessite l'extension faite ici de l'équation de Cla perron.
La seconde méthode, également déduite du théorème des forces vives, est, au contraire, simple et élémentaire.
La troisième méthode, tirée du théorème du travail virtuel, fait appel à des notions de Mécanique générale plus élevées, mais elle permet de mettre en compte, dés le début et simultanément, les déformations calorifiques et les déformations élastiques.
A cette troisième méthode, il a été reproché de reposer sur une base peu solide, parce qu'il n'existerait pas, a-l-on dit, de démonstration rigoureuse du théorème du travail virtuel. Sans entrer, àce sujet, dans une discussion qui ne saurait trouver place ici, nous croyons devoir rappeler que, dans l'une des Notes dont il a illustré la Mécanique analytique de Lagrange ('), l'un des mathématiciens les plus subtils du siècle dernier, Joseph Bertrand, s'exprime ainsi : a La première démonstration rigoureuse du principe des vitesses virtuelles est due à Fourier {Journal de l'Ecole Polytechnique, t. II, an Vil). » Au surplus, dans les nombreuses applications qui en ont été faites, le théorème du travail virtuel n'a jamais, que nous sachions, été trouvé en défaut, et, ainsi qu'il ressort de la présente Note, les résultats auxquels il conduit, en ce qui concerne spécialement les calculs de déformation, sont entièrement d'accord avec ceux déduits du théorème des forces
(') Œuvres de Lagrange (publiées par Darboui), t. XI, 1888, p. ai3.
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