AIRES

liques ayant cette unité pour module et répondant aux vectrices Oi^^C, C), OD', Oi E,,EJ}. Enfin, aux angles

AOG — «, AO{D,D') = pi, succèdent les logarithmes

AO(C,C') =«/, AOD' = — (3, produits de ces angles par /.

Fig. 76.

Les coordonnées des points C, (D,D'), (E, E') étaient d'ailleurs

OC = cos«, Cc = sin«, Of/ = cos (3 i, d{D,D')^=sinpi,

(J{e,e' ) rz= cos(c -+- vi), (e,e') (E,E') =: sin(c H- -,'/).

On en conclut que les coordonnées des points (C, C'),D', (E( , El ) forment les vectrices respectives

0(C, C) — ces a -f- isina,

OD' =: ces (3 / 4- if sin (5 i, 0(E,,EÎ) =: cos(c -1- '(i) -r- « sin(c H- Vî),

l36 CHAPITRE IV.

et que ces vectrices ont pour logarithmes

AO{C,C') = ai, AOD' = -p, AO(E,, Ej ) = c« - y.

D'où il suit qu'une vectrice étant exprimée par

cosoj -I- f sino),

son logarithme l'est par wi.

Si Ton multiplie l'une par l'autre les valeurs

cosw -1- « sinoj, coso)' -t- /sln w'

de deux vectrices quelconques, on trouve pour produit

ces ( (à H- oj' ) -t- ? sin ( oj -h 0^' ) .

Le logarithme (w-rwji de ce produit est donc égal à la somme des logarithmes de ses facteurs.

De là les opérations graphiques suivantes :

Veut-on le produit des vectrices 0( C, C j, 0(D, D') ' ^ê ' 77 ^' *-*'^ l'ohlient en faisant la somme

AOCi-i- kODi=:AOEi

de leurs logarithmes, puis en construisant la vectrice 0(E,E') qui répond à cette somme. De même, pour multiplier l'une par l'autre les vectrices OF, OG, il suffit de mener la corde AH parallèle à GF et la vectrice OH est le produit demandé. Enfin, si l'on se propose de multiplier la vectrice OG' par la vectrice 0(C, C' ). il faut décrire, du point O comme centre, avec OG' pour rayon, l'arc de cercle Q' grépondant à l'angle au centre G'O^" ^^ AOC, puis mener g/i perpendiculaire sur le diamètre OG', et rabattre cette perpendiculaire suivant AL, AL', sur la direction conjuguée de ce diamètre, ce qui donne 0(^L, L' ) pour le produit cherché. Le pioduit de /?? vectrices toutes égales à cosw + isinw conduit à la formule de Moivre

(cosw-!- i^'mo})'" =: cosmo) -t- isinnioy.

AIRES. — 1-OXCTIONS TRANSCENDANTES. ll"

Cette formule montre que le logarithme de coso) -i- isinuy c'iant bii, celui de i'cosm -^ isino)';"^ est muii.

Il suit de là que si l'on considère la progression géométrique

cosio -i- /sinoj, COS2 w -h ?"sin 2w, ..., cosmo) -^ «'sinmw,

les logarithmes de ces termes forment la progression arithmétique

OJ /. 2 tO i, .... 7«Cl) i

On prouve aisément du reste que la formule de Moivre comporte pour m des valeurs fractionnaires ou négatives. D'où la possibilité de remplacer les progressions précédentes par d'autres s'étendant de ■ — oo à -t- o), et telles que la différence de deux termes consécutifs y soit moindre que toute valeur donnée.

l38 CHAPITRE IV.

L'ensemble des nouvelles progressions constitue le système de logarillimes népériens.

La veclrice ajant pour logarithme o) =^ i prend le nom de base du système et se désigne par e. Sa valeur étant du reste cos — i-r- t'sin — i, on conclut des formules (i) et (2) trouvées plus haut (p. 126)