A,A') — (A,AO(M,MO

Malgré leur simplicité relative, les opérations précédentes conduiraient difficilement à l'extraction des racines. Au contraire, les opérations concernant les segments rectangles permettent d'atteindre aisément ce but. Mais, comme la tran-

Fig. 36.

^ition des segments rectangles aux segments droits est des plus simples, on peut dire que les opérations qui vont suivre sont communes à ces deux sortes de segments.

Il est d'ailleurs avantageux de représenter un segment rectangle par sa première composante. C'est ainsi que

OB HZ OA -f- AB i, OB' " OA 4- AB' i,

Fig. 37.

par exemple (yî^.37), désigneront pour nous deux segments rectangles ayant même partie réelle OA, mais des parties imaginaires AB/, AB'f, de sens contraires entre elles.

Les droites OB, OB' prennent alors le nom de quantités géométriques. Chacune d'elles se définit par son module et son argument, c'est-à-dire par sa longueur OB ou OB' et Tangle positif AOB' ou négatif AOB', qu'elle fait avec la direction fixe OA. De plus, toute quantité géométrique est réelle ou imaginaire, selon qu'elle coïncide avec OA ou avec une perpendiculaire à cette direction.

Cela dit, s'agit-il d'additionner les quantités géométriques 0B=0A4-AB/, AD = AC-hCDt(^^. 38)?

On dispose ces quantités de telle sorte que OC soit la somme de leurs parties réelles, puis on mène à AD la pa-

Fig. 38.

rallèle BR jusqu'à sa rencontre en R avec la direction CD; et, comme CRt est la somme des parties imaginaires AB/, CDî, la somme cherchée n'est autre que 0R= OC + CRï.

Comme BR est par construction équipoUente à AD, on voit que l'addition des quantités géométriques OB, AD consiste à les composer cinématiquement.

Veut-on maintenant multiplier, l'une par l'autre, les quantités géométriques OB==OA-hABt, OD = OC + CDî

Le produit de OB par OC est la quantité géométrique Op=:Oa-f-ag«; et la similitude des triangles OAB, Oag, qui ont un angle droit compris entre côtés proportionnels, donne Op=^ OB. OC.

Si Ton multiplie de même OB par CDt, on trouve pour produit a(3'= aa'+ a P'/, et la similitude des triangles OAB, aa'P' donne ap'= OB.CD.

Les produits partiels Op, a^', étant placés de telle sorte que Oo! se trouve être la somme de leurs parties réelles, si l'on mène à a^' la parallèle pR jusqu'à sa rencontre en R

avec la direction a'p', la somme de leurs parties imaginaires est a'Rt, et le produit cherché 0R= Oql -\- a'Rt.

Mais, il y a plus, le produit OR peut se déduire directement de ses facteurs OB, OD.

En effet, les triangles OGD, OpR sont semblables comme ayant un angle droit compris entre cotés proportionnels, puisque Op = OC. OB et que pR— ag'^ GD.OB. Il en résulte, d'une part, pOR = GOD; d'où aOR= AOB + COD; d'autre part, 0R = OD.OB; et, par suite :

Le produit de deux quantités géométriques a pour argument et pour module la somme des arguments et le produit des modules de ses facteurs.

LIGNE DttOlTE. — CONIQUES RËGTILIGNES. 5y

Les autres opérations relatives aux quantités géométriques se déduisant des pi'écédentes, je n'en donnerai pour exemple que la recherche d'une moyenne proportionnelle et d'une moyenne symétrique entre deux quantités géomélriques.

Soient OB = OA + ABt, OD = OC ^ CD i {/ig. 4o) les quantités données.

La moyenne proportionnelle cherchée est la quantité géo-

Fig. 4o.

métrique ayant pour argument la demi-somme AOM des angles AOB, COD, et pour module

y/OB . OD = v^OB . OD' zzz ON.

Elle n'est donc autre que le rabattement de ON sur OM, c'est-à-dire OE = OG 4- GEî.

La moyenne symétrique entre les segments donnés s'obtient de même en multipliant OE par i : ce qui donne la quantité géométrique 0F=0H4-HFi perpendiculaire à cette dernière moyenne.

Coniques rectilignes.

Le système de deux droites quelconques situées dans un même plan s'appelle, pour plus de brièveté, conique recti-

ligne. Le point d'intersection de ces droites est le centre de la conique.

Une conique rectiligne peut être formée de deux droites réelles simples ou disjointes, d'une droite réelle et d'une radiée ou de deux radiées.

. Parmi les coniques de celte dernière catégorie, le système de deux droites rectangles inverses l'une de l'autre mérite surtout de fixer l'attention. Je lui donne le nom de conique rectangle imaginaire ou simplement de conique rectangle.

Le centre d'une pareille conique est tantôt réel, tantôt imaginaire.

Ainsi, les droites rectangles 0( M, M), 0(M',M; {fig, 4i)

Fig 4i.

ayant pour origine commune le point réel O, forment une conique rectangle dont le centre est celte origine.

De même, la conique rectangle résultant de la combinaison des droites inverses O et O', qui se coupent en un point imaginaire (o),a)') a pour centre ce point {fig* 4^).

LIGNE DROITE. — CONIQUES REGTILIGNES. 5g

Les intersections d'une conique rectangle et d^une droite réelle ne sont autres que celles de ses composantes avec cette droite. D'où il suit que, pour obtenir les intersections de la conique rectangle O et de la droite réelle AB, par exemple (/î^. 40? ^^ suffit de mener OP perpendiculaire à AB, puis de rabattre la première droite sur la seconde suivant PM et

Fig. 42.

PM'. Les points (M, M') et (M^,M) sont les intersections cherchées.

On trouve de la même façon les intersections de la conique rectangle (G),a)') (^g» 4^) et de la droite réelle AB. Ce sont les points (M,M') et (N,N').

La conique rectangle ne laisse pas d'offrir une grande analogie avec la circonférence. Elle a, comme celle-ci, des

6o CHAPITRE II.

cordes et des diamètres se coupant à angle droit et porte souvent le nom de circonférence infiniment petite,

La corde interceptée par une conique rectangle sur une droite réelle est la différence des segments compris sur cette droite entre Tun quelconque de ses points et ses intersections avec la conique.

Ainsi, la corde interceptée par la conique O sur la droite réelle AB (^fig> 40 ^st le segment imaginaire ayant pour composantes M'M et MM^

De même, la corde interceptée sur la droite réelle AB par la conique (o),(o') {^fig* 4^^) ^st le segment scalène formé par les composantes NM et N'M'.

D'après ce qu'on a dit précédemment, le milieu d'une corde a toujours pour composantes les milieux des siennes.

Le lieu des milieux d'un système de cordes parallèles étant, par définition, un diamètre conjugué de celles-ci, la perpendiculaire menée du centre d'une conique rectangle à Tune quelconque de ses cordes est un diamètre conjugué de celte corde et de ses parallèles.

Caria perpendiculaire OP, abaissée du centre de la conique O sur la droite AB {^fig> 40» coupe cette dernière en un point réel P dont les composantes sont évidemment les milieux de celles de la corde interceptée (M', M) (M, M') et l'on voit aisément que OP passe aussi par les milieux des cordes parallèles à cette dernière.

De même, la perpendiculaire abaissée du centre de la conique (o),o)') sur la droite AB {^fig* 4^) coupe la corde (N,N') (M, M') en son milieu (L,L'); ou, en d'autres termes, les composantes NM^ N'M' de cette dernière ont pour milieux respectifs L et L'.

En effet, le centre (o),o)') de la conique est délerminé par le point auxiliaire (/, /'). Mais les triangles /NM, /'N'M' sont isoscèles. Donc, les points L et L' sont les milieux de leurs bases NM, N'M'. On verrait de même que la disjointe

LIGNE DROlTi:. — CONIQUES llEGTILIGNES. 6l

((0,0)') (/,/') passe aussi par les milieux des cordes parallèles

Ces propriétés descriptives de la conique rectangle font assez pressentir celles des autres coniques rectilignes. Toutes admettent une infinité de systèmes de diamètres conjugués et les intersections mutuelles de ces coniques se ramènent à celles des droites qui les composent.

Etant données sur un plan deux droites quelconques, on peut les rapporter à un même système d'axes, exprimer chacune d'elles par l'équation qui la caractérise, puis en conclure l'équation de la conique rectiligne qu'elles concourent à former.

Si les deux droites en question sont concourantes et qu'on prenne leur point d'intersection pour origine, leurs équations respectives étant

j — rtj7, y—bx, celle de leur système est

(7 — «^) (7 — ^^) ~ Oy ou

f^ — {a -{- b) xy -\- abx^ i= o.

Réciproquement, l'équation homogène

Aj2 | B^/ H- ÇaX- = o

dont les coefficients sont réels, imaginaires ou mixtes, représente toujours une conique rectiligne ayant pour centre l'origine des coordonnées.

En effet, mise sous la forme

cette équation, comme on le verra plus loin, ne cesse jamais d'avoir deux racines a et é de modes quelconques. Mais elle

peut alors s'écrire

et l'on en conclut qu'elle représente un système de deux droites radiées ou réelles.

Remarquons enfin, avant de clore cette étude, qu'avec les coniques rectilignes apparaissent de nouvelles propriétés segmentaires ou métriques des figures.

Soient, par exemple, (M, M'), (M', M) les intersections de la conique rectangle O et de la droite réelle A.B {fig> 43 ) -

Fig. 43.

On sait que, pour obtenir ces intersections, il suffit de mener à AB la perpendiculaire OP, puis de rabattre celle-ci sur celle-là suivant PM, PM^

Les sécantes A(M, M), A(M', M) ayant pour demi-somme AP et pour demi-différence PMi, leur produit