X- -\- ax -\- b ^ o

dont 11 suppose les coefficients réels, n'admet-il pas, en définitive : 1° la permanence des racines de cette équation lorsqu'elles cessent d'être réelles; 2° l'existence sur la droite donnée de deux points imaginaires i^épondant à ces racines ; 3° l'accord de la Géométrie et de l'Algèbre, quelles que soient les valelurs réelles des coefficients a et bl Son principe des relations permanentes n'est donc pas autre chose que le principe de continuité changé de forme. Par suite, ses

iM uonucrior^.

démonstrations ne sauraient être plus rigoureuses que celles de Poncelet. Elles se distinguent au surplus de ces dernières en ce qu'elles s'appuient davantage sur le calcul.

Enfin, pour utiliser dans le système de coordonnées rectilignes les valeurs imaginaires ou mixtes des fonctions et de leurs variables, M. Marie propose de les interpréter par des droites réelles. Mais il n'obtient de la sorte que des lieux géométriques n'offrant pas l'unité désirable.

Cependant, au cours de ces longues recherches, une idée lumineuse avait lui. Depuis longtemps déjà la comparaison de l'hyperbole équilatère avec la circonférence avait conduit de Moivre à l'importante formule qui porte son nom. C'est très probablement cette formule qui fît entrevoir à Robert Argand la possibilité d'assigner aux droites absolues une nouvelle manière d'être : la direction.

Lorsqu'une droite de longueur constante tourne dans un plan autour de son origine, elle est d'abord susceptible d'offrir deux directions opposées. Suivant Descartes, elle est positive pour une de ces directions, négative pour l'autre, réelle dans les deux cas. Dès que la droite prend une direction perpendiculaire aux précédentes, elle change de nature et devient imaginaire, indépendamment des sens contraires qu'elle peut encore affecter. C'est à Wallis que semble due cette manière de voir. Enfin, dans toute autre direction, la droite dont il s'agit équivaut, d'après Argand, à la somme des parties, l'une réelle, l'autre imaginaire, d'une brisée rectangle ayant même origine et même extrémité qu'elle. Telle est, dans son ensemble, la conception des droites dirigées ou quantités géométriques.

De l'aveu d'Argand, cette conception élégante et féconde n'a pas d'autre objet que l'interprétation des symboles algébriques. Mais il s'en faut déjà de bien peu que la Géométrie puisant en elle-même tous les moyens de généralisation qui lui sont nécessaires, ne soit en mesure de les étendre à l'Algèbre.

I XTRODUCTION.

La direction ne conslitue d'ailleurs pas un caractère suflisant d'imaginax'ité. D'abord elle ne s'entend que des droites. De plus, elle ne saurait se prêter à l'extension du système de coordonnées rectilignes. Enfin, Hamilton a montré que, dans l'expression d'une quantité géométrique, le terme imaginaire peut se représenter par un vecteu/' de direction quelconque.

11 est bon d'ajouter que, pour arriver à cette conclusion, le géomètre anglais part de relations analytiques purement conventionnelles et qu'il tendrait volontiers à faire de l'Algèbre un calcul de symboles, conduisant à des résultats plus ou moins susceptibles d'interprétation géométrique.

Nous voilà, par conséquent, bien loin de la Réforme cartésienne des Mathématiques et du but qu'elle se proposait d'atteindre, car, si la Géométrie pure s'est affranchie des entraves de l'Analyse ancienne, l'Algèbre semble vouloir imposer plus que jamais ses conceptions abstraites agrémentées au besoin de symboles dénués de sens.

On conviendra toutefois que les premiers résultats obtenus par Descartes, le parti qu'il a su tirer de l'emploi des droites de sens contraires, les services que n'ont cessé de rendre les quantités géométriques étaient de nature à fixer l'attention des chercheurs.

Je me suis demandé, pour ma part, s'il ne serait pas possible d'assigner aux éléments des figures de nouvelles manières d'être permettant de dissiper toutes les obscurités de l'Algèbre, puis, de généraliser l'Analyse ancienne et celle de Descartes pour en former la Géométrie supérieure.

ïel est le problème que j'étudie depuis trente ans et dont je crois pouvoir aujourd'hui donner une solution complète.

A cet effet, je commence par ne voir dans le système de deux points géométriques, sans liaison mutuelle, qu'un point unique, réel quand ses composantes coïncident ; imaginaire dès qu'elles se séparent l'une de l'autre.

Ces deux manières d'être ou Diodes contraires se trans-

INTRODUCTION. l3

nicUenl ensuite du point aux segments reclilignes, qui suffisent dès lors poux' légitimer toutes les règles du calcul algéhriquc et compléter le système de coordonnées de Descartes.

Après avoir étudié les variétés de la droite et des coniques rectilignes, j'arrive à constater que deux ou plusieurs courbes de modes convenables, mais de formes différentes, peuvent offrir des propriétés segmentaires identiques et s'exprimer par une seule et même équation. Ce qui me conduit à créer de nouveaux lieux géométriques formés chacun d'une infinité de brandies subordonnées à l'une d'elles, puis à soumettre ces courbes générales soit à l'Analyse de Descartes, soit à celle des anciens.

Les aires planes, les angles, les logarithmes, comportent à leur tour deux modes contraires. Quant aux figures de l'espace, elles présentent la même généralité que celles du plan.

La Géométrie pure reçoit donc ainsi toute l'extension désirable. L'Algèbre, de son côté, devient la science générale des rapports entre grandeurs homogènes, et ses opérations découlent naturellement de celles qu'on effectue sur ces grandeurs. Il en résulte, en particulier, que les changements de toute figure variable entraînent comme conséquence ceux des formules correspondantes. En sorte que la corrélation des figures, telle que l'entrevoyait Carnot, s'impose d'ellemême et que la résolution complète des équations algébriques est désormais possible.

Enfin, comme les cordes idéales de Poncelet, les coordonnées imaginaires de Marie, les quantités géométriques d'Argand et les vecteurs d Hamilton ne sont jamais que les premières composantes de segments rectilignes tels que je les définis, l'innovation que je propose concilie, en les complétant, tous les essais antérieurs du même genre.

Ai-je besoin d'ajouter que, sans le Discours de la Méthode ni la Géométrie, je n'eusse jamais entrepris de pa-

!Î INTRODUCTION

reilles recherches. Mon œuvre est donc avant tout un hommage à Descartes, à son mâle génie. D'autres ont déjà signalé sur divers points la puissante initiative du maître. J'apporte ma pierre au monument que lui doit la France.

Un mot encore et j'ai Uni.

Von Staudt semble avoir eu le premier l'idée de représenter par un couple de points géométriques les points doubles d'une involution, lorsqxi'ils cessent d'être réels.

Laguerre, dans ses leçons faites en 1870 à la salle Gerson, regarde un point imaginaire comme étant formé par les extrémités d'une droite variable. Quand cette droite s'annule, le point devient réel.

Pour moi, je le répète, j'assigne aux points réels ainsi qu'aux points imaginaires deux composantes absolument indépendantes l'une de l'autre, et les résultats auxquels j'arrive n'en sont que plus généraux.

On ne saurait disconvenir, enfin, que, par ses opérations sur les droites, Descartes n'ait proclamé dans une certaine mesure l'indépendance de la Géométrie et jeté les fondements de la G raphostatique . Mais faut-il se lancer éperdument dans cette voie nouvelle et tenter, comme l'a fait Von Staudt, d'affranchir la Géométrie supérieure ou de position de toute idée de grandeur? Faut-il, au contraire, laisser la science de l'étendue et celle des nombres marcher de pair en s'appuyant constamment l'une sur l'autre?

De ces deux méthodes. Descartes a choisi la seconde. C'est également celle que j adopte comme élant de beaucoup la moins ambitieuse et la plus sûre.

GÉOMÉTRIK SUPÉUIEUIU:. l5