SD/ OP CD

ÛÂ=ÔÂ'ÔM==^"^^^^*"^'' es PM / CD / . . . o .

OX^-ÔÂ-ÔM=-^""-'-'''"^'-

On a donc finalement

sin ( a -!- f ) / = sin x i cos pi t- sin ^ / cos y. /, cos ( a H- 5 ) / = cos a / cos p / — sin x / sin S /.

Ces relations subsistent pour la somme de deux angles de modes contraires et l'on peut généraliser de même toutes les autres formules trigonométriques.

Observons, en particulier, que les dérivées successives de sin .ri, cos jci s'obtiennent par les mêmes procédés que celles de sin.r, cos.r; en sorte qu'on a, sans convention aucune,

126 CHAPITKE IV.

d'après la formule de Mac Laurin,

coixi = I • —

[xir-

(xiV

(xiV 1.2.3.4

En coordonnées rectangulaires, l'équalion d'une droite quelconque a pour coefficient angulaire la tangente trigonométrique de l'angle que cette droite fait avec l'axe des abscisses.

Ainsi, ])0ur la radiée 0(A, A.') passant par l'origine des

Fie. 72.

coordonnées el faisant avec Ox l'angle .a;0(A, A.') = a -!- P« ifig- 72 K il vient

— -- tang(x T- ^i)

tanga -1- tan e Si

X ■" ~ ■ ' 1 — tangT. tangjbf

Si l'on veut construire ce coefficient angulaire, il faut prendre OB ^ t , mener par B une perpendiculaire à Ox., puis

déleiiiliner l'intersection ( M, M') de la i^adiée O; A, A'} avec cette perpendiculaire. D'où il sait que la branche de celte l'adiée qui répond à des valeurs réelles de x est 0( M, M';.

Réciproquement, lorsqu'on se donne le segment 0( \I,M' i, on n"a qu'à déterminer l'axe OL et la tige 0(A,A') de la droite dont il fait partie pour obtenir l'angle de cette droite avec O^.

Il resterait à étendre la mesure des angles au centre à celle des angles inscrits. Mais, comme cette question et toutes celles qui s'y rattachent n'offrent pas de grandes difficultés, je me borne à démontrer directement que deux angles imaginaires inscrits lorsqu'ils sont égaux interceptent un même arc sur une circonférence réelle O { fig. 73 ;.

Prenons donc sur cette courbe le point imaginaire (M, M' ) ayant son ordonnée perpendiculaire en P au diamètre AB. Les droites absolues BM, BjM', c\\\\ coupent la branche réelle de la circonférence, l'une eu /?«, l'autre en m', sont les composantes de la radiée B( M, M' formant avec BA l'angle inscrit AB(M,]M'), et cet angle intercepte entre ses côtés l'arc

Soit maintenant C un point réel quelconque de la circonférence. Tirons les droites BC, CA, qui sont perpendiculaires entre elles et qui rencontrent la direction MM' aux points E, D. Puis, par le point P, menons à BC une parallèle qui coupe C/« en N et Cm' en ]N'. Il est d'abord aisé de voir que la radiée C,N,N') passe par (M,M'), ou que C(N,N') (M, M' ) est un segment isoscèle mixte de cette droite.

A cet effet, commençons par constater que :

1° Les triano'les absolus BMM', CNN' sont semblables;

2" Les hauteurs du premier triangle se coupent en A, puisque les cordes MA, ]M'A sont perpendiculaires l'une en 111! à BM', l'autre en m à BM ;

3" Les hauteurs du second triangle passent aussi par le point A. Car le triangle PGA, semblable au triangle ABC,

donne