AT
De plus, comme en posant —r- = «, Leibniz a trouvé que.
pour a-< I,
AOM
AOL
OA
nous aurons à faire voir que cette formule est générale.
Si l'on multiplie l'ordonnée de la droite OM par i, cette droite se transforme en une radiée 0 M, M ) qui rencontre la circonférence proposée en (N,jN •. L'angle AO(N,N') formé des composantes opposées AOA, AOîN', est imaginaire. Il en est de même du secteur circulaire AO(N,]N')
qui lui correspond et dont l'aire est AON/. La mesure de l'angle AO(N, IN' ) est, par suite.
AON/
AOL
En désignant toujours le rapport -^- par «, on a, d'après
Huygens, pour a ■< i .
AON I , I .. I .
AOL 3 D 7
et l'on en conclut identiquement
AON/ ./ 1 , I . I ,
-= l i a -h r; « -f- ^ «" H Cl t
AUL \ ô :5 7
Mais cette dernière égalité revient à
AON/ . ... I . .,„, I ...
^ :=r. ai — - {ai}' — ^ {aiy^ — - (^af)- -h ... ;
et, comme l'intersection (T, T) de AT par ON, K) donne
OA
= ai,
on voit que la formule de Leibniz trouve encore ici son application.
Soit maintenant, dans la circonférence imaginaire de rayon Ou\,A'), l'angle au centre ( A, A') 0(M, M, ). Le secteur correspondant est (A, A') 0(M, M, ) = — AOM, et le demicarréconstruitsurleravondevient(A, A' jO(L,L') = — AOL. La mesure de l'angle (A, A' )0('M, M, ) est, par suite,
— AOM AOM - AOL " ÂÔL ^
résultat qui se trouve être en parfaite harmonie avec la ligure, puisque les segments OM, 0(M,M, ', de la droite réelle OT font avec l'axe OA le même angle que celle-ci.
De plus, la tangenle de l'angle ( A, A') 0(M, M, ) est (A, A') (T, T,^ et son rapport au rayon
f A. AM (T.T,^
Donc, la formule de Leibniz s'applique à ce nouveau cas.
S'agit-il, enfin, de l'angle ( A, A')0(N', N< ) que fait avec 0(A, A' ) le segment radié 0(.Y, N,)? On voit que cet angle répond, d'une part, au secteur (A, A')0(N', N, "; = — AONi, d'autre part, au demi-carré (A, A')0(L, L') = — AOL. Il a donc pour mesure
— AON/ AON«-
-AOL " ÂJÔL '
ce qui montre que les segments démodes contraires 0(N, N' ), 0(N',N)), d'une même radiée et, par suite, les segments mixtes de cette droite font avec OA des angles égaux. De là, par conséquent, une nouvelle analogie entre la radiée et la droite réelle.
La tangente relative à l'angle ( A, A')0(N', N( ) est d'ailleurs (A, A' 1 ( T', T,), et son rapport au rayon
(A,A')fT',T,) 0(A,A')
La formule de Leibniz ne cesse donc pas ici d'être applicable, et l'on verrait aisément qu'il en est de même dans tout autre cas, où la série formée par le second membre de cette formule reste convergente.
Les angles imaginaires tels qu'on vient de les définir ne saui^aient s'étendre au delà des asymptotes correspondantes. Mais, en les combinant avec les angles réels, il est facile de leur faire envabir toutes les régions du plan des axes.
Soient, en effet, (P,P') et (P', P) les intersections de la circonférence réelle OA avec les tiges des radiées 0(P, P'). 0(P', P). La position de ces droites est évidemment déter-
minée dès qu'on regarde leurs liges comme faisant respectivement avec OA les angles mixtes AOB -f- BO(P, P'), AOB -f- BO(P', P) ; et la mesure de ces angles est donnée par les secteurs AOB — BOPî, AOB-- BOP't. Quant aux autres branches de chaque radiée, elles forment avec l'axe OA les mômes angles que leurs tiges respectives.
Ajoutons, enfin, que les dénominations d'angles complémentaires ou supplémentaires ne cessent pas de s'appliquer
Fig. 70.
à deux angles quelconques dont la somme égale un ou deux quadrants.
Les lignes Irigonométriques d'un angle imaginaire se définissent absolument comme celles des angles réels, et présentent les mêmes relations mutuelles que ces dernières.
Etant donnés, par exemple, dans la circonférence de ravon
OA:rzz r {fig. 70), l'angle imaginaire AOi C, C :=^- 7.1] son
complément BOA — AOfC. C ' — - — ai'; les coordonnées
OD, DCi, du point ( C, C'j ; les intersections (E, E' .(G, G') de la droite Oi C, G ) avec les tangentes menées parles sommets A, B à la circonférence; enfin, les points R, L, L'), oii la tangente à cette courbe en (G, G) coupe les axes AA', BB', on a
. . DC i (JA
