AG CG AP ~ BP

Fis. 73.

Cela posé, l'égalité des angles AMP, ANP, montre que

la circonférence décrite sur AiNI comme diamètre passe par le point N.

Donc MN et CN' sont perpendiculaires à NA et, par suite, parallèles entre elles : et l'on verrait de même que M'N' est parallèle à CN.

Enfin, si par les points M et M' on mène des parallèles à NN' jusqu'à leur rencontre avec CN' et CN, on prouve aisément que MN = M'N'.

La radiée C (N, N' i passe donc bien par le point (M, M' i.

Mais les angles AB(M, M), AC(N,N') sont évidemment égaux, et, comme ils sont inscrits dans le même segment, le théorème est démontré.

On sait que les droites réelles CN, CN', qui l'ont des angles égaux avec CD, coupent la direction MM' en deux points K, L, conjugués harmoniques des points E et D, et que, par suite, le milieu de DE étant Q, on a

Qd'^zQK.QL.

Il est facile de démontrer que les radiées C(N, N') et C (N', N"), qui font aussi des angles égaux avec CD, jouissent de la même propriété.

En eftet, on a d'abord

E (M, M' ).E (M', M) -^ ËfV Pm';

et, si l'on prend sur PB la longueur PH = PM, on en conclut

E(M,M').E(M'i\I)--=ÈH'.

Mais la circonférence O donne

E(M,A1 i.E^M, Mj t^EB.EC.

D'un autre côté, les droites PB et CD étant antiparallèles par rapport aux côtés de l'angle BED, on a