PRÉFACE

Leibniz, d'Alembcrt, Carnot, Poncelet n'ignoraient pas combien les Mathématiqnes pures laissent à désirer, surtout en ce qui concerne les notions élémentaires. iNIais nul ne s'est prononcé sur ce point aussi nettement que l'illustre auteur de la Mécanique céleste.

Qu'il me soit permis, dit Busset ('), de citer l'opinion de Laplace sur les sciences mathématiques. Elle m'a été communiquée par j\l. Berthevin,'son élève et son ami, et porte textuellement :

« Tout ce que l'on peut espérer des bases actuelles a été ressassé et l'on retombera toujours dans la même ornière. Il faudrait refaire la science, la placer sur un nouveau piédestal, en retirer toutes les conséquences, sauf à intercaler les anciens aperçus. On ne peut envisager une théorie sous un nouveau point de Aue sans qu'il n'en découle une foule de résultats inattendus. Il serait à désirer que ce fût un homme nouveau qui fût étranger aux mouvements des sciences et n'en connût que les premiers éléments. »

Qui oserait, ajoute Busset, dire après cela qui! n y a rien à faire à la science mathématique?

Laplace ne remarquait évidemment pas que 1 homme nouveau dont il souhaitait la venue, l'avait devancé de plus d'un siècle, et que cet homme, au savoir près, était Descartes.

(') Busset, Mémoire sur l'Enseignement des Mdthéniatiques; i8'|.! (Paris, Carilian-Gœuri).

VI PliKFACE.

On doit reconnaître toutefois que la Réforme cartésienne des Mathématiques pures n'était point entièrement accomplie. Après la riche moisson du maître, il restait à glaner. Telle est la tache que je me suis imposée vers 1860.

Ma première communication à ce sujet est mentionnée aux: Comptes rendus de V Académie des Sciences, en date du 1^ juillet i865. Elle a été présentée par le regretté Serret.

Avant d'aller en Algérie poursuivre mes essais d'utilisation industrielle de la chaleur solaire, j'ai publié la Réforme cartésienne étendue aux diverses brandies des Mathématiques pures ( ' ).

Dans cet Ouvrage, je m'étais pro[)Osé de généraliser à la fois la science de l'étendue et celle des nombres; mais j'avais dû, faute de tem|)s, laisser ma tâche inachevée. J'ai dejiuis essayé de la mener abonne fin. Mes communications à l'Académie des Sciences, en 188G et 188^, n'ont pas eu d'autre but.

Le précis complet que je publie aujourd'hui se résume en peu de mots.

Je commence par doter a priori la Géométrie de figures imaginaires, parfaitement distinctes des figures réelles, mais telles qu'on passe aisément des unes aux autres. Je fais voir ensuite que l'Algèbre n'a pas trop de ses divers symboles pour exprimer les rapports mutuels des grandeurs géométriques homogènes, et que ses opérations sont toujours la traduction de celles qu'on effectue sur ces grandeurs. J'établis par là même, entre les deux sciences, une connexion nécessaire, d'où résulte, en particulier, l'accord permanent

( ' ) IMoucHoT, La P.éfornie cartésienne étendue aux diverses brandies

des Mat/u'niafi'/iies /unes. Cvnwd in-S;iR-(i (I^aris, (".aiilliicr-\'illars).

l'Riiiwci:. vu

de loulc fii^iire variable avee la loniuile i;éiiéi'ale qui l'exprime : ce qui dis[)ense de londei- la eorrélalion des figures sur le principe de eonlinuilé. J'arrive également, par cette voie, soit à démontrer des théorèmes nouveaux, soit à signaler d'anciennes erreurs adoptées sans discussion. Enfin, malgré sa généralité, la théorie que je propose ne laisse pas de s'accorder avec tous les essais antérieurs du même genre, puisqu'elle comporte, comme autant de cas particuliers, les quantités géométriques d'Argand, les coniques supplémentaires de Poncelet, tes figures idéales de Marie et les quaternions d'Hamillon.

Cette extension légitime des Mathématiques pures est en soi fort importante. Elle peut, d'ailleurs, avoir des conséquences d'un autre ordre : car Leibniz, s'inspiranl des vues de Descartes, n'a-t-il pas dit :

Sans les Mathématiques, on ne pénètre point au fond de la Philosophie; sans la Philosophie, on ne pénètre point au fond des Mathématiques; sans les deux, on ne pénètre au fond de rien.

J'ose donc appeler Fattentifui des mathématiciens et des philosophes sur ce précis, cjue je me suis elTorcé de rendre élémentaire; et je remercie d'avance ceux qui voudront bien m'adresser, à ce propos, leurs conseils ou leurs critiques.

A. MOUCHÛT.

GÉOMÉTRIE SUPÉmELIRE.

INTRODUCTION

Les grands génies de la Science devancent trop leurs contemporains pour en être goûtés. Aussi, d'autant plus méconnus pendant leur vie qu'ils s'élèvent davantage audessus de la foule, laissent-ils aux siècles à venir le soin d'apprécier leurs vues et d'en marquer la portée.

Descartes, moins que personne, ne pouvait échapper à cette loi. Son génie impatient devait offusquer jusqu'à ses plus grands disciples. Quant à ses contemporains, ils n'étaient pas doux aux novateurs.

.M. Descartes, qui est mort à Stockholm, en Suède, le 1 1 février i65o, était un homme de mauvaise mine, qui n'avait rien d'agréable... 11 avait bien des visions dans sa tète qui sont mortes aussi bien que

lui ( 1 ; .

Qui parle ainsi? Gabriel Xaudé, l'un des oracles de la ( ') Xaudœana, page ii3.

2 INTRODUCTION

Science officielle de son temps, Tau leur de V Apologie des grands liommes faussement accusés de magie.

Ce n'était là toutefois que dédain ou pitié. La haine harcelait aussi le grand novateur, et devait couver longtemps sur sa tombe.

Quarante-cinq ans après la mort de Descartes, nos pères essayaient encore d'insulter à son génie, mais avec une franchise cjui commande l'admiration.

On lil, en effet, dans le Journal des Savants, cette anîionce :

Histoire de la Conjuration faite à Stockholm contre M. Descartes. In-i2, à Paris, chez M. J. Boudot; lôgS.

Les qualités, les accidents et les formes substantielles que M. Descartes a rejelées de sa philosophie, sont les terribles ennemis qui ont conjuré sa perte. Quand elle eut été résolue entre eux et qu'il eut été solennellement déclaré novateur, et, comme tel, condamné à être retranché de la société des savants, la chaleur se chargea de l'exécution et agit avec tant de violence dans le corps de ce philosophe, qu'elle y excita une fièvre avec transport au cerveau qui ruinèrent en peu de jours sa santé, sans que toutes les connaissances qu'il avait acquises lui servissent à la conserver. Ce fatal exemple apprend qu'il est plus sûr de suivre les traces des anciens que de chercher de nouvelles routes (').

Il est bon de se reporter à ces temps déjà lointains pour en juger sainement les hommes et les choses.

C'était une époque de rénovation et, par conséquent, de

f ') On peut comparer cette oraison funèbre à celle que filluslre chimiste Van Heimonl s'était attirée, cinquante ans plus tùL, de l.i pari du fameux docteur Guj' Patin :

« Van Helnionl était un méchant pendard llaniand qui est mort enragé depuis quelques mois. Il n'a jamais rien fait qui vaille. J'ai vu tout ce qu'il a''fait. Cet homme ne méditait qu'une Médecine, toute de secrets chimiques et empiriques, et, pour la l'enverser plus vite, il s'inscrivait fort contre la saignée, faute de laquelle pourtant il est mort frénétique. » Guv Patin, Lettres ( i6 avril i^^5;.

INTRODUCTION

lutte. Mais, si la résistance était vive, le progrès n'en prenait pas moins un merveilleux essor.

Pour ne parler que des Sciences : Kepler trouvait les lois du mouvement des planètes ; Galilée fondait la Physique sur l'observation et l'expérience; Van Helmont dégageait la Chimie des langes du grand-œuvre ; Harvey découvrait la circulation du sang; Descartes, enfin, dont le génie encyclopédique prenait une large part à toutes ces conquêtes de l'esprit humain, formulait, dans le Discours de la Méthode, les principes fondamentaux de la réforme scientifique.

La Géométrie, cette première application du nouveau code, allait ouvrir aux Mathématiques régénérées une ère de progrès que nul, excepté son auteur, n'eût osé prévoir. Mais ce qu'il faut admirer dans cette réforme partielle, peut-être autant que son immense portée, c'est la simplicité des movens employés pour l'accomplir.

Descartes, voulant reconstituer la Mathématique universelle ou la science générale des rapports, commence par interroger l'Analyse ancienne et l'Algèbre des modernes.

Il reconnaît que « la première est toujours si asti-einte à la considération des figures, qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination. » 11 trouve ensuite qu'on a fait de la seconde ce un art confus et obscuiqui embarrasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive. » Puis, de guerre lasse, il se met à considérer les grandeurs les j)lus simples, les droites, afin d'en étudier les rapports et de les combiner entre eux.

Mais les droites sont des grandeurs continues, c'est-à-dire susceptibles de croître par degrés insensibles; et le nombre, collection d'unités si petites qu'elles soient, ne saurait les suivre dans leurs variations. C'est là le moindre souci de Descaries. Comme l'avait fait Viète, il représente par des lettres les rapports de ces droites à leur unité; et, pour éviter toute chicane, laisse celle-ci parfaitement arbitraire. Les pre-

4 I.NTltOUL CTION.

inières lettres de l'alpliabct répondent d'ailleurs aux droites constantes ou données, et les dernières, soit aux droites variables, soit aux inconnues d'un problème.

Pour combiner entre eux les rapports ainsi obtenus. Descartes n'a plus qu'à soumettre les droites aux opérations élémentaires, en ayant soin de laisser subsister les signes mêmes de ces opérations dans l'expression des résultats qu'elles fournissent. C'est ainsi qu'étant données deux droites dont les rapports à l'unité sont a et 6, leur somme s'exprime par a -r- ^, et leur différence par a — h.

Jusqu'à Descartes, le produit ah des mêmes droites représente l'aire du rectangle dont elles forment les dimensions. De même, le produit de trois droites exprime le rapport d'un solide à son unité. Quant au produit de quatre ou d'un plus grand nombre de droites, il cesse d'avoir une signification géométrique.

Pourquoi ce défaut d'homogénéité dans les résultats d'opérations effectuées sur les droites? Les auteurs du temps ne le disent pas, et pour cause.

C'est alors qu'intervient le grand novateur. Accordez-lui comme un principe démontré par Euclide, ou même comme un fait d'expérience, que deux parallèles coupent deux droites concourantes en parties proportionnelles, et l'anomalie disparaît.

Pour Descaries, en effet, le produit ab n'est autre que — •

De même, les produits abc,abcd, ... se transforment respec-

livement en , , • • • • Et que siffniiient ces nouvelles

o T . , ah

expressions : La première — représente une quatrième proportionnelle à trois droites; les autres expriment de même des droites faciles à construire.

De plus, toutes les opérations subséquentes relatives aux droites, la division, l'élévation aux puissances, l'extraction

I NTRODL CTIO.V.

des racines, s'obtiennent à l'aide de procédés du même genre, c'est-à-dire purement géométriques, sans jamais cesser de donner pour résultats des droites. En sorte que, finalement, tout monôme algébrique représente une droite; tout polynôme de cette nature, une somme de droites; toute équation algébrique à une ou plusieurs inconnues, l'égalité de deux expressions d'une droite, dont il reste à déterminer une ou plusieurs parties.

Ces idées nouvelles étaient assurément simples, accessibles à tous. INIais dire qu'elles se sont imposées sans lutte et qu'elles ont fait immédiatement vibrer toutes les intelligences à l'unisson du génie, ce serait méconnaître l'éternelle histoire du progrès humain.

Quoi qu'il en soit, elles permirent d'abord à Descartes de trancher la question qui forme le principal objet de la Géométrie.

La résolution des équations algébriques de degré quelconque avait bravé les efforts de tous ses devanciers. Viète lui-même, qu'on donne quelquefois comme le rénovateur de l'Algèbre, n'av^ait couronné son œuvre que par quelques essais de ce genre. Descartes aborde à son tour ce problème ardu. Pour le résoudre, il lui faudra déployer toutes les ressources d'une intelligence d'élite, inventer même une Géométrie nouvelle. Mais il sortira vainqueur de la lutte en imprimant aux Mathématiques pures une impulsion qu'elles attendaient depuis longtemps.

De son clair regard, il a parcouru l'Analyse ancienne. Il en étudie les lieux géométriques; saisit comme d'un bond le principe de cette conception féconde; y voit le moven de comparer les courbes planes à la droite; reconnaît la possibilité d'exprimer la plupart de ces courbes par des relations algébriques entre deux variables et se trouve dès lors en mesure de résoudre graphiquement l'équation de degré quelconque à une seule inconnue.

INTRODUCTION

Soient, pour le faire voir, AB une courbe plane définie par ses propriétés descriptives ; xx' une direction fixe située dans son plan.

Par VorigineO et le point quelconque P pris sur celte direction menons deux parallèles, Tune indéfinie yy\ l'autre allant du point P au point M où elle rencontre AB.

D'après la nature de la courbe donnée, quand le point P parcourt xx' , il existe évidemment une relation spéciale entre VordonnéeVl>,i^= y evV abscisse OP = x, variables l'une et l'autre. Dès quon peut calculer cette relation à l'aide des opé-

rations élémentaires, la courbe AB devient le lieu des points dont V ordonnée est une fonction algébrique y =2 f (^x) de Uabscisse correspondante et prend en conséquence le nom de courbe algébrique.

Toute autre courbe algébrique CD se traduit de même relativement aux axes de coordonnées xx'^yy'., par une équation de degré quelconque y = F (x).

Mais, pour le point M où se coupent les deux courbes, ainsi que pour tous leurs autres points de rencontre, on a

De là la possibilité de déterminer graphiquement les racines de cette dernière équation au moyen de deux courbes

INTRODUCTION. -■ J

auxiliaires convenablement choisies, ces racines étant les abscisses des points communs aux deux courbes.

Descartes parvint de la sorte à résoudre les équations des sixpremiers degrés, et put en toute assurance terminer sa Géométrie par ces mots :

Mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai fait, si l'on considère qu'ayant réduit à une même construction tous les problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et aussi de résoudre chacun d eux en une infinité de façons. Puis, outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composé en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. Car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres. Et j'espère que nos neveux me sauront gré non seulement des choses que j'ai expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.

Si complète qu'elle parût être, la solution trouvée par Descartes laissait néanmoins subsister une lacune que deux siècles de progrès ne sont pas encore parvenus à combler.

On sait, en effet, que, selon les valeurs de ses coefficients, l'équation générale de degré m à une inconnue comporte tantôt m racines numériques, tantôt moins. Dans le cas où le nombre de ces racines se réduit à n, les formules qui donnaient les m — Ji racines disparues deviennent symboliques ; mais comme, pour d'autres valeurs des coefficients, elles seraient de nouveau susceptibles de se traduire en nombres, on ne cesse jamais de leur appliquer les règles du calcul algébrique. Force est donc alors d'opérer sur des symboles, tels que a — 6, y/a^ — 6-, dans lesquels les valeurs de b surpassent

INTRODUCTION

constamment celle de a. Ces deux espèces de symboles peuvent d'ailleurs se simplifier et deviennent les uns, pour b ■= a -^ c^ des nombres négatifs de la forme — c ; les autres, pour b- = a- —- c-, des expi^essions imaginaires de la forme cy ■ — I .Enfin, si, dans le système de Descartes, les premières se traduisent par des coordonnées positives ou négatives, les secondes ne peuvent sans ambiguïté s'interpréter de la même manière et n'ont pas encore de rôle à remplir.

Gela posé, lorsqu'une équation de degré m ne comporte que n racines positives ou négatives, on n'en affirme pas moins qu'elle a toujours m racines, mais que n de celles-ci sont réelles, tandis que les ?n — n autres sont imaginaires. Puis on admet que les courbes qui servent à déterminer ces racines se coupent en m points, dont n sont réels, m — n imaginaires et que l'harmonie la plus parfaite ne cesse jamais de régner entre la science de l'étendue et celle des nombres, quel que soit le degré de l'équation proposée.

Tel est le triple postiilatum, qui, formulé d'une manière plus ou moins générale et sous des noms divers, sert actuellement de base aux spéculations mathématiques.

On est bien forcé de reconnaître, en se plaçant à ce poinl de vue, que les constructions de Descartes sont loin de fournir toutes les racines des équations algébriques. Mais est-ce là le dernier mot de la correspondance entre l'Algèbre et la Géométrie? Il est permis d'en douter, et rien n'empêche de chercher mieux en s'inspirant au besoin des aperçus lumineux qui se sont fait jour depuis deux siècles.

Dans l'œuvre de Descartes, on a vu poindre une méthode géométrique assez différente de l'Analyse ancienne.

Celle-ci se préoccupe avant tout des propriétés descriptives ou segmentaires des figures et ne daigne pas assez traduire ces propriétés en nombres.

La Géométrie cartésienne, au contraire, se hâte d'exprimer les lignes ou les surfaces par des équations à deux ou trois

INTHOO L CTIOX. 9

variables, puis elle applique à ces équations les ressources (lu calcul algébrique et finit par en tirer des formules dont la construction la ramène aux figures considérées. Mais elle fait ainsi trop perdre de vue les procédés purement géométriques. Aussi, malgré les services qu'elle a rendus et qu'elle peut rendre encore, ne faut-il pas s'étonner de la voir provofjuer le retour aux éléments d'Euclide ou d'Apollonius.

Qu'on ne s'y trompe pas toutefois. Par suite de son commerce avec l'Algèbre, la Géométrie pure a contracté de nouvelles tendances qui suffisent pour la distinguer de l'Analyse ancienne et lui mériter le nom de Géométrie supérieure.

En efîet, au lieu de renouveler ses démonstrations pour chaque état particulier d'une figure variable, elle se contente désormais de supposer l'une d'elles applicable à tous les autres états de cette figure, même quand certaines parties de celle-ci disparaissent ou plutôt deviennent imaginaires; de plus, elle tient suffisamment compte des relations numériques correspondantes et ne craint pas de recourir à la notion de l'infini. Bref, elle s'efforce d'échapper autant que possible .aux reproches mérités que Descartes adressait à l'Analyse ancienne.

C'est à Monge, à Carnot, à Poncelet surtout que cette transformation est due. On peut regretter seulement que, trop fidèles à la manière de voir des anciens, les deux derniers géomètres ne veulent considérer que les éléments absolus des figures. Carnot essaye même de remplacer la conception des droites positives ou négatives par celle des quantités directes ou inverses. Poncelet, de son côté, persiste à croire avec ce dernier que les signes — i et y/ — i, pris isolément, ne sauraient dériver à priori d'aucune considération purement géométrique. Mais il pense que la Géométrie etl'Algèbre doivent se développer en vertu d'un principe d'extension qui leur est commun et qui n'est pas mieux démontré pour l'une que pour l'autre. Pour tout dire en (Quelques mots, il

lO IXTRODUCTION.

admet, sous le nom de principe de continuité , le triple postulatum dont j'ai parlé plus haut. Faute de mieux, ce principe a du moins pour effet de laisser à la science de l'étendue toute son indépendance. C'est ainsi que, pour amener des rapprochements intimes entre la circonférence et l'hyperbole équilatère de même diamètre, Poncelet a soin de consulter, non les équations, mais les propriétés segmentaires des deux courbes. Il observe que, dans chacune d'elles, la demi-corde perpendiculaire au diamètre est moyenne proportionnelle entre les distances de son pied aux deux extrémités de ce diamètre; puis il en conclut que toute perpendiculaire à celui-ci, lorsqu'elle se meut parallèlement à elle-même, intercepte sur la circonférence des cordes réelles ou idéales. suivant qu'elle rencontre la branche circulaire ou. l'hyperbole conjuguée. De là sa belle théorie des Coniques supplémentaires.

Moins logique que Poncelet, Chasles adopte à la fois les vues de ce dernier sur les expressions imaginaires et l'introduction en Géométrie des grandeurs positives ou négatives. C'est d'ailleurs en vain qu'il essaye, pour échapper au principe de continuité, d'appuyer ses démonstrations sur les propriétés permanentes des figures et non sur leurs propriétés accidentelles ou contingentes. Car, lorsqu'il détermine, par exemple, deux points d'une droite à l'aide de l'équation