PA. PA' =: OP'^ ÔX

On a donc finalement

— pg'= ôp'~ ôK\

ou, en désignant PC parj>' et OP par x,

Cela posé, si, par le point C, on mène à la circonférence une tangente coupant a:x' en Q, les antiparallèles CA, CA' donnent

QC'--= QA.QA' = ÔQ-ÔA.

Mais, en rabattant QC suivant QE et QE' sur la perpendiculaire élevée en Q à xx' , on reconnaît que le lieu des points

COURBES PLANIi s. 67

E, E' est une hyperbole équilatère ayant OA pour demi-axe transverse ou ravon.

Or, rien n'empêche de supposer qu'après avoir engendré la circonférence réelle OA, le point A devienne imaginaire et que ses composantes décrivent, la première, l'arc AE, la seconde, l'arc AE', ou vice versa.

Dans cette hypothèse, les points (E, E') et (E', E) sont imaginaires conjugués. Leur abscisse commune est OQ. Quant à leurs ordonnées respectives, elles sont QEf, QE'i, c'est-à-dire les produits par ides ordonnées QE, QE'. Gomme on a d'ailleurs QE/. QE'/ r= — QE/ = QG , on en conclut

ou. en désignant QE/ par j' et OQ par x^

Prenons enfin sur la circonférence OA deux points A,, A'i, équidistants de A. Supposons que ces points devenus imaginaires décrivent les hyperboles équilatères OA,, OA'j, de même mode qu'eux et prenons sur ces courbes les points (F, F'), ( G, G'), symétriques par rapport à a:x' .

Ges doniers points sont déterminés chacun par une équation telle que

Lorsqu'on les rapporte aux axes xx', yy', ils ont pour abscisse commune 0(r, T'y et pour ordonnées respectives les segments égaux mais de modes contraires (T,T') (F, F'), ( T, T') (G, G' ). On a par suite

D'autre part, les segments (T,TjA, (T, T') A', dont la demi-somme est O , T, T' > et la demi-différence OA, ont pour

produit

(T, T'j A.(T, T')A' = 0 (T, T') - OA .

Or, si, désignant par a l'angle AOR, on projette la brisée 0(T,T' ) (F,F') sur les directions des segments OR, R (F, F'), ce qui donne

OR =0(T, T')cosa-4 (T, T )(F, F')sin7., RFf = 0(T,T') sin-y. — (T, T')(F,F')cosa,

et qu'on substitue ces valeurs dans l'équation

— rF/=ôr' — ôa',

on trouve

-(T,Tj(F,F') =0(T,T) -OA (Vi,

ou, en désignant (T, T' ) (F, F) par jv et O (T, T ) par x,

Il suit de là que, si l'on appelle circonférence réelle l'ensemble de la branche circulaire et de ses conjuguées hyperboliques en nombre infini, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne symétrique entre deux segments droits différant constamment entre eux de AA'= 2/', et qu'elle a pour équation

— y^ ^= X- — r^ ou x'- -•- y- - - /■ '.

Lorsque le rayon OA devient nul, la circonférence réelle se réduit au système de ses deux asymptotes, c'est-à-dire à la conique rectangle ayant pour axe Ox et dont l'équation est.

( ' ) On eût pu conclure immédiatement cette relation de ce que les droites A(F, F'), A'(G, G') sont antiparallèles, comme on le verra plus loin à propos de la mesure des angles.

comme on l'a vu,

Si le rayon OA change de mode et devient ( fig. 46) 0(\,A')=OAï=:r/ rien n'empêche de le faire tourner encore autour du centre O.

Son extrémité (A, A') décrit alors une circonférence dont tous les points sont imaginaires comme ayant leurs composantes diamétralement opposées.

Prenons pour axes de coordonnées la direction deO( A, A') et celle du ra^on 0(B, B') qui lui est perpendiculaire. Puis, considérons sur celte nouvelle courbe deux points quelconques! G, C ), ( D,D' ), ayant leurs composantes de même ordre symétriques par rapport à xx' .

Ces points ont pour abscisse commune 0(P, P'; = OPf'et pour ordonnées respectives

(F, F) (G, G) =:PG/, (F,F')(D,D'j=FDi.

Or, le diamètre 'A, A') (A', A) = AA'f étant imaginaire,

il en est de même des segments