CHAPITRE VIII

Nous avons passé en revue les problèmes principaux que soulève le calcul des nombres indices du mouvement des prix de gros des marchandises. Nous savons maintenant comment on les a calculés jusqu'ici, comment on peut et d’après quelles règles générales on doit les calculer. Mais il reste une question des plus importantes à examiner : que représente au juste le résultat de ces calculs, quelle confiance pouvons-nous avoir dans les nombres indices obtenus ? Toute théorie d’un instrument de mesure est incomplète, si elle ne nous apprend pas quelle est la précision de cet instrument.

Nous avons calculé un nombre indice : pouvons-nous le considérer comme exact à un millième, un centième ou un dixième près ? C’est là évidemment une question primordiale, et pourtant théoriciens et praticiens des nombres indices s’en sont fort peu préoccupés jusqu'ici. Aucune des séries de nombres indices actuellement publiées ne comporte d’indication à ce sujet; or certaines d’entre elles sont rapportées au nombre 100, d’autres au nombre 1.000 (ou au nombre 100, mais publiées avec une décimale, ce qui revient au même); il

semble donc que leurs auteurs considèrent ces indices comme exacts à une unité près, c’est-à-dire à 1 % ou à 1 °/ près, mais aucune justification ne vient à l’appui de cette conclusion. Si le problème est aussi mal résolu, c’est — il faut bien le reconnaître — qu'il est très difficile, et cette difficulté tient en grande partie à sa nature. Ce que nous cherchons à mesurer, le « quæsitum », comme dit le professeur Edgeworth, ne comporte pas une définition aussi précise que les grandeurs physiques; le pouvoir d’achat de la monnaie, le niveau général des prix des marchandises, etc., étant des grandeurs d’une tout autre nature que les grandeurs physiques, comme les longueurs, les forces, le temps, 1l n’est pas surprenant que nous soyons dans l’impossibihté de dire : le niveau général des prix a augmenté depuis telle date de 450 %, à n % près, alors qu’il nous est possible de dire : cette longueur est de 90 centimètres à 1/2 centimètre près, ou tel poids est de 3 kilogs à 5: centigrammes près, ou tel temps est de 3 minutes à 1 seconde près.

Mais on peut se proposer un problème beaucoup plus simple qui est le suivant : en supposant que nous puissions déterminer et utiliser tous les éléments possibles de l’indice et sachant que nous ne connaissons les prix relatifs qu’à n % près et les poids qu’à n° % près, quelle est l’erreur probable du nombre indice correspondant ? Le problème n’a été résolu que pour une seule formule, la plus importante il est vrai, la moyenne arithmétique pondérée. C’est le professeur Edgeworth qui a donné et démontré l’expression de l'erreur de la moyenne arithmétique pondérée des prix relatifs en fonction de l’erreur et de la dispersion des données (prix relatifs et poids), dans son 2 Memorandum pour l’Association britannique pour l’avancement des sciences, qui est à mon sens la partie capitale de l’œuvre du savant professeur sur les nombres indices.

La plupart des auteurs se sont -contentés, pour apprécier la valeur des nombres indices, de comparer les différents nombres indices calculés pour un même pays. Or, comme

nous l’avons vu, ces nombres indices présentent des variations dont l’allure générale est la même, mais qui divergent assez sérieusement dans le détail. Ces divergences ont été par exemple assez marquées lors de la grande crise de 1920. Aux Etats-Unis par exemple, l’indice de Bradstreet atteint le premier son maximum en février 14920, puis au cours des dix mois suivants il diminue d’un tiers environ, retombant ainsi au même niveau que quatre mois avant le maximum; au contraire l’indice du Federal Reserve Board et celui du Bureau of Labor Statistics n’atteignent leur maximum qu’en mai 1920 et retombent à la fin de 1920 au niveau où ce <ernier se trouvait deux ans auparavant. De même en Grande- Bretagne les indices de l’Economist, du Statist et du Times ont leur maximum en mars ou avril 4920, tandis que l’indice du Board of Trade, après un léger recul en avril et en mai, n’atteint son maximum qu’en juillet 1920. « Ces différences, écrit M. Flux (1), ont causé un peu de confusion chez ceux pour qui les nombres indices sont une expression simple et infaillible de la course des prix ». Certains auteurs se fondent sur ces divergences pour ne considérer les nombres indices du mouvement des prix que comme des instruments grossiers ne pouvant donner de renseignements que sur le sens des variations (et encore nous venons de voir que ces rensei- . gnements peuvent parfois être contradictoires). M. Divisia, après avoir examiné quelques divergences montrées par les différents indices anglais, ou canadiens, ou allemands, ou français, conclut (2) : « En somme, il semble que l’on doive considérer que l’indice des prix de gros n’est pas défini à moins de 15 % près. » (Les indices du pouvoir général d’achat de la monnaie seraient naturellement encore beaucoup plus imprécis). Une telle conclusion ne serait justifiée que si tous les indices comparés étaient également bons, mais il n’en est pas ainsi : certains indices, en raison, soit de leur

) R. S. S., 1921, pp. 168-169.

composition, soit de leur formule, doivent être regardés comme étant des mesures plus exactes que d’autres. Tout en rendant hommage à certains indices qui ont eu leur heure de mérite, j'estime par exemple que l'indice du Board of Trade donne une meilleure mesure du mouvement des prix de gros en Grande-Bretagne que les indices de l’Economist où du Statist, ou que l’indice du professeur Irving Fisher donne une meilleure mesure du mouvement des prix de gros aux Etats-Unis que les indices de Dun ou de Bradstreet.

Un nombre indice est erroné pour deux raisons : d’abor& parce que les données qui servent à le calculer sont incomplètes, ensuite parce que ces données elles-mêmes sont inexactes.

La première erreur est très difficile à évaluer; il faudrait pour cela tenir compte de la corrélation qui existe entre les données servant au calcul de l’indice et les données négligées. Or cette corrélation est inconnue ou mal connue. Nous avons posé en principe que dans la composition de l'indice on devait s’efforcer de rendre cette corrélation aussi élevée que possible, mais en pratique il est bien difficile d’en évaluer numériquement la valeur. Cette question a retenu l’attention du professeur Truman Kelley, qui lui a consacré un important article dans les Quarterly Publications of the American Statistical Association (1). L'auteur a cherché à voir « de combien on se rapprochait par l’échantillonnage du nombre qui serait obtenu si l’on utilisait toutes les données possibles », chaque formule devant être tenue pour d’autant meilleure que l'erreur due à l’échantillonnage est plus faible pour cette formule. Ces recherches, basées sur le calcul des probabilités comme celles du professeur Edgeworth qui seront exposées plus loin, comportent l'hypothèse qu’il n’y a aucune corrélation entre les différents prix qui servent au ca!cul de l'indice. Malgré l’importance qu’il attache à la déter-

(1) 1921, pp. S26-841.

mination de l’erreur due à l’échantillonnage, le professeur Truman Kelley a dû renoncer à la calculer directement, sauf pour les formules simples et pour la moyenne géométrique pondérée. Il la détermine indirectement par la méthode suivante. On divise au hasard les 7 marchandises servant au calcul de l’indice en deux groupes égaux, puis on calcule les indices de chacun de ces groupes pour un certain nombre d’instants, enfin on calcule le cofficient de corrélation r entre les deux sous-indices. Notons que l’intervalle de temps entre les instants successifs doit être assez grand pour qu’on puisse considérer les cotations successives comme indépendantes les unes des autres.

Soit 1 et 5 les déviations-types des deux séries de sousindices L, et [,. Soit À une déviation dans l’indice I (c’est-àdire une erreur jugée par rapport à l'indice exact F’), d, une déviation dans le sous-indice [,, d, une déviation dans le sous-

rs MAN ES di + de indice L. On a I = = £ d’où À = LES Elevons au

carré, additionnons et divisons par n, et notons que 7 étant le coefficient de corrélation des sous-indices on a

Z di d2 = nr 1 0.

Il vient alors : 4 6/2 = 642 + 622 + 2r «1 0.

1 étant peu différent de 5, on peut les remplacer par leur moyenne arithmétique 5. L’équation précédente

s'écrit : = 56 VE

D'autre part la déviation-type des indices 1 pour la période de temps considérée et la déviation-type des valeurs

. / 7, LIYA Q Fe D , A vraies J’ sont reliées par l’équation 5 = 5° V1- res D'où

Gy = .

Or l'erreur probable de l'indice I est 0,6745 x 5v. Cette erreur probable s’exprime donc en fonction de la

corrélation r et de la déviation-type 5 des sous-indices par l'expression 0,6745 x o VE —-

Le professeur Truman Kelley estime qu'il suffit de 16 paires de sous-indices trimestriels pour calculer l'erreur probable.

Le professeur Irving Fisher a appliqué cette formule à un

fe 2 Pi Go 2 . 4 See appliquée à 200 mar-

indice calculé par la formule £ =

chandises soigneusement choisies pour leur caractère représentatif ; il a calculé deux sous-indices -de 100 marchandises chacun ; la déviation-type des sous-indices (calculée par rapport à leur valeur moyenne pour toute la période considérée) a été trouvée égale à 0,0344 et 0,0351, leur coefficient de corrélation à 0,79. La formule de Kelley donne alors pour erreur probable de l'indice 0,008, c’est-à-dire que l'erreur probable de cet indice calculée par rapport à un indice idéal utilisant la collection complète des marchandises est de 0,8 %. C'est là une erreur très faible, mais 1l faut tenir compte du fait que la seule cause d’erreur en action est l'insuffisance du nombre des échantillons et qu’on a supposé que ces échantillons étaient bien représentatifs de l'ensemble des marchandises. Il faudrait d’ailleurs multiplier les calculs de ce genre pour pouvoir poser une conclusion solide sur la grandeur de cette erreur dans la formule &.

Le professeur Irving Fisher a cherché à vérifier le résultat précédent par un calcul direct. On sait que d’après la théorie des probabilités, l'erreur probable de la moyenne de

n observations est proportionnelle à — , donc pour diminuer L'an

l'erreur de moitié il faut quadrupler le nombre des éléments. Mais cela ne serait vrai que si toutes les marchandises étaient également importantes et indépendantes. Comme il n’en est pas ainsi, la précision de l'indice n’augmente que beaucoup plus lentement avec le nombre des éléments que la formule précédente ne l'indique. Du calcul dont j’ai reproduit plus haut les résultats (1), on pourrait déduire, semble-t-il, que

(1) Cf. p. 288.

pour diminuer l’erreur de moitié il faudrait multiplier te nombre des éléments non par 4, mais par 35. Mais en réalité il faut tenir compte du fait que le nombre des marchandises ne représente pas leur importance. La réduction progressive du nombre des éléments a diminué le poids de ceuxci dans la proportion suivante par rapport au poids maximum ({) :

Ecart quadratique moyen par rapport

des Der re Valeur totale Re

De ce tableau on peut déduire grossièrement que pour doubler l’exactitude, il faut, non pas quadrupler le nombre des éléments, comme l'indique la théorie des probabilités pour des éléments indépendants, mais le décupler.

Le professeur Irving Fisher, en étendant graphiquement ces lois grossières entre l'erreur et le nombre ou le poids des marchandises, est arrivé à la conclusion que l’erreur d’un indice calculé par la formule & appliquée à 200 marchandises bien choisies, est d’environ 1,5 % par rapport à un indice calculé par la même formule appliquée à une collection de marchandises absolument complète. Il estime qu'il suffit d’une cinquantaine de marchandises bien choisies et qu’audelà de 200 marchandises, le gain de précision obtenu en augmentant le nombre des éléments n’est pas proportionné à la peine et à la dépense correspondantes.

Le professeur Edgeworth avait consacré son deuxième

(1) The Making, p. 839.

Memorandum à l'Association britannique pour l’avancement des sciences à l’étude théorique et expérimentale de la précision des nombres indices du mouvement des prix calcu- 2H

Epoao ” mais il n’a poussé son étude jusqu’au bout que pour une seule des deux sources d'erreur sur les nombres indices, les erreurs sur les données. Il a d’abord démontré par le calcul des probabilités que l’indice est sujet à une erreur relative plus faible que les erreurs relatives commises sur les prix relatifs et sur les poids. Il l’a ensuite vérifié expérimentalement en considérant une certaine collection de prix relatifs et de poids comme exacte, en construisant d’autres collections de prix relatifs et de poids divergeant de la première d’une manière quelconque mais connue, et en montrant que les indices correspondants divergent moins par rapport à l'indice correct que les collections de prix relatifs et de poids par rapport à la collection considérée comme correcte.

lés par la formule recommandée par l’Association (&—

La forme générale de la moyenne arithmétique pondérée

{2 PI ÉD SOMCDÉAP ARE RTS P, les prix relatifs exacts, Pride pare NE PA ({+e) les prix

relatifs apparents.

[1 [Mo ..... I, les poids exacts, Ui +), Ie (+2) ..... In ( + 1) les poids apparents.

Pile SpA

L’imdice exact est I — t DPRÉE MERE + [ln

L'indice erroné est Done P: CNE I (À + a1)+..... + Pa (1 + en) Da (1 +sn) LH) + In (À + &)

; Re A Pour calculer l’erreur relative de l’indice, = en fonc-

tion des erreurs e; ete, nous supposerons d’abord que les

poids seuls sont erronés. Nous introduirons ensuite l’hypothèse que les prix relatifs sont erronés aussi. I. On suppose que les prix relatifs sont connus exacte-

MENL DONC en 0. = er 0 a) Supposons en outre d’abord I, = IE = ......— Il A P: ( + e) Se a be + P, (+) On à alors I+AI= AR ete Dies eue TAC CC: + P, x n D'où AI ss Pi + END SE IDAS TES EN RE 7 ANSE EST CEE fn ay 22P+n(Piatit Pen) nÈP—(Pit--+Pa)(cit en) fe n°?

AImn(Pisis Pan) (at: +a)2P LS n>P AT Pi 1 +... Pi 1 eg: ef ee = CLONSPE nn). SNS TEST Et) RePaT ie

n z reve .

Posons — 5 — Di. Di représente la déviation relative n

du prix relatif Pi par rapport à la moyenne arithmétique des ; a DUR prix relatifs es

On a alors : TD: ++ Duen) (1)

D'autre part on peut regarder les si (erreurs relatives sur les poids) comme groupés au hasard autour de leur moyenne qui est 0.

Soit : le module de la fluctuation des si (: — 2 2 &i), n

On a : module te Div Ds gt VDIF Dr... + D? xe D'où module ne = /Dt+ Di .+D°xe

Soit D la déviation quadratique moyenne V ED;

1 PTE ya

b) Introduisons la circonstance que les poids réels et apparents sont différents de 1.

Il vient module de ADXE

Dans cette nouvelle hypothèse, on a :

2P:AL({+s) ZP;ill AT ZIK ( + ci) 2e EP; Hi({+ci) x EIi—ZEI:(1+ei) x EPiLI;

I SPA II x ZP;ll; ZI; Fe SPAS s En Pi — — AI, Pill; IE US Il; DIX:

RSC Pr ee Le > P;ll PTE

L'expression entre crochets n’est autre que la déviation relative D’; du prix relatif Pi par rapport à la moyenne

: re n 2 ANA arithmétique pondérée des prix relatifs ST : AI NE ; On a donc : module de FT > Sr Le (2) il;

Par la même transformation que pour l’équation (1), cette équation peut s’écrire :

module de is Jui pi tee n° D :

I \ RTS LR

Exprimons les déviations D'ien fonction des déviations D:

P. > PT; 2,P: ns RTS MP Soit P — 5 ‘On a Di = SP:IK Di P >ZIl; Soit * la différence entre la moyenne arithmétique simple £ à ne ZP; et la moyenne arithmétique pondérée : y = P - = — L 2PiT xRA = Pre REP Dire Il vient ST =P-;,. D'où D’ D RER Di+r D'où D’'i = .

ee

Dans l’expression de », remplaçons Pi par P (1 + D;).Il >>) S ces > P (1+ Di) ee p[2 FR IH D 2 n I; :

| EI in.

L'expression entre crochets n’est autre que la déviation relative à des poids Ii par rapport à leur moyenne arithmétique simple.

y il Donc —-—->Dià; C Pros ii Mais on a comme ci-dessus, en posant : module de

Het /2# module de 2 Di à = 4/35 D? x 5 n Fred v 1 k D'où module de = =—. D.

14 ÿVn

Si nous élevons au carré les équations exprimant les D'i en fonction des Di, et additionnons, il vient (comme 2 Di 0}

On pourra donc écrire, si n est suffisamment grand,

: D* . ab Vs En — D? et par suite : module de Ts xD x.

Soit TI= = la moyenne arithmétique simple des poids.

= It (à 1). Elevons

rRELICE Nous avons posé à —

au carré et RER RTS

ae SAT A mec] nn Sue M STE SIS D'Ohnettee vs ES PRPOSONS EEE \ n n Il n :