SID X
qu'il convient de rapprocher du double tableau suivant :
A = cos fi cos V — sin jA sin v cos* y
B :z sin fx sin v
C = sin {\i + v) cos Y
D = sin (jA — v) sin y
p C» (A +B) +D*A __ A (C« -4- D«) + B C« "~ ;C« + U^iV'c* + D» "" (G* + D»/ V'C» -f D» B (D» — C»)
2 BCD (C« + D») V'C» -h D*
On prend le radical avec le môme signe partout. On peut encore simplifier Téquation (3) en posant :
Q sin X H- R cos a? = T sin (a? -f p) doù
Q = TcosP R = Tsin? ig p = ^^,
et
On voit alors que
{4)Colg2y = ^ + Tsin(x+?)
OU
Les deux courbes Y, et Y, se construisent facilement et donnent à l'œil une notion de la courbe en cotg 2 y.
La courbe Y, est symétrique par rapport à Tordonnée ^ = s- La courbe Y, ne possède pas en générai cette symétrie.
Les valeurs de cotg 2y ne passent par l'infini que pourx = nr.
Elles se reproduisent périodiquement pour œ' = 2 n tu -f x, et cette périodicité existe avec un simple changement de signe de cotg 2y pour 3^ = n-K + T.
Nous ne considérerons donc désormais, dans ce qui suivra, que les valeurs de x variant de à tt.
La recherche des maxima de cotg 2 y revient évidemment à celles des ordonnées au droit desquelles les tangentes aux courbes Y, et Y, sont également inclinées sur Taxe des x, mais en sens opposé.
EIn partant de Téquation (3), on trouve :
d cotg 2 y ^ ces X , ^ „ .
^2 — 2. = — p ,— h Q cos X — R sm X
dx sin* X
Cette dérivée, égalée à 0, donne dans le cas le plus général une équation du troisième ordre en sin»x, qui fournit, pour x variant de à w, trois valeurs correspondant à des maxima ou à des minima de cotg 2 y.
Il est plus commode de la laisser sous la forme suivante :
(o) cos X (Q sin* a? — P) — R sin* x =
Valeurs y. — Les courbes en y se déduisent des courbes en coig 2 y. En effet, la dérivée — s annule avec
d cot 2 y (i Y d X d X
On a, en effet,
d arc cot Y = —
1 l-Y« On en déduit que •
t/y i P COS X — Q sJD* X COS X -f R sia* x (^) 5x ~ 2 siQ* X + (P + Q sin' x + R siQ xcos x^*
Suivons maintenant la courbe en y, quand x varie de à i:.
Pour X — 0, cot 2 y est infinie et y = 0; la tangente à la courbe
a pour valeur
rfy P dx — 2
Puis les valeurs de y croissent en valeur absolue et passent au moins par un maximum ou minimum, et par trois au plus, donnés par réquation
(5) COS X (Q sin* x — P) — R sin' x =
Les valeurs absolues de y ne dépassent 45' que si coig 2 y s'annule, c est-à-dire si Ton peut avoir (équation 2)
A + B sin* X = 0<-|<i
Pour
et
cotg 2 y = p + Q = cot 2 e
rfy l R
dx ~ 2 1 + (P + Q)»
Pour
XZIZTZ COtg 2 y = 00 J/ =
et
dx 2
En résumé pour construire les courbes Y, et Y„ il faut d*abord calculer les valeurs A, B, C, D, en fonction des données ^l, v et y.
Courbe Y, — On en déduit Tangle a que fait, avec le plan bissecteur de Tangle 2 y» le plan de la zone pour lequel y = 0.
Pour achever de tracer approximativement la courbe Yj, il suffît de calculer son ordonnée minimum égale à P.
p A rc -I- D*) -f B c«
Courbe Y, — Quant à la courbe Y,, c^est une sinussoïde qui coupe Taxe des x au point x = tz — ^.
L'ordonnée maximum de cette sinussoïde est égale à
