Reprenons le système
<:/,r, dx',. dx„,
(i) =^ ^...= —- =dt.
Si l'on savait l'intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.
Si en effet l'intégration était effectuée, on pourrait en mettre le résultat sous la forme
JK/i-i = G,j i, z = i + G„,
C|, Co, . . ., Grt étant des constantes arbitraires, les y et z étant des fonctions données des x.
Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles, au lieu des x, les y et z.
Considérons alors un invariant intégral quelconque; cet invariant devra contenir sous le signe / (qui sera répété p fois si l'invariant est d'ordre p), il devra contenir, dis-je, une certaine
expression, fonction des x el de leurs difFérentielles dx. Après le changement des variables, cette expression deviendra une fonction des y^ de s, et de leurs difFérentielles dy et dz.
Pour passer d'un point de la figure Fo au point correspondant de la figure F, il faut, sans changer les jk, changer z &n z -\- t. Donc, en passant d'un arc infiniment petit de Fo à l'arc correspondant de F, les différentielles dy et dz ne changent pas (la quantité t qu'on ajoute à z est en effet la même pour les deux extrémités de l'arc); enfin, si l'on considère une figure infiniment petite Fo d'un nombre quelconque de dimensions et la figure correspondante F, un produit d'un nombre (égal à celui des dimensions de Fo et F) de différentielles dy ou dz ne changera pas non plus quand on passera d'une figure à l'autre.
En résumé, pour qu'une expression soit un invariant intégral, il faut et il suffit que z iiy figure pas ; les y^ les dy et dz peuvent y figurer d'une manière quelconque.
Considérons une expression de même forme que celle que nous avons envisagée dans le paragraphe précédent
(3) TsAf/tu,
cette expression représente une intégrale d'ordre />, A est une fonction de ^i , x-,, • • • , Xa, d^M est un produit de p différentielles prises parmi les n différentielles
Cfc»x7j . (XJi'^j ■ • • f Cl' Ou 11^ *
Nous voulons savoir si c'est un invariant intégral; faisant le changement de variables indiqué plus haut, l'expression (3) deviendra
B est une fonction des y et de z, do)' est un produit de^ différentielles prises parmi les n différentielles
dyi, dy^, ..., dfa-u dz.
Pour que l'expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il suffit que tous les B soient indépendants de z et ne dépendent que des y.
INVARIANTS INTÉGRAUX. 9
Reprenons de même , comme dans le numéro précédent, l'expression
dxf + 2 S Gi,k dxi dxk,
les Bj et les C/./t étant des fonctions des x.
Après le changement de variables, cette expression deviendra
j'ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,
^i- = J/; (J = 1, 2, ..., n — i); oc',^= z,
Pour que l'expression (4) soit un invariant intégral, il faut et il suffît que tous les B^ et les d- j^ soient indépendants de z et ne dépendent que àey.
Invariants relatifs.
238. Nous sommes conduits maintenant à chercher à former les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons d'abord/? = i et cherchons quelle est la condition pour que l'intégrale simple
(i) I {Ajdxi-\- A^dx^-h. . .+ Andxn)
soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.
Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre intégrale deviendra
ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique de la fin du numéro précédent,
(i bis) fzBidx'i.
Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension, c'est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le
théorème de Slokes en une intégrale double étendue à une variété non fermée à deux dimensions, c'est-à-dire à une surface non fermée; on a
Mais l'intégrale du second membre de (2) doit être un invariant intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées. Nous conclurons donc ceci :
Pour que (i) soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées, il faut et il suffît que les binômes
dx'i^ dx'i soient tous indépendants de z.
De même et plus généralement soit
(3) r^Adoi
une expression intégrale d'ordre /»; de même forme d'ailleurs que celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents; nous voulons savoir si c'est un invariant intégral par rapport aux variétés fermées d'ordre p.
Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée quelconque d'ordre/?; un théorème analogue à celui de Stokes nous apprendra alors qu'elle peut être transformée en une intégrale d'ordre p -f- 1 étendue à une variété quelconque, fermée ou non, d'ordre /? + i . L'intégrale transformée s'écrit
(4) Js^/
dx/^
d.T/,. diij .
On prend toujours le signe + si /? est pair et alternativement îe signe + et le signe — si /? est impair. [Je renverrai pour plus de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, tome VIII), et à mon Mémoire du Cahier du Centenaire du Journal de U Ecole Polytechnique.^
La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un inva-
INVARIANTS INTEGRAUX. Il
riant intégral d'ordre p par rapport aux variétés fermées, c'est que (4) soit un invariant intégral absolu d'ordre/? + i .
239. Reprenons l'expression (i) du numéro précédent et supposons que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.
Amenons-la à la forme (i bis) par notre changement de variables .
Soit Mo un point de Fo
y\, j2, •••, yn-\, z
ses coordonnées (avec les nouvelles variables). Soit M le point correspondant de F
Jl> JK2, •••: J«-i. - + ^
ses coordonnées. Les B^ seront des fonctions des y et de z^ mais je mettrai z en évidence, en écrivant B^ sous la forme
Nous aurons alors, si la ligne Fo est fermée,
ce qui veut dire que l'expression
(3) I.[YirAz + t)-Bk{z)]dx'!,
est une différentiel] e exacte que je pose égale à dY ] la fonction V dépendra non seulement des y et de 5, mais encore de t. Pour ^ = o, elle doit se réduire à une constante.
Si nous smpposons t infiniment petit et que nous appelions ^\{z) la dérivée de Ba(^) par rapport à z, l'expression (3) se réduit à
'L{tB'k{z)]dx'!-.
L'expression
(4) ■ SB'/,(^)«?^k.
est alors une différentielle exacte que je pose égale à d\]. La fonction U ainsi définie dépendra des y et de z, mais ne dépendra plus de t. Je mettrai encore z en évidence en écrivant U(:;); il
vient alors
/(t) étant une fonction arbitraire de t.
Or U(^) peut être regardé comme la dérivée par rapport à z d'une autre fonction W(;^) dépendant aussi des jk et l'on aura
Comme d'autre part V doit se réduire à une constante pour t = o, nous conclurons finalement
cp(^) désignant une fonction arbitraire de t seulement que l'on pourrait d'ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement la généralité. On trouve alors
Ck étant indépendant de z, de sorte que l'expression (i bis) se réduit à
jd\y + Ts Ga- dx'f,,
la première intégrale étant celle d'une différentielle exacte et la seconde étant un invariant intégral absolu.
240. Traitons de même un invariant relatif d'ordre supérieur au premier; soit
cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra
L'intégrale
(i) fz[B(z-ht) — B(z)]dui'=l
devra être nulle quelle que soit la variété fermée d'ordre p à laquelle on l'étende.
INVARIANTS INTÉGRAUX. l3
Elle devra donc satisfaire à cerlaines « conditions d'intégrabilité » analogues à celles qui expriment qu'une différentielle totale du premier ordre est une différentielle exacte.
Considérons maintenant une variété V de /? dimensions, mais non fermée et limitée par une variété v àe p — i dimensions qui lui servira de frontière.
L'intégrale (i), étendue à la variété V, ne sera pas nulle, mais si on la calcule pour d'autres variétés analogues V, V", etc., ayant même frontière p, on trouvera la même valeur, c'est-à-dire que la valeur de l'intégrale (i) ne dépend que de la frontière v.
Elle est égale à une intégrale d'ordre p — i^
clw"
étendue à la variété ç et où diû" désigne un produit quelconque de /? — i différentielles pendant que G est une fonction des y, de z et de t.
Cette intégrale (2) est évidemment une fonction de ^, dépendant en outre de la variété v. Considérons sa dérivée par rapport à t; on aura
Cette dérivée, comme le montre sa dernière expression, ne change pas quand on y change t en t — A et quand, en même temps, on transforme V (ou ^) en y changeant partout z en z -{- h. On en conclut que J est de la forme suivante
^{z) étant une fonction de x, y, z.
L'intégrale
est d'ordre p — i, mais on peut la transformer facilement en une intégrale d'ordre />; il suffît d'appliquer la transformation qui, dans le n° 238, nous a permis de passer de l'intégrale (3) à l'inlé-
grale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent numéro, nous avons passé de l'intégrale (i) à l'intégrale (2).
L'intégrale (3), étendue à la variété v, est donc égale à l'intégrale d'ordre p
(4) J'l.E(z)doi'
étendue à la variété V.
Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour les intégrales simples, que l'intégrale (4) est une intégrale de différentielle exacte. Et en effet :
1° Elle est nulle pour toute variété fermée;
2° Elle est réductible à une intégrale d'ordre moindre.
Cela posé, on aura
les intégrales sont étendues à la variété V. Mais cette égalité peut encore s'écrire
Cl.[B{ z. + t)—E{z ^ t)] doi' = r^[B(z) — E(z)]doj',
et elle est vraie pour une variété V quelconque. Cela veut dire que
^^[B{z) — E{z)] diù'
est un invariant intégral absolu.
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Tout invariant intégral relatif est la somme d'une intégrale de différentielle exacte et d'un invariant intégral absolu.
241. Nous avons vu au 11° 238 comment, d'un invariant relatif d^ordre /?, on pouvait déduire un invariant absolu d'ordre /J + i.
Le même procédé est évidemment applicable aux invariants absolus, de sorte qu'on pourrait être tenté de l'appliquer de proche en proche et de construire successivement des invariants d'ordre/» + 2, /> H- 3, ....
Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.
INVARIANTS INTÉGRAUX. l5
Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire, c'est celui où l'invariant que l'on veut transformer est une intégrale de différentielle exacte. L'invariant intégral auquel conduirait la transformation serait alors identiquement nul.
Si maintenant on transforme un invariant d'ordre/), on obtient un invariant d'ordre /? + i , mais cet invariant est une intégrale de différentielle exacte, de sorte que si l'on veut le transformer de nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul.
Relation entre les invariants et l'équation aux variations.
