P,P')(A,A')^PA/, (P, P')(A', A) = PA
dont la demi-somme est OP/et la demi-différence OA/.
D'ailleurs, les antiparallèles menées des points (C,C' ) et (D,D' ) aux points (A', A) et ''A, A') donnent
PC«.PDa^-PA«.PA'/;
et, comme on a d'une part
PC i. PD i :=: — P(Ji' , d'autre part
PA i. PA'f = ÔF/ - ôaT/ , on en conclut
— VÎTt = OP^"' — (lu' ; ou, en désignant PC t par j', OPï par x^
— y- = oc"- -- r'- .
Cela posé, si par le point (C, Ci on mène à la circonférence O (A, A ) une tangente coupant xx' en (Q, Qy, les segments compris entre ce point et les extrémités du diamètre (A,A'| 'A', A) sont
(Q, Q'j (A, A') z= QA/, (Q, Q ) C A'. A,. ^^ QA';;
leur demi-somme est OQf, leur demi-différence OA/, et les antiparailèles (C,C') (A, A'), (C,C')(A',A i donnent
gCÎ"'— QAi . OA'/ — OQ'/ — OAf' .
Mais, si l'on multiplie QCf par i, et qu'on suppose le produit rabattu suivant ( Q, Q) (E,E') perpendiculaire kxx' ^ on trouve que le lieu des points (E,E'), (E',E) est une hvperbole équilatère susceptible d'être décrite par l'un des points
Comme on a, par hypothèse,
QE
il en résuhe et, par suite,
QC,
ou, en remplaçant QE par y el OQi par a-,
Cette hyperbole a donc méjnes propriétés segmentaires et métriques que la branche circulaire 0(A, A').
Or, chaque point de cette dernière branche peut, ainsi qu'on le reconnaîtra sans peine, engendrer une hyperbole identique à la précédente et satisfaisant aux mêmes conditions.
Si donc on appelle circonférence imaginaire l'ensemble de la branche circulaire O (^ A, A) et de ses conjuguées hyperboliques en nombre infini, on a le droit de dire que, rap,portée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette nouvelle courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne, symétrique entre deux segments droits ayant pour différence constante (A, A) (A', A= 2r« et qu'elle s'exprime par l'équation
— j'- = x- -!-/■- ou ^- + y- = — /•- . 11 peut ai'river enfin que le segment mixte
{fie- ^1)1 tontine autour du point O comme centre. La branche circulaire que son extrémité (A, A') décrit alors est formée de deux composantes concentriques, mais d'inégale longueur.
Menons par le point O des axes rectangulaires dont l'un xx' coïncide avecO ( A., A'), et lirons deux rayons, O (G, C), O (D, D'), symétriques par rapport à ce dernier axe.
Les points (C, C), (D, D'), où ils coupent la branche O (A, A'), ont pour abscisse commune O ( P, P) et pour or-
Fis. 'a~..
données respectives les segments égaux, mais de sens contraires (P, P') (C, C), (P,P')(D,D').
D'un autre côté, le diamètre (A, A') (A, , A'j ) étant mixte, il en est de même des segments (P, P') (A., A'), ( P, P') (A,, A'J, dont la demi-somme est 0(P,P') et la demi-différence 0(A,A').
D'ailleurs les antiparallèles
donnent
(P,P') yC.CJ). (P,P') (D,D') = (P,P') (A, A' ) ^P,P') (A„ a; ).
COURBKS PLANES. 7'i
Donc
ou, en désignant (P, P') ' C, C ) par i' et O ( P, P' ) parx,
— y--=za:- — ( /• -i- si)-.
Si, par le point ( C, C'j, on mène à la branche circulaire O ( A, A') une tangente coupant x x' en ( Q, Q'), les segments
(Q, Q') ( A, A' i, ( Q, Q') (A,, A', ) ont pour demi-somme O (Q, Q'), pour demi-différence O (A, A'), et les antiparallèles (C, C'UA,A'),i'C,C')(;A,,A;), donnent
Multipliant alors (Q, Q')(G, C) par t et portant le produit (Q, Q') (E, E') sur la perpendiculaire élevée en (Q, Q') à Oa^, on trouve que le lieu des points (E, E') est une hyperbole dont les composantes cessent d'être équilatères.
Comme on a
on en conclut
-(Q,Q'), E,E') =0(Q,(^') -0(A,A') , ou, en désignant ( Q, Q') {'E,E' ) par j>' et O (Q, Q') par a:.
Celte hjperbole a donc mêmes propriétés segmentaires ou métriques que la branche circulaire O (A, A' ) et l'on verrait aisément que chaque point de celle-ci peut à son tour être l'origine d'une hyperbole identique à la précédente et satisfaisant aux mêmes conditions.
D'où il suit que, si l'on appelle circonférence mixte l'ensemble de la branche circulaire O (A, A') et de ses conjuguées en nombre infini, on peut dire que cette nouvelle cir-
.7Î CHAPITRE m.
conférence étant rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne symétrique entre deux segments droits différant entre eux de (A, A') (A,, A'i =-./■- si, et qu'elle a pour' équation
— j'-zizra;^- — (r-^si)- ou a;- -i- j-^=^ {r -}- si )-.
Le centre d'une circonférence de rayon quelconque Rpeut d'ailleurs être un point réel ou imaginaire, autre que l'origine; et, si l'on désigne par a et b les coordonnées rectangulaires de ce point, lesquelles sont, ainsi queR, susceptibles d'affecter l'un ou l'autre mode, Féquation de la courbe est toujours de la forme
Il est bon d'ajouter que, si les composantes des diverses branches du lieu sont tantôt superposées et tantôt disjointes, suivant que le centre est réel ou imaginaire, leur configuration n'en reste pas moins la même. On reconnaît facilement aussi qu'aucun changement d'axe ne saurait la modifier.
Avant de montrer que toutes les propriétés de la circonftrence absolue s'étendent à la circonférence de mode quelconque, il convient de généraliser quelques notions élémentaires.
La distance de deux points géométriques ordinaires peut se définir le rayon de la circonférence ayant pour centre un de ces pointset passant par l'autre. Cette définition s'applique également à la distance de deux points de modes quelconques.
D'après cela, tous les points de la circonférence de rayon isont à la distance ;• de son centre. Si l'on prend celui-ci pour origines d'axes rectangulaires, sa distance au point quelconque {^x,y) delà courbe s'exprime par r = y/.r- -i-jK"' Oi'? telle est aussi la valeur du segment rectiligne compi'is entre
COUnUKS PLANES. ~'i
les deux points, tant qu"il est droit. Dans tout autre cas, le segment rectiligne allant de Torigine au point {x^y) est isoradié. De plus, il a constamment, comme on va le voir, le même mode que la dislance de ses deux points extrêmes. D'où la possibilité de l'identifier avec cette distance et de prendre ; =^^2'- —y- pour sa mesure qui n'était pas encore effectuée.
Soient donc O^', Oj- \Jig. 48 ) deux axes rectangulaires
Fis. ^S.
--Ab-
appartenant, le premier, au segment réel Oi^A,A';, le second, au segment imaginaire 0(B, B ), et considérons en outre le segment rectangle O 1 G, C ) quïl est indifférent de rapporter à l'un ou l'autre axe.
Pour trouver la distance du point O au point ^ A, A' j, c'està-dire le rayon de la circonférence ayant pour centre le premier de ces points et passant par le second, il faut mener Aa parallèle à 0.r jusqu'à sa rencontre en a avec Oy^ puis, du point a comme centre, avec Aa pour rayon, décrire un arc de cercle qui coupe Ox en a, et le rayon réel Ox est la distance cherchée ou la valeur du segment Oi A, A .
De même, si l'on tire B6 parallèle à Oj' jusqu'à sa ren-
contre en b avec O^, et qu'on décrive du point b comme centre avec B b pour rayon un arc de cercle qui coupe Oy en p et Pj , on voit que la circonférence ayant le point O pour centre et passant par ('B, B') ne saurait être qu'imaginaire et que son rayon O (3, ji') = O l'ii mesure la distance du point O au point (B,B') ouïe segment O (B, B'),
Quant à la distance du point O au point (C, C s elle est nulle. Ce qui s'accorde avec le nom de circonférence infiniment petite donné à la conique rectangle O i G, G).
S'agit-il maintenant de trouver la distance du point O au point quelconque (M, M') {flg- 49)?
On commence par construire l'axe Oxdu segment scalène
0(M,M') et le segment isoradié O (A, A') (M, M') qui lui correspond. Puis on détermine les distances O (A, A') (A, A') (M, M'), dont l'une est réelle, l'autre imaginaire, et la somme algébrique de ces distances partielles est la distance cherchée ou la valeur du segment isoradié O (A, A') (^M, M'). Il est bon d'ajouter que la dislance 0(A, A') étant 0« = a, on peut en conclure la dislance partielle (A, A') (M, M'), en prenant sur la direction OA les longueurs AM, =AM2 = AM, puis, en menant à Ka les parallèles M, b, Mo 6', jusqu'à leurs rencontres en b et b' avec Ox. Gar
on a l)ieii de la sorte a (b, b\ = |îi" pour la distance partielle (A, A' ) (M, M' ) et, par suite, ;: 4-^^ pour la distance totale demandée.
La distance O (N,Nj du point O au point (N,jN') svmrtrique de (M, M) par rapport à Ox serait de même a -j- [i/; tandis que les distances O (M', M), 0(iN', JN) seraient l'une et l'autre égales à a — ■ '^i.
On a supposé jusquici que le point pris pour centre était réel. Mais il est facile de ramener le cas de deux points imaginaires au précédent, car rien n'empêche de mener par un point réell'équipollent du segment rectiligne compris entre les points donnés.
La distance de deux points quelconques dont les coordonnées rectangulaires sont x\ y\ x'' ^ y' est, d'après ce qu'on vient de dire, constamment donnée par la formule
et tel est aussi la carré de la valeur du segment rectiligne allant du point [x' , y') au point {x'\y").
Déduites, comme on l'a vu, de la seule considération des sécantes antiparallèles, les propriétés segmentaires et métriques de la circonférence entraînent celles du triangle rectangle de mode quelconque, pourvu qu'on regarde les côtés de celui-ci comme étant les distances mutuelles de ses sommets.
Il suffit, pour s'en convaincre, de considérer la circonférence réelle OA, par exemple {fi g- 5o).
Si l'on joint au centre les points i>, (C,C'), (D,D') de cette circonférence, on forme avec les coordonnées de ces points trois triangles rectangles ayant, le premier, tous ses côtés réels, le second, un côté réel Oc, un côté imaginaire cCf, un côté radié O (C, C); enfin, le troisième, un côté radié O (D, D') et deux côtés mixtes 0(d,d'), (c/, c/') (D, D').
Or, pour tous ces triangles, l'hypoténuse estOA, et l'on
a, d'après les propriétés de la circonférence, OcV c^ = ÇA l
O (rf, d') -+- (d, d) ^D, D) = OA .
Quant aux circonférences imaginaires ou mixtes, elles fournissent, comme on le verrait sans peine, d'autres tri-
Fig. 5o.
angles rectangles jouissant des mêmes propriétés métriques.
Une circonférence quelconque rencontre toujours une droite réelle en deux points.
Car, si l'on abaisse du centre de la circonférence une perpendiculaire sur la droite donnée, puis qu'on détermine la moyenne symétrique entre les distances du pied de cette perpendiculaire aux deux points où elle rencontre la circonférence, et qu'enfin, de ce même pied comme centre, on rabatte en sens contraires la moyenne ainsi obtenue sur la droite donnée, il est clair que les extrémités de celle moyenne dans ses nouvelles positions sont deux points communs aux lignes proposées.
Ainsi, pour nous en tenir aux exemples les plus simples,
les inlerseclions de la circonférence réelle OA, ou de la circonférence imaginaire O (A, A') i fig. 5i) avec la droite réelle GH, s'obtiennent en menant OC perpendiculaire àGH;puis. en construisant la moyenne symétrique entre les droites CA. CA', ou C (A, A'), C(A'.A), et rabattant cette movcnne sur GH suivant C (M, M'), Ci M', M), dans le premier cas.
Fi^. 5i
C (N,N'), et Ci;N',N 1. dans le second, ce qui donne (M, M') et (M', M), ou (N,N') et (N', N;, pour les points cherchés. Si l'on tire la sécante centrale GO qui coupe en D et D' la circonférence OA, en ( D, D'j et (D',D) la circonférence O (A, A'), on a d'un côté
G (M, M). G(M', M)=GG"-GMr, = GCV cm', = GcVôc'-OÂ\ = GC)'-ÔX', = GD.GD';
8o CHAPITRE m.
et de l'autre
g (n, n).g(n',n)-gc'— gn^"'.
— gc'-^gn'.
= Gc'— oc — ôa7'.
