C',C)=^ OD

ÔD = 0(C,C'j.

Si l'on désigne l'angle AOG par w et cet angle changé de mode par w?', ces égalités se traduisent en nombre par les suivantes

(cosco -1- « sinu))' ::= costo i H- i sinoj i', (coswi H- « sin (oi)' = ces — w -h f sin — oj, (cos — ^ oj 4- i sîn — tu)' t=: ces — co«4- f sin — ■ w/, (^ cos — co i -H i sin — w î) ' =: cos oj -h i sin oj.

La même figure donne encore pour l'angle AOE dont la tangente excède l'unité

J4o chapitre IV.

relations conduisant à des formules analogues aux précédentes.

Si l'on suppose que le point i E, E' ) vienne se confondre

Fis. 78.

avec le sommet (B,B'), ces dernières égalités deviennent respectivement

OiB,B')=0(B',B),

0(B',Bj = 0(B',B),

0(B,B') = 0(B,B') et se traduisent en nombres par

— ï' = i, ii=-- i,

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. I.jl

OU, plus simplement, par

— i' r= rp i.

D'où il suit que i' et — i' ont pour logarithmes, l'une, rir -i: l'autre, zn:-i. Nous aurons à revenir plus loin sur ces

résultats.

Elever une veclrice ou le nombre qui l'exprime à la puissance mi, c'est l'élever d'abord à la puissance m, puis à la puissance i, ou vice versa.

La valeur numérique de la vectrice étant cosw — tsinw, on a, par suite,

(COSOJ - l silKo ) '"' rrr (cOSW i ^ L sinoj / j '"

= cos m w i -(- i sin m w i.

La généralité de la formule de Moivre ne laisse donc plus rien à désirer, car les puissances mixtes d'un nombre quelconque ne sont autres que les produits de ses puissances réelles par ses puissances imaginaires.

Revenons maintenant au système de Néper, afin d'en simplifier autant que possible la construction géométrique.

Soit OA =^ \'2 i^fig' 79 ) le rayon d'une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes Oic, Oj', et, par suite, ayant pour équation xy ^= i .

D'après la valeur de OA, le demi-carré construit sur le rayon a pour aire l'unité, et chaque logarithme s'exprime par l'aire même du secteur qui lui correspond.

D'un autre côté, grâce au choix des axes, vectrices et brisées peuvent se remplacer par de simples abscisses.

En effet, si l'on prend sur la courbe les points quelconques (L,L'), M,(N,N'), et qu'on abaisse de ces points les perpendiculaires (L,L')a, Mi;,, (N,,N') (;v,v') sur OA; (L,L') (/,/'), Mm, (N,]N') (/i,/i') sur 0.a;, il est évident que les brisées Oa(L,L'), OjaM, 0(v,v') (N,rs' ' sont à la fois les pro-

li2

daitspar^2 des abscisses 0(7,/'), Om, 0(«,/z':, et des brisées qui, dans l'hyperbole équilatère de rayon /■ = i , répondaient aux logarithmes AO(L,L' ), AOM, AO(N,N'). De là

l'équivalence de ces dernières brisées et des abscisses correspondantes. En sorte qu'on a finalement

/.Oa;? = AOM,, LO{n,/i') - AOM + MO(N,N').

Dans ce dernier cas, on peut admettre que les logarithmes

Aini'S. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l43

AO(L,L'), M0(N,1N') soient équivalents : en sorte que, si l'on rabat SN suivant SP perpendiculaire à OM et qu'on lire OP, l'angle MOP soit égal à AOL.

Gela posé, prolongeant OM et n'N jusqu'à leur rencontre en O, on a évidemment SP =^ SN ^= SQ. Mais les droites OS, SQ, OM sont par construction proportionnelles aux droites 0^, sn, 0/n. D'où il suit qu'en élevant à Ox la perpendiculaire sn, ^= sn et tirant O/^i, on forme un triangle Os/ii semblable à OSP. Ce qui donne l'hypoténuse Orii =Om et l'angle sOn^ =^ AOL. Il est donc facile de passer de la vectrlce 0( N,]N ) à la quantité géométrique O/?, et réciproquement. Or, si Ton désigne On, par p et sO/ii par 6, la quantité géométrique On^ a pour valeur

pl'cosO -i- isinQ).

Mais telle est aussi la valeur de Os[n^n'). De plus, en désignant par y. l'angle MO.r, on voit que la brisée OS(N,N')

s'exprime par — — ( cos6-^ /sinQ). L'addition de pareilles

^ ^ ces oc ^ ^

brisées serait facile aussi bien que leur multiplication.

Enfin, on pourrait encore tirer de ces mêmes brisées des c|uantités géométriques plus générales que celles de Robert Argand. Mais c'est assez insister sur ce point.

Étant donnée l'équation e^ = a, on trouye, en égalant les logarithmes des deux membres, x ^^l.a. Donc, le logarithme népérien d'une vectrice est l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir celte vectrice. X^^flg. ng donne par suite

\ Or -h rli = cosco 4- /sinw =: e<^', } Or -^ ri' i=: ces co — isinu> =^ e~ '^ '

et l'on en conclut

l4 i CHAPITRE IV.

De même, le logarithme AOM ^ w étant le produit par / de l'angle AO(M,M'\ = — i,yi, il vient

^, \ Os -\~ sni=i cosu>i ^ isin(ùi=i e'^ ,

I O .ç 4- sn' i := cos wi -r i sin co iz= e~^,

d'où l'on tire

COStoi:

Ces relations s'étendent d'ailleurs aux angles ainsi qu'aux

logarithmes mixtes.

Si, dans les formules (3) et (4), on remplace sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction des angles qui leur correspondent, il vient

oi i (Mi)- (wi)^ {o)i)'*

relations dont la seconde seule était démontrée.

La plupart des formules précédentes ont été calculées par Euler, qui sut mettre fin à de longues discussions en prouvant que tout nombre possède une infinité de logarithmes népériens.

La Géométrie supérieure va nous conduire à la même conclusion, mais toujours en procédant avec plus de rigueur que l'Analyse, puisqu'elle n'a pas besoin, comme celle-ci, d'une foule de conventions pour étayer ses raisonnements.

Revenons, pour le faire voir, à l'hyperbole équilatère de rayon 0A=y'2. Soient xx', yj' ses asymptotes; A, A', (B, B'), (B',B) ses quatre sommets (Jig- 8o\

La projection de OA sur Ox étant Oa^ i, on voit d'abord que ^.1^0. Mais, l'abscisse Oa restant invariable, le point générateur A peut, en devenant imaginaire, parcourir

une ou plusieurs l'ois la circonférence A^B, B')A'. De là la possibilité d'accroître le logarithme népérien de l'unité

réelle d'un multiple quelconque de Taire ir.i du cercle AA et d'écrire, en adoptant la notation de Cauchy,

/((l)) = iK-KÏ,

K désignant un nombre entier quelconque ou zéro.

Comme la projection de OA'sur Ox est Oa' ^^ — i , on voit pareillement que, pour aller de A en A', le point générateur de l'hyperbole doit parcourir d'abord la moitié de la circonférence A(B,B')A', puis une ou plusieurs fois cette même circonférence, et l'on en conclut

^((-l)) =(2K-Hl)7ri.

Les abscisses des sommets ( B, B') et ( B', B) étant O (//,«' i = i, O(a'^a) = — z', on en arrive de même aux formules

/((0) = (2lv + {)::«,

Enfin, comme toute droite passant par l'origine O coupe l'hyperbole équilatère en deux points dont l'abscisse peut être réelle, imaginaire ou mixte, il est facile d'en conclure que tout nombre possède une infinité de logarithmes népériens. Car, suivant que la droite en question est réelle ou radiée, les abscisses de ses points d'intersection avec l'hyperbole sont, d'une part, réelles ou imaginaires, comme