a, Oniz^ — a, O {n,n') =: bi, 0{n',n)=: — bi

d'autre part, mixtes comme

O (p,p' ) =: C -\- cli.

Or, en raisonnant comme on vient de le faire, on trouve aisément

l{{a)) = la-^l({i)),

l{{bi)) = l.b^l{{i)), /((— bi)) = Lb-{-l{[ — ij), /((c -^ di)) =z l{c -{- di) - l{{i)) ,

et de même pour tout autre cas.

Il est une dernière question que le calcul semble impuissant à résoudre sans le secours de la Géométrie : c'est la détermination de i'.

Gomme il est certain que

Euler ne fait pas difficulté d'en conclure

et, par suite,

C'est étendre immédiatement la formule de Moivre aux puissances imaginaires des nombres, et la question, comme on l'a vu, n'est pas aussi facile à résoudre c]u'elle le paraît au premier abord.

Vallès conteste, non sans raison, l'exactitude des deux dernières formules, puisqu'il en résulterait

e ^ + e'^ = o; d'où

conséquence absurde, et qui ne saurait provenir que d'une fausse hvpothèse. Mais il se contente d'interpréter géométriquement les symboles t', — i', sans en faire connaître la valeur.

Or, ainsi que je l'ai fait voir, les logarithmes népériens

des nombres ;' et — i^ sont respectivement rt - ^, iz: - i. Il

en résulte

et, si l'on applique à ces nouvelles formules le raisonnement de Vallès, on trouve, en prenant simultanément les signes supérieurs ou les signes inférieurs,

d'où

e-'^' = — i, résultat exact.

Observons enfin qu'en appliquant aux segments droits la définition donnée plus haut des puissances imaginaires, on

l48 CHAPITRE IV.

a, par exemple \fig,- 80),

■ô(7;7)=oz',

O (/?',/.) =--0/; d'où les formules symboliques suivantes :

dans lesquelles x^ xi^ — x^ -xi représentent les loggrithmesAOL, AO(P,P'), AOL', AO iP',P;, dont les tangentes forment un cycle complet.

Je n'entrerai pas dans de plus longs détails à propos des fonctions transcendantes. Mais on me permettra de clore ce Chapitre par quelques aperçus d'un de nos plus profonds géomètres sur le même sujet.

La théorie des angles considérée en elle-mênne, dit Poinsot ( ' ), n'appartient pas seulement à la Géométrie, comme on pourrait le croire d'abord; mais c'est encore une partie essentielle de l'Analyse mathématique. Ces quantités remarquables, ou plutôt ces rapports auxquels la Géométrie donne naissance et qu'on nomme les angles, se présentent en Algèbre, d'une manière aussi naturelle et aussi nécessaire que les exposants ou leslogaritbmes. Par leurs propriétés toutes semblables, elles en sont inséparables. Car si la division du logarithme en parties égales répond à l'extraction de la racine d'une quantité réelle, la division de l'angle en parties égales répond de même à l'extraction de la racine d'une quantité imaginaire. Or, les quantités réelles et celles qu'on nomme imaginaires se présentent également toutes deux dans nos transformations analytiques; elles se mêlent,

( ' ) Voiif.so'ï, Recliei cites sur l'analyse des sections angulaires. Paris, iSaj.

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. 1 4i)

pour ainsi dire, à tous nos calculs, cl c'est même dans cette combinaison de symboles réels et d'imaginaires que consiste la nature propre de l'Algèbre. On voit donc que cette science, par l'exécution actuelle des opérations qu'elle indique, exige à la fois la considération des angles et celle des logarithmes.

Dans la vue d'abréger les calculs ordinaires de l'Arithmétique, les géomètres ont d'abord imaginé les logarithmes; et, par l'usage particulier de la Trigonométrie, ils ont ensuite construit des Tables de sinus. C'étaient en apparence deux objets différents qu'ils s'étaient proposés; mais on voit qu'ils avaient travaillé, sans y songer, aux deux parties intégrales d'une seule et même théorie. Car uneTable de logarithmes à laquelle ne serait pas jointe la Table des sinus serait une Table incomplète pour l'Analyse, l'une et l'autre n'en formant au fond qu'une seule dont elles sont comme les deux moitiés inséparables. A la vérité, ces Tables se trouvent réunies depuis longtemps pour la commodité des calculateurs; mais je veux dire que cette réunion, qui ne paraît due qu'à une sorte de convenance particulière, doit être aujourd'hui regardée comme tenant à la nature même de la science mathématique. Si l'on eût d'abord considéré les choses de ce point de vue général, comme il aurait paru tout aussi naturel et aussi facile d'opérer sur les imaginaires que sur les quantités réelles, les géomètres ne se seraient point arrêtés si longtemps à la considération de ces cas singuliers oii les inconnues, quoique réelles, ne se présentent pourtant que sous la forme d'imaginaires, et il est très vraisemblable que le fameux cas irréductible n'eût pas même été remarqué.

Je ne présente en passant ces réflexions que dans l'intérêt de la philosophie de la science, partie trop négligée par la plupart des auteurs et peut-être la plus digne d'être cultivée, car nos formules et nos théorèmes les plus remarquables sont bien moins utiles et moins précieux en eux-mêmes que cette sorte de métaphysique qui les éclaire et les domine, et qui seule peut rendre à l'esprit de nouvelles forces, quand il faut se conduire et s'avancer plus loin dans les sciences.

A part une délimitalion factice entre la Géométrie et l'Algèbre, il me semble difficile de mieux penser comme de mieux dire.

GÉOMÉTRIE DE L'ESPACE

La conception des points de modes contraires s'applique aussi bien à la Géométrie de l'espace qu'à la Géométrie plane. Il suffira, pour le faire voir, de quelques exemples.

Lorsqu'on se donne trois axes rectangulaires o:^', jKj', -55 , ayant O pour commune origine {^fig- 8i), la position d'un

point réel quelconque de l'espace est déterminée par les droites positives ou négatives x^y^ z, qui forment ses coordonnées. Or, rien n'empêche de prendre pour valeurs de x,j, z des segments droits, d'ailleurs réels, imaginaires ou mixtes. Dès lors, la position de tout point imaginaire de l'espace peut être aussi bien fixée que celle d'un point réel. C'est ainsi que le point quelconque (M, M) est déterminé

GEOMETRIE DE L ESPACE. l5l

par les coordonnées rectangulaires

^=.0(P,P'). jzz:(P,P';,(Q,Q'), z = iQ,Q')(M,M').

Ce mode de représentation est d'ailleurs compatible avec tous les changements d'axes en usage.

Comparée au plan xj- à l'aide de parallèles à l'axe des z, une surface s'exprime par une équation de la forme

les variables x, y, z, étant les coordonnées réelles, imaginaires ou mixtes d'un quelconque de ses points. Le degré de cette équation, lorsqu'elle est algébrique, égale le nombre des intersections de la surface donnée avec chacun des axes.

Commençons par étudier les surfaces du premier degré.

Le plan réel peut être engendré par une droite de même mode, glissant parallèlement à elle-même et rencontrant dans toutes ses positions une autre droite réelle appelée directrice. La droite mobile prend de son côté le nom de génératrice. Les points réels ou imaginaires des deux droites font partie du plan et l'équation de ce dernier est de la forme

les coefficients A, B, C, D étant tous réels.

Lorsqu'un plan réel se disjoint, ses composantes se séparent en restant parallèles. Ces composantes ne cessent pas de contenir celles de même ordre des figures renfermées dans le plan.

L'équation d'un plan réel disjoint ne diffère de celle du plan réel simple que par le mode du terme D, qui devient imaginaire ou mixte.

Un plan peut encore être radié.

Soient, pour le faire voir, L(M,M') i /ig • 82) la tige d'une

droite radiée, AB une droite réelle perpendiculaire à son plan.

Si l'on admet que la droite AB se disjoigne, ses composantes peuvent, en glissant parallèlement à elles-mêmes, parcourir des chemins égaux, l'une sur LM, l'autre sur LM'. Elles engendrent alors deux composantes planes de même ordre qu'elles et qui forment la nappe radiée ( M,M')AB.

Rien n'empêche ensuite qu'arrivée en (M, M') la droite

Fig. 82.

mobile engendre une nouvelle nappe radiée (N,N'j (M, M') ayant ses composantes parallèles à celles d'ordre inverse de la pi'emière. D'où la possibilité de faire décrire à cette même droite une infinité de nappes radiées répondant aux branches de la droite fixe L(M,M/). L'ensemble de toutes ces nappes prend le nom àe plan radié. La droite L(M, M") en est la directrice et la droite AB la génératrice.

Il reste à montrer que le plan radié, tel qu'on vient de le définir, s'exprime en coordonnées rectangulaires par une équation du premier degré à trois variables, dont les coefficients sont de mode quelconque.

A cet efî'et, soit AfB, B') ifig. 83) une radiée qui coupe l'axe des j:; en (^B, B') et dont la tige ait, pour plus de simpli-

GEOMETRIE DE L ESPACE

cité, ses composantes AB, AB' symétriques par rappoi't au plan ccy. Prenons cette radiée pour directrice et la droite réelle AG du plan xy pour génératrice d'un plan radié.

Fig. 83.

Si l'on désigne OA par /?, OC par g, les équations de la directrice A (B, B') sont

Celles de la génératrice, dans la position AC, sont pareillement

Enfin, lorsque cette génératrice, glissant parallèlement à elle-même, vient prendre la position (D, D') ( E, E'i déterminée par 0P= a, P ( D, D') = 3^? ^^s équations deviennent

y -zzL p X -^ n..

Pour que la disjointe ( D,D') (E, E'i rencontre A( B,B'j, il faut que leurs équations soient satisfaites par les mêmes valeurs des variables. De là l'équation de condition

p'^i^r- inix ^= pn.

l54 CHAPITRE V.

Eliminant alors a et [5i entre cette équation et celles de

(D,D') (E,E'), on trouve

pz -+- 77ii {y — px) ^ pn

pour Téquation du plan proposé, et tout autre plan radié donnerait une équation du même genre.

Parmi les quadriques ou surfaces du second ordre, la plus importante est la sphère dont toutes les autres peuvent se déduire. Aussi l'étudierons-nous spécialement.

Soient OA, OB i/îg' <S4 ) deux circonférences réelles égales, ayant pour centre commun l'origine O des coordonnées, et comprises l'une dans le plan zx^ l'autre dans le plan xy.

Prenons la première de ces courbes pour directrice et la seconde pour génératrice, mais à condition que cette dernière, tout en glissant parallèlement à elle-même, de telle sorte que son centre reste sur Ox, ait constamment pour diamètre la corde correspondante de la directrice. Dans ce ce cas, sa première branche engendre entre A et A' une nappe sphéri([ue dont tous les points sont réels et dont le rayon est OA = OB = /•.

Soit CEDE' la position de cette première branche répondant à l'abscisse réelle x = OC < OA.

Les coordonnées d'un point quelconque F de la courbe par rapport aux axes CD, CE étant C/=y, /F = 5, on a, d'après les propriétés segmentaires de la circonférence,

Mais la directrice OA, de son côté, donne