Proposons-nous de former l'expression générale

i° De la projection \ du déplacement élastique et calorifique d'un point quelconque A, sur une direction abitraircment choisie A ;

20 De la projection <p de la rotation élastique et calorifique d'une section quelconque (S), sur une direction arbitrairement choisie T.

Ces deux expressions découlent immédiatement de l'équation générale de l'élasticité, prise sous la forme (33) (n° 33).

Pour obtenir la première, il suffit de ne faire intervenir, dans cette équation, qu'une seule force auxiliaire .?, de grandeur quelconque, appliquée en A, suivant la direction A ; on obtient ainsi

(34) x=7Ly(bs-" )+7cd+"-+-rËï;h-

Pour obtenir la seconde, il suffit de ne faire intervenir, dans cette même équation, qu'un seul couple auxiliaire S, de grandeur quelconque, d'axe dirigé suivant I"; ce qui donne

On ne perdra pas de vue que, si le système considéré est hyperstatique, les éléments de réduction Jt, E,,, ..., 3Rç doivent être calculés dans le système isoslatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de ce système hyperstatique (n" 33, infine).

Cas d'un système soumis à la flexion plane'. — Dans ce cas,

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les formules précédentes se réduisent à

,,,,, , r\3t>{ N \ 5 T 311 Ml ,

(35) ^J[ë(ËQ-")+3GQ + -S ËîJrfî"

Rappelons que, dans ce dernier cas, l'axe du couple auxiliaire ©, appliqué à la section considérée (S), doit être dirigé normalement au plan de. flexion et que <o est la rotation même de cette section.

Formules de M. Ernest Flamard.

37. Si dons l'équation générale de l'élasticité (32) (n° 33), relative aux systèmes de corps à libres moyennes, on fait intervenir exclusivement d'abord une seule force auxiliaire <#, puis un seul couple auxiliaire S, on obtient les deux formules

/ cas g nF,F,6,Fi„S— (np)F-,Ft,-'""s)— "'Z ^*dt •

qui se réduisent, si le système de corps n'est soumis à aucune variation de température, à

iX = 5 "F,F0„Fi„-T-,ïiF,Fe„Fli-t-n5) , Vf - 1

* ~ g ["F, FCJ, F,„ 3-(nF, Fes, F„+ «s) J '

Ainsi qu'on le vérifie aisément si, au contraire, le système est soumis à une variation de température, on peut écrire les deux formules (a) sous la forme

l \ = -A HF p w rf— Hp p Fi-i-nf) .

( ?= s[HF,Fe»,Fi„G— ("F,F„,Fw-*-°3)j' en y introduisant la fonction H exprimée par la formule (25)

(n° 19), et en convenant : que HF Fi>> Fii représente la valeur de la fonction H afférente au système isostatique soumis aux forces F, Feu F" et ^ la variation t de température; que HF F<i F. j et HF) r^ E . ^ représentent respectivement les valeurs que prend cette même fonction, lorsque le système isostatique est soumis, en outre, à la force auxiliaire S ou au couple auxiliaire S.

Les formules (b) et (c) ont été établies, autrement d'ailleurs qu'il vient d'être indiqué, par M. Ernest Flamard, dans sa Thèse de doctorat déjà citée. Elles restent valables dans le cas des systèmes isotropes.

Accord entre les résultats des deux méthodes r le théorème des forces vives.

38. Comparons les expressions générales (27) (n° 21) et (34) (n* 36) de la projection du déplacement élastique et calorifique d'un point quelconque A, sur une direction arbitrairement

choisie A,

-ma

) dS +G12 d§ ■*"•■■■'■ El; d$ \aS' ") ^ GU +'"+ g EiïJ"*'

expressions obtenues respectivement par la. première et par la seconde méthode fondées sur le théorème des forces vives.

Dans ces deux formules, 3T-, s,,, . - ■ , 3^r, sont les éléments de la réduction, au centre de gravité d'une section quelconque de l'un quelconque des corps, des forces élastiques développées dans cette section, par l'application de la force auxiliaire S au point A, suivant la direction A; et, si le système est hypers tatique, ces éléments doivent, qu'on utilise l'une ou l'autre des deux formules, être calculés dans le système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de ce [système hyperstatique. Or, en vertu du principe de la superposition des effets des forces, les forces élastiques dans une section quelconque et, par suite, les éléments 3t, G, . . . , 3IL de leur réduction, sont proportionnels

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à la force extérieure 3 qui les produit ; on peut donc écrire :

a, b, .-., / désignant six constantes indépendantes de J; d'où rfiTC, df, -, tf3R;

et, par suite,

rf# ~ $' S ~ $' '"' d$ ~ § ''

ce qui prouve l'accord entre les deux expressions {27) et (34) du déplacement projeté X. L'accord entre les deux expressions (a8) (n° 21) et (35) {n° 36) de la rotation projetée o, se démontre de la même manière.

Détermination des forces de liaisons surabondantes, dans les systèmes de corps à fibres moyennes. — Équation aux liaisons surabondantes.

39. La méthode de calcul des forces de liaisons surabondantes découle de l'équation générale 'de l'Élasticité. Pour en simplifier l'exposé, nous supposerons que le système hyperstatique considéré, déformé par des forces [directement appliquées F et par une variation de température t, est soumis à ta flexion plane ; dans ce cas (n° 35) l'équation générale de l'Elasticité se réduit à

Comme forces et couples auxiliaires à appliquer au système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système hyperstatique considéré, adoptons :

i° Des forces $, de grandeurs arbitraires, ayant mêmes points d'application et mêmes directions que les forces de liaisons surabondantes extérieures du système hyperstatique;

20 Des couples €, de grandeurs arbitraires, ayant mêmes sections d'application que les couples de liaisons surabondantes exté-

rieures du système hyperstatique et ayant, comme ceux-ci, leurs axes normaux au plan de flexion ;

3" Des forces -f, de grandeurs arbitraires, ayant mêmes points d'application et mêmes directions que les forces de liaisons surabondantes intérieures du système hyperstatique et, comme celles-ci, deux à deux égales et opposées;

4" Des couples G', de grandeurs arbitraires, ayant mêmes sections d'application que les couples de liaisons surabondantes intérieures du système hyperstatique, ayant, comme ceux-ci, leurs axes normaux au plan de flexion et étant, comme ceux-ci, deux à deux égaux et de sens contraire.

Dès lors, l'équation (33') s'écrit

11 est facile de voir que son premier membre est nul. En effet, les projections ). des déplacements élastiques des points d'application des forces auxiliaires -? et-^', sur les directions de ces forces, ainsi que les rotations <s des sections d'application des couples auxiliaires G et S', sont afférentes au système hyperstatique, déformé par les forces F et par la variation de température t; or ;

i" Sur les directions des forces -?, qui, par hypothèse, sontcelles des forces de baisons surabondantes extérieures, les projections ~k sont nulles, en raison de ces liaisons mêmes, et, par suite, la somme > j\ est également nulle;

2° Les rotations cp des sections d'application des couples de liaisons surabondantes extérieures sont nulles en raison de ces liaisons mêmes, et, par suite, la somme > 8cp est également nulle;

3" Par hypothèse, les forces auxiliaires S' sont deux à deux égales et opposées, de sorte qu'à toute force + .?' correspond une force — .7'; or, ces deux forces -+- 3' et — -f sont appliquées en deux ' points qui, dans le système hyperstatique, sont astreints à rester en contact, et dont, par conséquent, le déplacement projeté ). est

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le même ; donc, dans la somme >^ 3'X, à chaque lerme -+- 3"k correspond un terme — $'\, et, par suite, cette somme est nulle;

4" La somme V G<p est nulle pour la même raison.

L'équation (a) se réduit donc à

C'est l'équation aux liaisons surabondantes, dans laquelle les éléments de réduction N, T, M sont afférents au système hyperstatique considéré, soumis aux forces F et à la variation de . température t; et ceux X, F, :)U., au système isostatique soumis aux forces et couples auxiliaires .f, G, S' et £' définis ci-dessus. Cette équation s'utilise de la manière suivante :

Supposons qu'il y ait ;

ni forces et n couples de liaisons surabondantes extérieures, zp forces et iq couples de liaisons surabondantes intérieures.

Le nombre total des forces et couples de liaisons surabondantes esidonc m -\- n -\- %(p -i- q); mais les forces et les couples de liaisons surabondantes intérieures étant, deux à deux, égaux et de sens contraire, le nombre des forces et couples inconnus se réduit à m + n-\-p-\- g.

L'emploi de l'équation aux liaisons surabondantes exige l'application (au système rendu isostatique parla suppression des liaisons surabondantes et soustrait à l'action des forces F et de la variation t de température) de :

m forces auxiliaires jf, . . . , 0m, n couples auxiliaires S, , . . . , 8n,

2p forces auxiliaires ,i\, — <?,, ..., fp, — fp, 2q couples auxiliaires ©',, — S',, ..., S,, — ©^,

forces et couples, de grandeurs arbitraires, — ayant, les forces, mêmes points d'application et mêmes directions que les forces de liaisons surabondantes, les couples, mêmes sections d'application que les couples de liaisons surabondantes.

Les éléments de réduction correspondants X, G et 3P, en une section quelconque de l'un quelconque des corps du système, sont des fonctions linéaires et homogènes de ces forces et couples

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auxiliaires; on peut donc écrire :

+ /',.il

+ cne„ + e',e„

sont des fonctions des coordonnées a: et y du centre de gravité de la section considérée.

Portons ces expressions dans l'équation (36) aux liaisons surabondantes et groupons les termes contenant respectivement en facteur les forces et couples auxiliaires

L'équation ainsi transformée renferme m ■+■ n-\-p-\-q groupes; et, pour qu'elle soit satisfaite, il faut que chacun de ces groupes soit séparément nul, attendu que les forces et couples auxiliaires sont de grandeurs arbitraires ; on a, dès lors, les /n + n -\-p + <J équations suivantes :

/["'(è5 -") + * a +,'n] *- /[«(ê-)^à*lfi]*-

i/iR(ï-'-j*i'ï'*iij5i*'-

db»Googk

Ces équations, si l'on j remplace N, T et M en fonction des m + n -\-p -h Ç forces et couples de liaisons surabondantes inconnus, fournissent les valeurs de ces forces et couples.*

Remarque. — Les équations (b) expriment, les liaisons surabondantes extérieures, et, les équations {b'), les liaisons surabondantes intérieures.

On peut former ces équations d'une manière un peu différente, qui, dans certains cas, est plus commode. Ainsi, pour former la première des équations (b), au lieu d'appliquer au système rendu isostatique toutes les forces et tous les couples auxiliaires indiqués plus haut, il suflit de lui appliquer exclusivement la seule force auxiliaire S, ; les formules (") se réduisent alors à

et la substitution de ces expressions de X, g et 3U-, dans l'équation (36), donne la première des équations (b). Le même procédé est applicable à la formation successive des autres équations (b).

De même, pour former la première des équations (b'), il suffit d'appliquer, au système rendu isostatique, les deux forces auxiliaires -?, et — -f',, à l'exclusion des autres forces et couples auxiliaires; les formules (a) se réduisent alors à

X = i\ a', , G = §\ Y, , 3IL = #', s', ;

et la substitution de ces expressions de -X, S et ;)IL, dans l'équation (36), donne la première des équations (b'). Le même procédé est applicable à la formation successive des autres équations (b1).

Exemple de la détermination des forces de liaisons surabondantes extérieures.

iO. Considérons Varc encastré à ses deux extrémités, pris au n" 23 (fis- 4) comme exemple d'application du théorème du général Menabrea généralisé, à la détermination des forces de liaisons surabondantes extérieures. Cet arc est soumis i des forces situées dans le plan de sa fibre moyenne, ainsi qu'à une variation z de température, comptée à partir de la température à laquelle ont été

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Nous avons vu que les réactions de l'encastrement de gauche sonl réductibles, au l'entre de gravité A de la section encastrée, à deux forces X et Y, rectangulaires entre elles, et à un couple Z d'axe normal au plan de la fibre moyenne de l'arc; ce sont les deux forces et le couple de liaisons surabondantes; il s'agît de les déterminer.

A cet effet, selon la méthode exposée au n° 39, l'arc étant rendu isostatique par la suppression de l'encastrement de gauche (fie- 7)' appliquons, hu poinl A, deux forces auxiliaires $x et ■'»r, de

Kg. 7.

mêmes direciions que X et Y et, à la section dont ce point est le cenlre'de gravité, un couple S, d'axe normal ou plan de la fibre moyenne (forces et couple de grandeurs arbitraires).

Les éléments de réduction correspondants X, Ç et 3K-, au centre

■ 0{x, y) d'une section quelct

expre

31 =£,. Zï +$

Portons ces expressions dans l'équal surabondantes et groupons les termes facteur §x, $r et ©; il vient

3*J \\Ëâ 7 ds GO ds

Z- if.

Où ds "*

n (36) (n»39) aux liaisons on tenant respectivement en

-V[(fi-)S

-fj, $r et S étant de grani

arbitr

Mari , f M

lires, pour que celti

db»Googk

soit satisfaite, il faut qu'o

/[(fi-

JL ^

" Gû ds

7 rfs Gli d»

ces trois équations, on remplace N, T et M par leurs i (è) (i>° 23), en fonction des inconnues X, Y et Z, on trois équations (c) (même numéro) qui déterminent ces

Exemple de la déler/niuition des for surabondantes i

M. Reprenons l'exemple déjà considéré au n° 24 {fig. 5) : Arc encastré à ses deux extrémités et comportant une rotule O, soumis à des forces situées dans le plan de sa fibre moyenne, ainsi qu'à une varialion t de température comptée à partir de la température à laquelle ont été réalisés les encastrements.

Nous avons vu que cet arc est, en réalité, un système de deux arcs AO et OB, encastrés, chacun, à l'une des extrémités et réunis entre eux par la rotule O; que les forces de liaisons surabondantes sont deux forces X et Y normales entre elles, appliquées à l'extrémité O de l'arc OB et deux forces — X et —Y appliquées à l'extrémité O de l'arc AO. Ca sont ces deux forces qu'il s'agit de déterminer.

A cet effet, selon la méthode générale du n° 39, le système étant rendu isostalique par la suppression de la rotule 0,.qui crée les liaisons surabondantes intérieures, appliquons-lui (fig. 8) des forces auxiliaires ffz, 0y, — 3X et — $r, de grandeurs arbitraires, ayant respectivement même point d'application et même direction que les forces de liaisons surabondantes X, Y, — X et — Y. Les éléments de réduction correspondants SZ, G et 31L, au centre de gravité G {x, y) d'une section quelconque de l'un ou l'auira des deux arcs AO et OB ont pour expressions

on, — i,r +grx.

Portons ces expressions dans l'équation (36) (n» 39) aux liaisons surabondantes et séparons-y les termes en deux groupes contenant respectivement en facteur 3^ et $y\ pour que l'équation ainsi trans-

formée soit satisfaite,* il faut que chacun de ces deux g séparément nul, puisque les forces auxiliaires 9X et §t scieurs arbitraires. Nous obtenons, de la sorte, les deux éqt

J L\EÛ l¥* GÛ ds KlJ '

Si, dans ces deux équations, expressions (b) (n° 21), en foncti les deux équations (c)(mêmenum

T dx M^"|

on remplace N, T et M par leurs i des inconnues X et Y, ou obtient o) qui déterminent ces inconnues.

Autre exemple de la détermination des forces de liaison surabondantes i

42. Reprenons l'exemple déjà considéré au n° 25 (fig. 6) : poutre droite, à treillis double, articulée, reposanl sur deux appuis simples et soumise à des charges appliquées aux nœuds.

Avant de faire'usage de l'équation (36) (n° 39) aux liaisons surabondantes, remarquons que, dans le cas présent, elle se simplifie

Les forces élastiques produites d'une barre quelconque de la poutr à l'effort normal N (l'effort trancr

• les charges, en toute section iont réductibles exclusivement t et le couple de flexion sont

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nuls); de plus, cet effort normal est le même dans loules les sections de la barre, et, ainsi qu'il a été dit au n° 25, il porte. le nom à'efforl dans la barre. Nous verrons plus loin que, de même, les forces élastiques produites par les forces auxiliaires §. en toute section d'une barre quelconque, sont réductibles exclusivement à l'effort normal 3L et que cet elïort est le même dans toutes les sections de la barre. L'équation (36), suppression faite du terme relatif à la variation de température, laquelle n'intervient pas ici, se réduit

l'intégrale étant prise pour la longueur totale des fibres moyennes de toutes les barres.

Or, pour une barre, de longueur s, on a, puisque N et X sont constants, ainsi d'ailleurs que ii,

Par conséquei la poutre, on .

2>Êr

Ceci posé, nous 'avons vu, au n» 25, que les liaisons surabondantes de la poutre sont les liaisons des diagonales (o, i'), . .., (i — (, ('), . , ., (« — i, «'), avec les nœud* inférieurs d'attache o, .... i — i, ..., n — i et que, pqur la diagonale (* — i, **), par exemple, les- forces de liaisons surabondantes sont deux forces de même graniteur el de même direction que l'effort ZJ d.ms cette diagonale, et appliquées, l'une, à l'extrémité rendue libre de ladite diagonale, l'autre, au nœud i — i, — forces de sens répulsif ou attractif, selon que Z; est un effort de compression ou de tension.

Dès lors, selon la remarque finale du n" 39, la poutre étant

et soustraite à l'action des charges, appliquons à l'extrémité inférieure de la diagonale (i — i, i') (fi g. 9), une force auxiliaire S, dirigée suivant la fibre moyenne de cette diagonale, et une force — s au nœud 1 — i. Il est clair que : i° ces deux forces auxiliaires ne produisent aucune force élastique dans les barres de la poutre autres que celles du panneau (i), de sorte que, dans ces barres, X — o; 3° dans chacune des barres du panneau (i), les forces élastiques que

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les forces auxiliaires engendrent, en toute section, sont réductibles exclusivement à l'effort normal Jt> ei cet effort fst constant tout le long d'une même barre. Les valeurs dudil effort normal 31., dans les

Pi*- 9'

mieau (/), se calculent immédiatement par la Statique pure; elles sont indiquées dans la seconde colonne du Tableau ciaprès. Dans les trois dernières colonnes de ce Tableau sont reproduites les notations spéciales adoptées au n" 25, pour représenter les efforts N produits dans les barris par les charges, ainsi que les longueurs s ei les sections Q de ces barres.

Désignation des barres.

Efforts pr les forces

"et -7:

les

charges :

Longueurs des

Sections

des barres :

Éléments de l (<-i, »)....

membrures \ (i' — i,i')....

-£sina -ïfsin* -ïfcos* -rfcoi.

XJ V.-i

Z/ ZJ

Diagonales. .) . ' .,

a = angle aigu des fibre

s moyennes des diagonal

s avec la vçrticale.

A chacune des six. barres du panneau (0 correspond un terme,

dans la somme \ de l'équation (a); les termes correspondant aux

autres barres de la poutre sont nuls, puisque, pour chacune de ces barres, 0t> =o, Par suite, l'équation (a) s'écrit sous la forme suivante suppression faite du facteur commun § et du dénominateur commun B,

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Si, dans celte dernière équation, on remplace Z,-, X,-, XJ, Y,, el Y; par leurs expressions (c) à (#) (ii*25), obtenues par la Siatique pure, et si l'on tient compte de ce que

; l'équaliou finale (X) du n» 25.

Méthode fondée sur le théorème du travail virtuel.

43. Le théorème du travail virtuel a été utilisé, pour la première fois, en Résistance des matériaux, par Môhr('), pour la détermination des efforts dans les systèmes articulés à barres surabondantes.

Depuis, les applications de ce théorème, aux autres systèmes employés en construction ont été largement développées par divers auteurs, notamment par Muller-Breslau (*).

Enfin, ce même théorème nous a permis d'établir l'équation générale de V élasticité (s), dont nous venons de donner plus haut (n01 32 et 33) une démonstration nouvelle déduite du théorème des forces vives.

Equation générale de l'Elasticité.

44. Soit un système de corps isotropes; supposons-le hyperstatique extérieurement et intérieurement (n° 11) (le cas d'un système isostatique sera regardé comme un cas particulier; celui d'un corps unique, également). Ce système de corps est déformé sous l'action de forces extérieures F, directement appliquées, et d'une variation de température de t degrés, comptée à partir de la température à laquelle ont élé réalisées les diverses liaisons du système.

(') Zeitschri/t der Architecte» and Ingénieur Vereins su t/annover, 187^,

(') Die Methoden der Festigheitslehre und der Statit der Baukonslructionen, 1886.

(') L'équation générale de l'élasticité des constructions et ses applications {Bulletin de l<\ Société des Ingénieurs civils de France, octobre 1907, p. 365).

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Appelons :

les projections des déplacements élastiques et calorifiques d'u certain nombre de points

A„ A,, A,, ..., du système de corps, sur des directions arbitrairement choisies

les projections des rotations élastiques et calorifiques d'un certain nombre de droites

contenues dans le système de corps, s "V IV IV

arbitrairement choisies pai

droite* ;

les directions normale;

les six paramétres de la déformation élastique et calorifique (nn o) d'un parallélépipède élémentaire, pris en un point quelconque {x, y, z) du système;

4° roF le potentiel interne, rapporté à l'unité de volume, au même point (&,y, z);

5° F„ et F„ les forces de liaisons surabondantes extérieures et intérieures du système.

Considérons maintenant le système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système hyperstatique donné. Si on le soumet aux forces F, F„ et F„, ainsi qu'à la variation de température de i degrés, il prend un état d'équilibre élastique identique à celui du système hyperstatique soumis aux seules forces F et à la variation de température. En particulier, dans ce système isostatique, les déplacements élastiques et calorifiques des points A,, A3, A,, ..., les rotations plastiques et

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calorifiques des droites u,a\, a3a't, aaa'it ... et les paramètres de la déformation d'un parallélépipède quelconque sont les mêmes que dans le système hypersta tique.

Le potentiel interne est également le même, de sorte qu'on peut écrire, d'après la formule (4) (n° 4) et la Remarque finale du n* 5.

(a) SF,Fi,Pll="--ï<^-,-V+^

en désignant par usF Fm F|j le potentiel interne, rapporté à l'unité de volume au point (x, y, z), du système isostatique déformé par les forces F, F„, FtJ (la barre surmontant la lettre ra est destinée à indiquer que ce potentiel est relatif au système isostatique).

Au susdit système isostatique, supposé soustrait à l'action des forces F, FB„ FtJ et de la variation de température, appliquons ;

i" Aux points

Aj, A,, A,, ...,

des forces auxiliaires, de grandeurs quelconques,

suivant les directions

4,, Aj, ij, ... ; 2° Aux points

des forces formant des couples auxiliaires, de grandeurs quelconques,

d'axes dirigées suivant

r,, ij, r3, ....

Sous l'action de ces forces et couples auxiliaires, le système isostatique prend un nouvel état de déformation; soient :

a',, X'ît Va, • ■ ■ , <p'(, »'j, f'a, . . . les nouvelles valeurs des déplacements projetés et des rotations projetées X,, Xa, Xa. ....

?n <?ij ?sj ■ • ■;

ij, t'r, sî, y'tI) '-j-j,, v'ry les nouvelles valeurs des paramètres de la

déformation d'un parallélépipède élémentaire pris en un point

quelconque (x, y, s) ; *\f £ 'e potentiel interne, rapporté à l'unité de volume au point

(x,y,z), potentiel qui a pour expression, d'après la formule (4)

(*') w^s=7(»i+*7-<-*l),-*-|*f*ï-»-«? + *î?)-i-^(7^-i-T'A-i-Tir):

ll.î,s le potentiel interne total du système, qui, d'après la formule (5) (n° 4), a pour valeur

Og z=ff J'wfzda;<iyds.

Faisons subir, au système isostalique ainsi déformé, une déformation virtuelle compatible avec les liaisons de ce système; et

soient SX'j ,' SX', , SX', , ---, 3s',, 5»!,, 05'3, ,8êj,8êÎ, 6t',, 8v' 2v'=J.,

Sy',.,, les variations virtuelles correspondantes des déplacements projetés, des rotations projetées et des paramètres de la déformation. Le théorème du travail virtuel donne immédiatement l'.équation S, SX', -+- êt SX', + ,f,a,I + ...+ £l S?', -+- 2,3^ + 3, 3*',

le premier membre de celle équation représente, en effet, letravail virtuel des forces et couples auxiliaires ('), et le second membre, qui est la variation virtuelle du potentiel interne n.f,£, représente le travail virtuel, changé de signe, des forces intérieures.

La déformation virtuelle étant seulement astreinte à être compatible avec les liaisons du système isostatique considéré, on

( ') Les forces de liaison du système isostalique supposé soumis aux forces <fM $„ 9S, ... et aux couples 0,, &„ e„ ... n'interviennent pas dans l'expression du travail, attendu que les travaux virtuels de ces forces de liaison sont nula, en raison de ces liaisons mêmes.

peut prendre, pour cette déformation, la déformation^réelle subie par ce système, sous l'action des forces F, F„„ F„ et de la variation de température de t degrés, ce qui entraine : BX', = Xif SX', = X,, SX', = X,, ...;

B^i = if] , tyt = ipt, Slf', = Çi, ... ;

. 8sj =t^— ar, " St'r =êj. — it, èe'z =£j-h;

et, par suite,

(A) ^,X,-H^iX,H-,fjX,-i-...+ S1w1 + eiÇ,-(-83<?,-H...

v J J {.-££*+■■■+ -szry)*"lrdM

étant admis que la variation de température i est la même en tous les points du système.

Transformons les deux intégrales du second membre de l'équation (b). En ce qui concerne la première, imaginons qu'au système isostatique on applique simultanément : 1" les forces F, F„ et F,s; 2" les forces et couples auxiliaires § et S, sans d'ailleurs soumettre ce système à aucune variation de température; d'après le principe de la superposition, les paramètres de la déformation élastique, produite par l'ensemble de ces forces et couples, ont pour valeurs, en un point quelconque (x, y, z),

**-t-<c, e.r+E^, e,-t-i£, Yj-3-^tJ-h T«+ T». tx,+ ixy\ par suite, en désignant par roF Pt f. rf£ le polentiel interne, rapporté à l'unité de volume, en ce point du système déformé par les forces et couples précités, on a

<"'» "f,bv.,f,.,£s- ; [<•- ■+''* ' +<'' ** ' -•-<■' "*■*= >!' + >■[(■« +<i >'+(',■ •*-■■, )■+(■. + •; )■]

L'expression (a) de raK F ~ est une fonction homogène et du

second degré des six. quantités e^-, ..., y^ et, pour passer de cette expression à celles (a') et (a") de Bj ^ et de ro . j-, il

suffit d'y remplacer ces six quantités, d'abord par e'„ ..., yl-,., puis par (sx-\- ë^.), ..., ("fa-j-r- "(xy)'> Par conséquent, en vertu de la propriété des fondions homogènes et dû second degré déjà utilisée au n" 33, on a identiquement

En multipliant les deux membres de cette identité pnrd&dydz et en l'intégrant pour le volume total occupé par le système de corps, on obtient

= nf,F.„Fl„.f,S~(nF,F.„P„

3ST1f

C'est l'expression transformée de la première intégrale du second membre de l'équation (l>), expression dans laquelle D , (Ïj „ et II représentent les valeurs du potentiel

r, tbpt ri» -', i r, Pas, r.i l L

interne total du système isostatique, déformé respectivement par : i " les forces F, F„, F1( ; 2° les forces et couples auxiliaires $ et © ; 3° l'ensemble de ces mêmes forces et couples.

Quant à la seconde intégrale de l'équation (b), on peut écrire, en vertu des formules (6) (n° i),

(ni -+- «J.-t- ni) rfr rfy dz.

en désignant par n^, n'y, n'z les fatigues normales sur trois éléments rectangulaires entre eux, menés en un point quelconque (;r, y, s) du système isoslatique soumis aux forces et couples auxiliaires 5 et S.

En remplaçant les deux intégrales du second membre de l'équation (b), par leurs expressions (c) el (d), et en écrivant le pre-

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mier membre sous forme abrégée, on obtient finalement

(37) 2'i+2e*-BF1F-.F,.1/.e-(liF1P-.Fh + Ve) - «t / j '/(*'*-*■ n'r+ Odxdy d*.

Nous retrouvons ainsi l'équation générale (3i) (n° 32) de l'élasticité des systèmes de corps isotropes.

En reprenant la démonstration précédente dans le cas d'un système de corps à fibres moyennes, on retrouve également l'équation (3a) (n" 33), dont le développement conduit à l'équation générale (33) (même numéro) de l'élasticité des systèmes dont il s'agît :

L'application de cette dernière équation au calcul des déplacements et des rotations élastiques et calorifiques, ainsi qu'à la détermination des forces de liaisons des systèmes hypers ta tiques,

a été exposée précédemment (n'" 36 et 39 à 42) ; il n'y a pas Heu d'y revenir:

45. Va n lia tes he l'équation générale de l'élasticité. — I. Cas des systèmes de corps isotropes. — Pour établir, au n"44, l'équation générale (37) de l'élasticité des systèmes de corps isotropes, nous avons considéré le système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système hypers tatique donné, et nous avons appliqué le théorème du travail virtuel à ce système supposé soumis aux forces et aux couples auxiliaires ^ et 3, dont la grandeur est arbitraire, en prenant, comme déplacements virtuels, les déplacements réels résultant de la déformation du système hypersla tique soumis aux forces données F et à la variation de température donnée t.

Si l'on reprend exactement la même démonstration., en considérant non plus ce système iso-italique, mais le système hyper statique donné, on obtient la variante que voici de l'équation {37) :

- M — en désignant par n^., n'., n". les fatigues normales sur trois éléments rectangulaires, menés en un point quelconque (x, y, s) du système hyperstatique soumis aux forces* et couples auxiliaires -f el 3.

Si, enfin, on reprend encore la même démonstration, en considérant le système isostatique intérieurement et complètement libre extérieurement, obtenu par la suppression des liaisons surabondantes intérieures el de toutes les liaisons extérieures du système hypersta tique donné, et en supposant ce système soumis, non plus à des forces et couples auxiliaires de grandeurs absolument arbitraires, mais à des forces et couples auxiliaires S et g astreints à la condition de s'équilibrer sur ledit système, on obtient la seconde variante

CM 2^2e* = V.,F,.,.f,e

^fff.(>C+n~y+0 doc dy dz,

dans laquelle : flp F Vij> Tlf s et II,,. ^ F|i y - désignent respectivement le potentiel interne total du système isostatique intérieurement et complètement libre extérieurement, déformé par : i° les forces F données, toutes les forces de liaisons extérieures Fe du système hyperjta tique donné et les forces de liaisons intérieures surabondantes F„ de ce dernier système; a° les forces el couples auxiliaires # et 3; 3° l'ensemble de ces forces et couples.

nZi "ri "c sont les fatigues normales, sur trois éléments rectangulaires menés en un point quelconque (x, y, a) du système isostatique intérieurement et complètement libre extérieurement soumis aux forces el roupies auiilinires $ et £.

II. Cas des systèmes de corps à fibres moyennes. — Aux deux variantes, qui viennent d'être indiquées, de l'équation générale (3-) (n° 44) de l'élasticité des systèmes de corps isotropes, correspondent deux variantes de l'équation générale (38) (même numéro) de l'élasticité des systèmes de corps à fibres moyennes.

Ces deux dernières variantes montrent que, dans l'équation (38),

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on peut, à volonté, considérer les éléments de réduction Jlj, &!,••■) ;)lt£, comme résultant soit de l'application de forces et couples auxiliaires $ et 2) de grandeurs arbitraires, au système isostatique délini précédemment; soit de l'application de ces mêmes forces et couples au système hy/ierstatique donné; soil, enfin, de l'application, au système isostatique intérieurement et com/'lètement libre extérieurement, défini précédemment, de forces et couples auxiliaires ^ et 2 astreints à la condition de s'équilibrer sur ce système.

C'est au dernier de ces trois points de vue que nous nous sommes placés dans notre Mémoire déjà cité sur l'équation générale, de l'élasticité et ses applications ; ici,^nous avons adopté le premier, parce qu'il rattache d'une manière plus directe la seconde méthode fondée sur le théorème des forces vives, à la méthode fondée sur le théorème du travail virtuel. En ce qui concerne la facilité des applications, ces deux points de vue sont d'ailleurs absolument équivalents : effectivement, qu'on choisisse l'un ou l'autre, les éléments de réduction .)£, (?,,,..., DfL^ sont toujours statiquement déterminés et, par suite, se calculent aisément.

Le second point de vue n'a qu'un intérêt purement théorique.

Théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levy, complété.

46. Ce théorème découle immédiatement de l'équation générale de l'élasticité. Considérons un système de corps isotropes ou à fibres moyennes; supposons-le hyperstatique (le cas d'un système isoslatique sera regardé comme un cas particulier; celui d'un corps unique, également).

Appliquons-lui un premier système de forces (A). Soient : m le nombre de ces forces, FA. l'une quelconque d'entre elles, A, son point d'application, A,- sa direction, llF le potentiel interne total du système de corps déformé par ces forces.

Remplaçons le système de forces (A) par un second système de forces (B). Soient : n le nombre des forces de ce second système, FB. l'une quelconque d'entre elles, B; son point d'application, iB. sa direction, llFi le potentiel interne total du système de corps déformé par ces forces.

Appelons :

XJ. la projection, sur la direction AK, du déplacement élastique du

point A(- sous l'action du système de forces (B); X[. la projection, sur la direction AB., du déplacement élastique du

point B,-, sous l'action du système de forces (A) ; ïïF/ir, 0U nKi1fA la valeur que prendrait le potentiel interne total du

système de corps, si celui-ci était déformé par les deux systèmes

de forces (A) et (B) agissant simultanément.

Cela posé, la variante (3ç>) (n° 45) de l'équation générale de l'élasticité, si l'on y annule la variation de température t, qui n'intervient pas dans la question présente, et si l'on y annule également les couples auxiliaires G, se réduit à

Celte équation appliquée à la déformation du système de corps, par le système de forces (B), donne immédiatement, si l'on prend comme forces auxiliaires $, les forces du système A,

(«0 2Fa'X^= ""■■"'- ("F'^"F')-

Appliquée à la déformation du système de corps, par le système de forces (A), cette même équation donne, si l'on prend comme forces auxiliaires les forces du système (B),

<*) 2FB^ = nF',F'-(IlF*~1~I1,,')-

Les deux relations (a) et (b) sont précisément celles (e) et (/) (n° 29) qui se traduisent par le théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levy, complété.

Application de l'Equation générale de l'Elasticité, à la Statique graphique des arcs élastiques.

47. Dans son magistral Traité de la Statique graphique, Maurice Levy a exposé de très remarquables méthodes graphiques, pour le

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calcul des arcs élastiques, astreints à des liaisons surabondantes et soumis à des forces extérieures agissant dans le plan de leur fibre moyenne, ainsi qu'à une variation de température.

Ces méthodes ne tiennent compte que des déformations élastiques correspondant au couple de flexion; elles négligent celles correspondant à l'effort normal et à l'effort tranchant.

Elles sont fondées sur la propriété que possèdent des forces fictives parallèles entre elles, appliquées à chaque élément ds de la fibre moyenne de l'arc et égales à Tf.ds, M désignant le moment de flexion dans la section d'abscisse curviligne s, 1 le moment d'inertie de celte section et E le module d'élasticité longitudinale de la matière constituant l'arc. Ces propriétés, particulières à chaque type d'arc, résultent des conditions auxquelles celui-ci est astreint, dans sa déformation élastique, du fait de ses liaisons surabondantes ; elles sont établies, dans le Traité de Maurice Levy, au moyen des expressions des déplacements élastiques, obtenues par les méthodes géométriques et cinématiques de calcul des déformations; elles se déduisent, d'ailleurs, plus simplement de l'équation aux liaisons surabondantes (n° 39) ou (ce qui, au fond, revient au même) de l'équation générale de l'élasticité des systèmes de corps à fibres moyennes,

2 A +2e» - ~ " /"* * +/3IV B *•

par la suppression des termes correspondant aux déformations dues à l'effort normal N et à l'effort tranchant T.

Le degré d'approximation qu'on obtient en négligeant ces déformations peut souvent être considéré comme suffisant ; mais, dans certains cas, notamment lorsqu'il s'agit d'arcs surbaissés, il n'en est plus de même et il est alors nécessaire de tenir compte, sinon des déformations dues à l'effort tranchant qui sont toujours les plus faibles, du moins de celles dues à l'effort normal. On peut y parvenir par des correctifs assez simples qui, tout en n'altérant en rien la contexture des méthodes graphiques, permettent

d'y faire intervenir, à volonté, soit seulement ces dernières déformations, soit également celles dues à l'effort tranchant ('). Voici

■48. Introduction des déformations due* à l'effort t. r désignant le rayon de gi ration d'une section quelconque (S) de l'arc, autour de l'axe mené par le centre de gravité G de cette

section (fig- 10) normalement au plan de la fibre moyenne, portons, sur l'intersection de ce plan avec celui de la section (S),

GH'=GH'=r..

Appelons :

Points conjugués relatifs à la section (S), les deux points H' et H" qui ne sont autres que les deux sommets de l'ellipse centrale d'inertie de la section;

Lignes conjuguées, les deux lieux A'B' et A"B* des points H' et H" relatifs à toutes les sections de l'arc; à chaque élément ds de la fibre moyenne AB de l'arc correspondent deux éléments ds et ds" des lignes conjuguées;

Moments conjugués relatifs à la section (S), les deux sommes respectives des moments, par rapport à H' et à H", des forces élastiques développées dans cette section (ou des forces extérieures agissant à gauche de cette même section);

M' et M" les valeurs de ces moments, dans l'arc hyperstatique considéré, soumis à des forces extérieures données F et à une variation de température t;

{') Bebtrand de Fûntviolant, Mémoire sur la Statique graphique des arcs élastiques ( Comptes rendus de F Académie des Sciences, t. CX, 1890, p. 697, et Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, avril 1890, p. 4oî).

■ïïl' et ;)R" les valeurs de ces mêmes moments, dans l'arc isostatique, obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de l'arc h yper statique, et soumis à des forces et couples auxiliaires §

ete.

On a immédiatement

M'= M-t-Hr, M*= M-Ni-; d'où

n~m'-m', m = îl±«:.

De même,