AOD/ , AT , A(T, T

— — — , et le rapport jj^, par le rapport — — - — = ai. On a

dès lors, d'après la formule de Leibniz. /. 0(D,D'; ^^^'

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ai —- {air -

+-^ [ai y

Veut-on maintenant trouver le logarithme d'une vectrice telle que O ( E, E') aboutissant à la conjuguée i B, B' ) de l'hyperbole ?

Si l'on mène le diamètre OC conjugué de la direction EE', on sait que le secteur hyperbolique répondant à cette direction est AOC -i- CO ( E, E'i et qu'on a de plus

AOC= — BOE, CO(E, E')=AOB/.

Donc,

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On trouverait de même que

- BOE -^ AOB' i

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Enfin, lorsqu'on prend sur l'hyperbole proposée un point quelconque (F, F i tel que le diamètre conjugué de la corde ( F', F) 'F, F ; soit OC, on a

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l34 CHAPITRE IV.

et, pour traduire cette formule en nombres, il suffit de se rappeler que, dans le triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit Ofel/F, l'angle opposé à ce dernier côté serait celui du secteur circulaire de rayon OA équivalant au secteur hyperbolique C'OFi.

La comparaison des mesures du logarithme et de l'angle au centre montre d'ailleurs qu'à tangentes égales ils s'expriment par des nombres différents, mais qu'ils ont des valeurs égales et de modes contraires, dès que leurs tangentes sont dans ce même rapport.

Les coordonnées de l'extrémité d'une vectrice forment une brisée rectangle qui peut être réelle, imaginaire ou mixte. On sait que, dans tous les cas, la vectrice représente la somme des parties de la brisée.

Ainsi, les brisées répondant aux vectrices OC,0(D,D'i {fig. 70), par exemple, étant OcC, 0<i( D, D' ', on ne laissera pas d'écrire

OC — Oc-+-cC, O^D,D') = O^H-t;(D,D )

La somme de deux brisées rectangles s'obtient en additionnant entre elles leurs parties de même mode. Les vectrices qui leur correspondent se composent alors cinématiquement et la résultante ainsi obtenue est la somme de ces vectrices.

Soit maintenant OA = i \ fig- 76 ) le rayon d'une circonférence rapportée à deux diamètres rectangulaires AA', BB'. On sait qu'en multipliant par î l'ordonnée de cette courbe on obtient une hyperbole équilatère de même centre et de même rayon.

Par le changement de mode de leurs ordonnées, les points quelconques G, (D, D'), ( E, E') de la circonférence se transforment en points (G, C' ), D',;E,,Ei ) de l'hyperbole équilatère. Les distances OG, 0(D,D' ), O ( E, E'), toutes égales à l'unité, deviennent en môme temps des distances hyperbo-