QA. QA'= OQ'-OA
94 CHAPITRE m.
Donc enfin
QCi^- Qâ/= (JQ-- ÔÂ', c'est-à-dire, en désignant OQ par x et QCi ou QC'f' par j-, y- -zi .X' — /•-.
Ainsi, les propriétés segmentaires ou métriques de l'hyperbole équilatère OA s'étendent à la branche circulaire de même rayon, pourvu qu'on suppose cette dernière engendrée, comme on vient de le dire.
Même conclusion pour l'hyperbole conjuguée 0(D,D' , lorsqu'elle est décrite par le point i D,D'). de telle sorte que les composantes de ce point restent symétriques par rapport à l'origine O .
En effet, le point quelconque (E, E i de la nouvelle branche a pour abscisse O (R,R') = OKi et pour ordonnée (;R,R')(E,E';)==REt. Mais l'hyperbole réelle CD donnerait
rë^ôrVôâ'.
On a donc identiquement
- re'=. — ôr' oa'
ou
imi=. ORi - OA; c'est-à-dire, en désignant REi par y et ORi par x,
Il est encore une infinité d'autres branches jouissant des mêiïies propriétés que les précédentes. Ce sont autant d'ellipses ayant chacune avec les deux hyperboles un système de diamètres conjugués commun.
Considérons, en effet, les demi-diamètres conjugués OB, O^ de l'hyperbole OA.
COURBES PL A NK s. Ç)5
On sait que ces deux diamètres sont égaux, au mode près, qu'ils font, avec OA, des angles complémentaires, et que l'angle BOA étant désigné par a, on a
\/cos2a y ces 2 a
Cela posé, prolongeons OB jusqu'à sa rencontre en B, avec la branche A'B, ; puis, sur BB< comme diamètre, décrivons une circonférence de même nature queO AD. L'abscisse d'un point quelconque (y, y') de cette circonférence étant OS et l'ordonnée correspondante S^i, ces deux coordonnées satisfont à la relation
--.•^ — ^^ OX ces 2 a
Si l'on rabat Syi suivant SGi sur la parallèle SG à 0(3, on a donc aussi
ces 2 a
Mais, les coordonnées du point (G, G') par rapport aux axes xx',yy étant O (Q,Q' ). ! Q,Q'; G, G' ), on trouve aisément
„^ fQ,Q')rG,G')cos(x — OrO.O'isina
b(jr = ' ,
OS
ces 2 a 0(Q,Q')cosoi^(Q,Q') fG,G')sina
et la substitution de ces valeurs dans l'équation précédente donne
(Q,Q'j(G,G')=:0(Q,Q'; -OA, ou, en désignant Q,Q'i (G,G' ) parjK et 0(Q,Q' ) par x,
Si donc onnomme hyperbole équiiatère /-ee^/e l'ensemble de la branche hyperbolique OA et de ses conjugués en nombre infini, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits avant pour différence constante A A' = ii\ et qu'elle a pour équation
y''- =--- a;- — r^ ou a;- — y^ ~- r-.
Lorsque le rayon OA devient nul, l'hyperbole équiiatère se réduit au système de deux droites réelles, qui sont les bissec-
trices des angles formés par les axes, et ce système a pour équation
y- := .r- ou ûs- — y- t^ o.
Si ce rayon OA devient imaginaire et se transforme en
0(A,A'j= j'i{fig.Ç)o), on voit de même que le 'point i A,A') peut engendrer d'abord une hyperbole équiiatère (^A,A')
COLUBES PLANES. ()7
(B, B'i dont les points onl leurs composanles symétriques par rapport à l'origine O: puis une circonférence (A, A') ( G,C') dont les points ont leurs composantes symétriques par rapport à l'axe yy' : puis une hyperbole réelle OD; puis, enfin, une infinité d'ellipses ayant, comme la branche circulaire, un système de diamètres conjugués commun avec les branches hyperboliques.
L'ensemble de la branche imaginaire i A, A') ( B,B' ) et de ses conjuguées en nombre infini constitue donc une courbe qui, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, peut se définir le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits différant entre eux de i A, A' * 'A', A) ^rr 2 ri.
Mais, bien qu'elle ait une conjuguée réelle, cette nouvelle courbe est imaginaire comme sa première branche. Elle a d'ailleurs pour équation
y^ -^= x'- — /■- ou x^ — JK^ = — /'■•
Il peut arriver enfin que le rayon de l'hyperbole équilatère soit un segment mixte, tel que 0(A, A') == /• + 5«; {fig. 61).
Si, prenant pour centre l'origine O de deux axes rectangulaires ^x',j>''j'', on décrit la circonférence 0(A,A'', puis que par le point quelconque (B,B'i de cette courbe on lui mène une tangente coupant xx' en (P,P') et qu'on rabatte (P,P')(B,B') suivant (P,P') (C,G'j perpendiculaire à xx\ le lieu des points (C,C' > est une hyperbole formée de deux branches équilatères, et la construction donne
(p,pj(G,g^j = (:p,p')(A,a',).(p,P'')(a„a;).
Gomme le diamètre 1 A,A'^ (A,, A'i ) est mixte, il en est de même des segments (P,P') (A, A'), (P, P') f A, , Ai), dont la demi-somme est 0(P,P') et la demi-différence 0(A,A'). On a donc aussi
(P,P KG,G ):=0(P,P')-0.( A,Aj;
OU, en désignant (P,P' ) (C,C ) parj^ et O i P,P par x,
Soient actuellement 0(Q,Q') l'abscisse. (Q,Q')(B,B')
Fifi. 61.
rordonnée du point quelconque (B,B'; de la circonférence 0(A,A' 1, on a, par construction
-(Q,Q')(B,B')r=(Q,Q')(A,A').(Q,Q')iA,A;).
ou, puisque les deux segments du diamètre ont pour demisomme O (Q,Q' ) et pour demi-différence 0( A. A'),
-^Q,QKB,B')=0(Q,Qj^O^A,A).
Mais, si l'on multiplie (Q,Q')(BjB ) par /, ce qui donne (Q,Q')(D,D';), il vient
COCRBKS PLANES. (J9
et, par suite,
(Q,Q'j(D,D ) r=0(Q,0 ; -0(A,A')", ou, en désignant (Q,Q' ^D,D') par j- et O (Q,Q' ) par ^,
y-~^ X- — ( /• -f- si)\
En continuant de la sorte on assujettirait aux mêmes condiiions d'abord une branche hyperbolique conjuguée de la proposée, puis une infinité d'ellipses ayant avec ces dernières un système de diamètres conjugués commun.
D'où il suit que, si l'on nomme hyperbole érjuilatcrc mixte l'ensemble de toutes ces branches, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, la nouvelle courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits diiférant constamment entre eux de ( A,A' ) (A|,A'i) = li^r-^si)^ et qu'elle a pour équation
y--.= a;- — {r-~si)- ou .-r- — JK"- = (r -t- .s/)-.
La difiérence constante dont on vient de parler se nomme dans tous les cas Vaxe transverse ou plus simplement l'axe de l'hyperbole équilatère. Cet axe a pour milieu le centre et pour moitié le rayon de la courbe. Son diamètre conjugué s'appelle ï axe imaginaire de cette courbe.
Lorsqu'on fait tourner chacun des axes de coordonnées de l'angle — ^a autour de l'origine, l'hyperbole équilatère de rayon quelconc[ue R a pour équation
