II. P. -III. I

2 CIIVPITRU: XX.II.

Si l'on savait intégrer ces équations, on en tirerait

X = (fi{l, xo, yo, ^o),

y = ?2(?; ^0, JKO, -o), Z = C23(/, Xo, JKo, -So),

de sorte que ^,y et z seraient exprimés en fonction du temps t et de leurs valeurs initiales ^oî^oi Reconnaissant la position initiale d'une molécule, on en déduirait ainsi la position de cette même molécule au temps t.

Considérons des molécules fluides dont l'ensemble forme à l'origine des temps une certaine figure Fq ; quand ces molécules se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira en se déformant d'une manière continue, et à l'instant t l'ensemble des molécules envisagées formera une nouvelle figure F.

Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu, c'est-à-dire que ii, c, w sont des fonctions continues de x,y, z] il existe alors entre les figures Fq et F certaines relations que la continuité rend évidentes.

Si la figure Fq est une courbe ou une surface continue, la figure F sera une courbe ou une surface continue.

Si la figure Fo est un volume simplement connexe, la figure F sera un volume simplement connexe.

Si la figure Fq est une courbe ou une surface fermée, il en sera de même de la figure F.

Examinons en particulier le cas des liquides; c'est celui oi!i le fluide est incompressible, c'est-à-dire où le volume d'une masse fluide est invariable.

Supposons alors que la figure Fq soit un volume, au bout du temps t la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un volume différent qui ne sera autre chose que la figure F.

Le volume de la masse fluide n'a pas dû changer; donc Fq et F ont même volume : c'est ce que l'on peut écrire

(2) I I I c/xdy dz = I dxo dy^ dz^ ;

la première intégrale est étendue au volume F et l'autre au volume Ffl.

INVARIANTS INTÉGRAUX.

Nous dirons alors que l'intégrale

III dx dy dz

est un invariant intégral.

On sait que la condition d'incompressibilité peut s'exprimer par l'équation

, , du dv dw

dx dy dz

Les deux équations (2) et (3) sont donc équivalentes.

Revenons au cas des gaz, c'est-à-dire au cas où le volume d'une masse fluide est variable; c'est alors la masse qui demeure invariable, de sorte que si l'on appelle 0 la densité du gaz on aura

(4) I I p dx dy dz = I I po dxQ dyo dzo-

La première intégrale est étendue au volume F, la seconde au volume Fq. En d'autres termes, l'intégrale

/ / j p dx dy dz

est un invariant intégral.

Dans ce cas, le mouvement étant permanent, l'équation de continuité s'écrit

. d(pu) d(pv) ^ d(piv)

dx dy ' dz

Les conditions (4) et (5) sont donc encore équivalentes.

!234. Un second exemple nous est fourni par la théorie des tourbillons de Helmholtz.

Supposons que la figure Fo soit une courbe fermée, il en sera de même de la figure F.

Supposons que le fluide, compressible ou non, soit à une température constante et ne soit soumis qu'à des forces admettant un potentiel; il faut alors, pour que le mouvement reste permanent, que «, V, w satisfassent à certaines conditions qu'il est inutile de développer ici.

Supposons-les remplies.

Cela posé, considérons l'intégrale

( u dx -f- V dy -\- w dz ) .

Elle aura, comme nous l'apprend le théorème de Helmhollz, même valeur le long de la courbe F et le long de la courbe Fq.

En d'autres termes, cette intégrale est un invariant intégral.

Définition des invariants intégraux.

23o. Dans les exemples que je viens de citer on est facilement conduit, par la nature même de la question, à la considération des invariants intégraux.

Mais il est clair que l'on peut employer ces invariants en en généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où l'on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique aussi simple.

Considérons des équations différentielles de la forme

dx dv dz ,

X, Y, Z étant des fonctions données de x, y, z.

Si l'on savait les intégrer on en tirerait ^, y, z en fonction de t et de leurs valeurs initiales ^05 J'05 ^o-

Si nous regardons t comme représentant le temps et x, y, zcomme représentant les coordonnées d'un point mobile M dans l'espace, les équations (i) définiront les lois du mouvement de ce point mobile.

Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître la position du point M au temps t connaissant sa position initiale Mq dont les coordonnées sont Xq, yo, Zq.

Si l'on considère des points mobiles suivant la même loi et dont l'ensemble forme à l'origine des temps une figure Fq, l'ensemble de ces mêmes points formera à l'instant t une autre figure F qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant que la figure Fq sera elle-même une ligne, une surface ou un volume.

l?y'VARIANTS INTEGRAUX. 5

Considérons alors une intégrale simple

(2) j {kdx-^B dy -^Cdz),

OÙ A, B, C sont des fonctions connues de ^, y et ;;; il peut arriver que si Fo est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous les éléments de la ligne F soit une constante indépendante du temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même intégrale étendue à tous les éléments de la ligne Fq.

Supposons maintenant que F et Fo soient des surfaces et envisageons l'intégrale double

(3) I I {A.' dy dz -hB'dcc dz-h C'dx dj),

où A', B', C sont des fonctions de x, y et z. Il peut arriver que cette intégrale ait la même valeur, qu'on l'étende à tous les éléments de la surface F ou à tous ceux de la surface Fo-

Imaginons maintenant que F et Fq soient des volumes et envisageons l'intégrale triple

(4) C f fmdccdydz,

M étant une fonction de x, y, z; il peut arriver qu'elle ait même valeur pour F et pour Fq.

Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3) ou (4) sont des invariants intégraux.

Il arrivera quelquefois que l'intégrale simple (2) n'aura la même valeur pour les lignes F et Fq que si ces deux courbes sont fermées ; ou bien que l'intégrale double (3) n'aura la même valeur pour les surfaces F et Fo que si ces deux surfaces sont fermées.

Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral />a7' rapport aux courbes fermées et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées.

236. La représentation géométrique dont nous avons fait usage ne joue évidemment aucun rôle essentiel; nous pouvons la laisser de côté et rien n'empêchera plus d'étendre les définitions précédentes au cas où le nombre des variables est plus grand que trois.

Considérons alors les équations

rf.r, dx^ dx„

(I) -^ = ^^=...= -^^dt.

oîi X, , Xo, . . • , X„ sont des fonctions données de ^) , ^2? • • • , a^/i ; si l'on savait les intégrer, on connaîtrait a;,, ^o, . . . , ^^ en fonctions de t et de leurs valeurs initiales x\^ x\^ . . ., x^. Nous pouvons, pour conserver le même langage, appeler point M le système de valeurs x^, x... ■ • -, x^, et point Mq le système de valeurs x%

Considérons un ensemble de points Mo formant xme variété Fo et l'ensemble des points correspondants M formant une autre variété F (' ).

Nous supposerons que Fo et F sont des variétés continues à p dimensions où p ^ n.

Considérons alors une intégrale d'ordre p

M fi

A rfw,

où A est une fonction de Xi, x.2, • ■ • , ^n et où d(» est le produit de/? différentielles prises parmi les n différentielles

dxi, dx2, . . . , dx,i.

Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés F et Fq. Nous dirons alors que c'est un invariant intégral.

Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés F et Fq, mais seulement à la condition que ces deux variétés soient fermées. C'est alors un invariant intégral par rapport aux variétés fermées.

On peut encore imaginer d'autres espèces d'invariants intégraux. Supposons, par exemple, que /) = i et que F et Fq se

(') Le mot variété est maintenant assez usité pour que je n'aie pas cru nécessaire d'en rappeler la définition. On appelle ainsi tout ensemble continu de points (ou de système de valeurs) : c'est ainsi que dans l'espace à trois dimensions, une surface quelconque est une variété à deux dimensions et une ligne quelconque, une variété à une dimension.

INVARIANTS INTEGRAUX. 7

réduisent à des lignes; il peut arriver que l'intégrale

/ ( Al clx^ -\- A2 dx^__ + . . . -h A„ dxn )= /sa,- dxi

ait même valeur pour F et Fo et soit invariant intégral; mais il peut arriver aussi que l'intégrale

/ y E B/ dxf -h il. Ci A- dxi dxi^.,

OÙ les B et les G sont comme les A des fonctions de Xi^ x^-, . . . ^ Xi^; il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour F et Fo et il serait facile d'imaginer d'autres exemples analogues Le nombre p s'appellera V ordre de V invariant intégral.

Relations entre les invariants et les intégrales.