CUS'2X

Dans le cas particulier où les nouveaux axes sont les asymptotes delà courbe, cette équation se réduit à

Rapportée à deux diamètres conjugués dont le premier s'incline de l'angle a sur l'axe transverse, l'hyperbole équilatère se traduit encore en nombres par l'équation

a;2 — y2 = -^ ■ •^ cosaa

Enfin, lorsque le centre de cette courbe, au lieu d'être l'origine, est un point quelconque du plan des axes, il suffit d'exprimer celte particularité dans les équations précédentes pour les rendre générales.

D'après tout ce qu'on vient de dire, l'bjperbole équilatère n'est, à proprement parler, qu'une transformée de la circonférence concentrique de même rayon. Car, cette dernière courbe étant rapportée à deux diamètres rectangulaires, il suffit d'en multiplier l'ordonnée par i pour obtenir l'autre.

Comme il importe de se familiariser, au moins dans les cas les plus simples, avec les transformations de ce genre, soit OA ( /ig. 62) une circonférence réelle rapportée à deux diamètres rectangulaires.

Lorsqu'on multiplie par i l'ordonnée de cette courbe, il est clair que la branche réelle AB et la branche imaginaire A( G, C ) se transforment en d'autres branches, l'une imaginaire A(B, B), l'autre réelle AC Mais que devient la branche B(D, D j, par exemple? Pour répondre à cette question, multiplions par i l'ordonnée ( P, P' 1 ( D, D' 1. ce qui donne

PDi .^- P'D' et P'Dj ^- PD, = - PD

pour composantes respectives du produit. Le point [ D, D' < se transforme par suite en ( D,, Dl :.

Afin de nous assurer que (D4, Dl) fait bien partie de l'hyperbole OA, menons les diagonales du rectangle Di D'Dl D2, lesquelles se coupent en leur milieu E, et tirons OE jusqu'à sa rencontre en G avec la branche réelle AC'.

La droite EF, qui joint le milieu de deux côtés du triangle

COLllBES PLANES.

D'DDj, est parallèle au troisième coté D2 D cl coupée en son milieu I par la médiane DP du triangle. Le point I est aussi le milieu de D' P. De plus, la perpendiculaire élevée en [ à EF divise OD' en deux parties égales. D'où il suit que la

Fie. fis.

circonférence circonscrite au triangle rectangle OFD passe parle point E. Il en résulte que OED' est un triangle rectangle, que OD'F=OEF comme inscrits dans le même segment et qu'on a par suite D'OF = GOA.

Or, cette dernière égalité montre que OG ^= OD' ou que la circonférence décrite de O comme centre avec OD pour rayon passe par les points G et Do. D'ailleurs ED^= ED,

et l'angle EHA' = EA'H est complémentaire de EOA. Donc, enfin, (D,, D j ) est bien un point de l'hyperbole OA.

Observons de plus que l'angle GOD' étant égal à l'angle AOB, les secteurs circulaires GOD', AOB sont entre eux comme les carrés de leurs rayons. Mais, si l'on désigne l'angle GOA par a, on sait que

OA = OG ces 2 a.

Donc,

AOB =; GOD' ces 2 a.

D'un autre côté, les triangles EOD,, EOD', sont tels que

EODi = EOD'sinOEH -=: EOD'cos2a,

et l'on verrait sans peine que les demi-segments EGD,, EGD', l'un elliptique, l'autre circulaire, sont dans le même rapport. D'où l'on conclut GOD, = GOD'cosaa et par suite GOD, = AOB, relation bonne à retenir ainsi que l'égalité des angles EOD', AOB.

Lorsqu'on multiplie par /l'ordonnée d'un point quelconque

Fie. 63.

du plan des axes, la distance de l'origine du système à ce point se transforme en un rayon hyperbolique de même valeur.

C'est ainsi qu'aux distances OA, 0(B, B'j, OC(D, D' ) {^fig* 63, 64j. 65 ) répondent les rayons hyperboliques O ( A, A' ,

COURBES PLANES. Io3

0( B,, B' I, 0( C, C ) (D,, Dj), qui leur sont respectivement égaux.

Dans ces transformations, l'hyperbole équilatère dont on

Fig. 64.

se donne un point et le centre n'est complètement déterminée que parce qu'elle a pour axe celui des abscisses.

On peut appeler distance hyperbolique de deux points quelconque le rayon parallèle aune direction fixe de l'hyper-

Fig. 65.

bole équilatère ayant pour centre l'un de ces points et passant par l'autre. La valeur numérique de cette dislance s'appelle module et se désigne par p.

Lorsque la direction donnée est celle de l'axe des abscisses, la distance hyperbolique de deux points ayant pour coordonnées rectangulaires x' ^y\x" ^y" s'exprime par la formule

p^rr. ix' - x"Y - iy' -y")-.

Io4 CHAPITRE III.

Les coordonnées d'un point quelconque de l'hyperbole équilatère forment une brisée rectangle qui peut être réelle, imaginaire ou mixte. Le segment rectiligne mené du centre de la courbe à ce point prend le nom de vectrice.

La vectrice équivaut, dans tous les cas, à la somme des parties de la brisée correspondante.

Quoique plus générale que la conception des quantités géométriques, celle des vectrices s'y rattache par certains côtés.

Soit OA le rayon d'une hyperbole équilatère rapportée à ses axes {fig- 66 ).

Tout point ( B, B ) de la branche circulaire conjuguée de

Fis. 66.

cette courbe a pour abscisse un segment réel OP, pour ordonnée un segment imaginaire P(B, B ::=PBf et pour distance hyperbolique à l'origine, ou module.

p =: Vôp'- PB^'= v/ôpV pb:

De plus,

0(B,B') ^OP-t- PB;.

Or, en remplaçant vectrice et brisée par leurs premières

COURBES PLANES. lOJ

composantes, on retombe sur la quantité géométrique OB, somme des droites de modes contraires OP et PB/.

Si ridée de porter les valeurs imaginaires dans une direction perpendiculaire à celle de ses valeurs réelles semble appartenir à Wallis, ce fut, comme on sait, x\braham de Moivre qui reconnut le premier qu'aux multiples successifs de Vangle AOB correspondent les puissances de même degré de la brisée OP + PBt: et cette relation, qui tient à la nature de l'hyperbole équilatère, contribua, certes, plus que l'étroite conception de ^\allis, au succès de la doctrine des quantités géométriques développée plus tard par Robert Argand.

Je ferai voir ailleurs que, malgré leur extrême généralité, les vectrices de mode quelconque jouissent, dans un plan comme dans l'espace, des mêmes propriétés que ces dernières grandeurs.

Qu'on la rapporte à deux diamètres conjugués dont l'un s'incline de Tangle a sur son axe, et l'hyperbole équilatère a, comme on sait, pour équation

Par le changement de mode de son ordonnée, cette courbe se transforme alors en une ellipse rapportée à ses diamètres égaux, et les axes 2rt, ib de la nouvelle courbe sont dirigés suivant les bissectrices des angles formés par les diamètres.

Rapportée à ses axes, l'ellipse a pour équation

et, dès qu'on change le mode de son ordonnée, cette courbe se convertit en une hyperbole quelconque ayant pour axes ia, ihi, et pour équation

loG CHAPITRE III.

Or, l'équation de la nouvelle courbe, par rapport à ses

asymptotes, est

On n'a donc plus qu'à remplacer, dans cette dernière équation, h par «, pour revenir à l'hyperbole équilatère et, par suite, à la circonférence.

Observons d'ailleurs que, dans l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes, les paramètres a el b peuvent être simultanément réels, imaginaires ou mixtes : que cette équation représente l'hyperbole quelconque, la circonférence ou l'hyperbole équilatère, suivant qu'on y remplace b par bi, par a ou par aiy et que l'ien n'empêche de regarder comme la première branche de chaque lieu celle qui répond à des valeurs de œ, de même espèce que celles de a.

On verrait aisément du reste qu'on arrive à des résultats analogues, en passant de la circonférence à l'hyperbole équilatère, puis en projetant les deux courbes sur des plans passant par un de leurs axes.

Si la circonférence n'admet qu'un seul foyer, l'ellipse et l'hyperbole équilatère ou quelconque en ont toujours quatre situés sur leurs axes et qui sont tantôt réels, tantôt imaginaires.

Considérons, pour le faire voir, l'hyperbole équilatère réelle OA ( /ïg-. 6^) rapportée à ses axes.

Si l'on circonscrit à la circonférence absolue OA le carré F G F' G', ayant ses sommets sur les axes et touchant cette courbe aux points L, L, , L'j, U, on peut évidemment concevoir quatre coniques rectangles imaginaires tangentes à l'hyperbole proposée : la première aux points (^ L, L'), (L', L) ; la seconde aux points (L, L'). (Li,L'i); la troisième aux points (L|, L'j \ ( L'i, L, ) et la quatrième aux points (L', L .

En effet, la première de ces coniques est formée des droites

rectangles F (L,L'), F(L', L); la seconde, des droites F (L,L'), F'( L|,L'i), qui se coupent en (G. G') ; la troisième, des droites F'( L), L'i), F'(L1, L,), et la quatrième, des droites F (L', L ), F\L'i,L|), qui se coupent en (G', G).

Les centres F, (G, G'), F', i G', G ) de ces coniques rec-

Fig. 67.

tangles sont donc bien les foyers de l'hyperbole équilatère en question, et cette courbe n'en comporte évidemment pas d'autres. Les polaires ou directrices correspondant à ces foyers sont d'ailleurs la droite LL', la disjointe (L,L' ) (L, , L'i ), la droite L,L', et la disjointe ( L'L) ( L'i, L,).

Les distances des foyers au centre ont pour valeurs respectives

OF = OF' = OA v% O ( G, G' ) = O ( G', G) =. OB 1^2.

I08 CHAPITUE II..

Elles sont du reste égales, les unes au module

pr=-\/0A'— OB'/, les autres au module

p' = V OBi — ÔÂ'.

Soit maintenant M un point quelconque de 1 hyperbole proposée. Les coordonnées de ce point étant x = OP, y = PM, on trouve aisément pour ses distances aux l'overs F. F'