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Elle s’écrira Ne plus simplement L—1

la désignerons par le symbole 4.

2, On peut aussi prendre comme moyenne de #7 grandeurs l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses de ces grandeurs; c’est la moyenne harmonique, que nous désignerons par le symbole H, et qui a comme formule, en ce qui concerne les nombres indices des prix

Sue , et nous n po

FO L,pe ;p n pi pi

3. On appelle moyenne géométrique de n grandeurs un nombre tel que si on le multiplie n-1 fois par lui-même on obtient le même résultat qu’en multipliant ces n grandeurs les unes par les autres. La moyenne arithmétique était de même un nombre tel que si on l’ajoute n-f fois à lui-même on obtient le même résultat qu’en additionnant, ces n grandeurs. On voit que la moyenne géométrique est exactement à l’opération de multiplication ce qu'est la moyenne arithmétique à l’opération d’addition. Il est certain que la moyenne géométrique nous est moins familière que la moyenne arithmétique, mais il ne semble pas, contrairement à ce qu'ont dit de nombreux auteurs, qu'elle soit logiquement moins simple, plus difficile à comprendre que la moyenne arithmétique.

La moyenne géométrique sera désignée par le symbole G et aura comme formule :

n| 2 i IP, VA C— ne À NASA SE er Na \p! pi

(1) Lucien March. Revue de métaphysique et de morale, 1921, p. LES (2) Statist.. 27 janvier 1923, p. 117.

La moyenne géométrique peut être ramenée à la moyenne arithmétique par l’emploi de logarithmes, On sait que l’on entend par logarithme d’un nombre, dans un système de logarithmes de base 4, la puissance à laquelle il faut élever la base a (c’est-à-dire, s’il s’agit d’un puissance entière, le nombre de fois diminué de 7 qu’il faut multiplier la base par elle-même) pour reproduire le nombre donné. C’est ainsi que dans le système de logarithmes à base 10 (qui est celui des tables de logarithmes) on a : log. 10003, puisqu’en multipliant 2 fois la base (10) par elle-même, on reproduit le

nombre 1000 (10 —1000). On sait également — et d’ailleurs cela résulte directement de la définition qui vient d’être donnée — que le logarithme du produit d’un certain nombre de termes est égal à la somme des logarithmes de ces termes, et de même que le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes des deux nombres Le principal avantage de la fonction logarithmique est de remplacer les multiplications et les divisions par des additions et des soustractions,

D’après la définition même de la moyenne géométrique, on à :

1 n Ce De Se DOS X ou Po Po DR a P:1 D'où n log. G — 08200 il = P:

log. G—: 2 102.

Il en résulte que la moyenne géométrique de n grandeurs est le nombre qui a pour logarithme la moyenne arithmétique des logarithmes des grandeurs,

4, La médiane est une moyenne de nature différente des précédentes; elle ne tient pas compte de la grandeur des nombres dont elle est la moyenne, mais seulement de leur position respective. Si l’on suppose les nombres classés par ordre de grandeur, la médiane est la valeur du milieu, c'est-

à-dire la valeur telle qu’il y ait autant de nombres plus grands qu’elle que de nombres plus petits qu'elle. Cette définition ne peut s’appliquer que si le nombre des grandeurs est impair; s’il y a 2 n+1 grandeurs, la médiane est la grandeur qui a le n° rang dans le tableau des grandeurs classées. Si le nombre des grandeurs est pair, il faut une convention supplémentaire pour définir la médiane; s'il y a 2 n grandeurs, on conviendra d'appeler médiane une moyenne entre la n° et la n+1° grandeurs dans le tableau des grandeurs classées ; on a encore à choisir la forme de moyenne à prendre entre ces deux termes; pratiquement on adoptera la moyenne arithmétique ou la moyenne géométrique selon les cas.. On désignera la médiane des prix relatifs ou le prix médian par le symbole Mé.

La médiane convient particulièrement quand on se préoccupe plutôt de la position que de la grandeur des données, par exemple en balistique. Son emploi dans le domaine de la mesure du mouvement des prix a été chaudement recommandé par plusieurs auteurs.

5. La dominante est celle des grandeurs dont on à à prendre la moyenne que l’on trouve le plus fréquemment. On rencontre rarement cette forme de moyenne dans le domaine des nombre indices des prix; cependant, ainsi qu'on le verra plus loin, on peut soutenir que le prix de chaque marchandise à utiliser pour le calcul du prix relatif est le prix dominant. D'autre part dans l’étude des salaires au temps, il arrive souvent que l’on ait à utiliser le salaire dominant. Pour conserver la notation qui dérive de l’appellation anglaise « mode » proposée dès 1895 par le professeur Pearson, nous désignerons la dominante par le symbole Ho.

Le professeur Irving Fisher, dans son livre « The making of index-numbers », auquel j'aurai si souvent à me référer, envisage une sixième espèce de moyenne, la moyenne agrégative. Ceite moyenne ne s'applique qu'à des rapports et n’est pas en réalité une forme de moyenne, c’est le quotient de la somme des dividendes par la somme des diviseurs, ou,

ce qui est identique, de la moyenne arithmétique des dividendes par la moyenne arithmétique des diviseurs. En matière de nombres indices des prix, la moyenne agrégative sp,

sera —, ou encore : ——. C’est le rapport de la moyenne

arithmétique des prix absolus aux deux époques. Nous ne sommes pas en présence d’une forme nouvelle de moyenne, mais d’une conception différente de l'indice, dans laquelle l'indice n’est pas une moyenne de rapports, mais un rapport de moyennes,

Signalons enfin deux formes de moyennes qui n’ont pas encore reçu d'application dans le. domaine des nombres indices des prix, mais dont la première est d’une application fréquente dans le calcul des probabilités et dont nous aurons à nous servir :

la moyenne quadratique, qui multipliée par elle-même est égale à la moyenne arithmétique des carrés des gran-

De?

la moyenne contre-harmonique, qui est le quotient de la somme (ou de la moyenne arithmétique) des carrés des grandeurs dont on prend la moyenne, par la somme (ou la

moyenne arithmétique) des grandeurs elles-mêmes

deurs dont on prend la moyenne (Mq=4/

J'az = Za?

Que 2 & DE —ÿa

Il existe entre certaines de ces moyennes des relations qu'il est bon de connaître :

1. La moyenne géométrique de deux grandeurs est égale à la moyenne géométrique de leur moyenne arithmétique et de leur moyenne harmonique, En effet, on a par définition :

2, La moyenne géométrique de deux grandeurs est toujours plus petite que la moyenne arithmétique de ces grandeurs,