A(M, MO- A(M', M

,-^ AP — PM/ rz: AP + PM = AP -h OP = OA

reste constant lorsque la droite AB tourne dans le plan de la figure autour du point fixe A. Ce produit se nomme la puissance de A relativement à la conique rectangle-

Si Ton mène OB perpendiculaire à OA et qu'on joigne au point O le milieu G de AB, ce qui donne GO = GA, les

quatre points A, B, (M, M') (iWM), satisfont aux relations

GA = C(M, M').G(x\i', M),

PMi— — PM = PA.PB.

C'est ce qu'on exprime en disant que les points (M, M'), (M' M) sont conjugués harmoniques des points A et B, ou vice versa.

S'il arrive que les droites OD, OE fassent des angles égaux avec OA, on a aussi

CA-GD.CE et, par suite,

CA =z G(M, MO.G(M', M) = GD.GE.

Les points A, B, (M, M'), (M', M), D, E sont alors en involution. Comme l'angle COC, dont la bissectrice est OA, a son côté OC parallèle à AB, le point C a son conjugué à rinjSni. De là son nom de centre de l'involution. Les points A et B sont en même temps les points doubles de celle-ci.

G (M MM Si l'on désigne l'angle COC^ par 6 et le rapport p yt] ^i \

par p, on a

C(M, M') = OG(cosÔ -h «'sinô), G(MS M) ziz OG(cosÔ — /sinô)

et, par suite,

cos6 -I- ïsine -AN»

p — — ^— r-^— - = (cosÔ -h ismô)-'

^ cosO — «sm9 ^ ^

Mais, si Ton désigne par e la base du système népérien, ce dernier membre, comme on le verra plus loin, revient à e^^^ il vient donc finalement

C'est la formule de Laguerre. Je crois en outre que la

conique rectangle remplace avec avantage lesdroites isotropes de ce dernier.

Enfin les points doubles d'une involution peuvent être imaginaires.

C'est ainsi qu'étant donnés {^g* 44) les points d'intersection (M, M'), (M', M) de la conique rectangle O avec la

droite AB, et le milieu P de (M', M) (M, M'), si l'on tire du point O les angles droits AOB, COD, POP', on a d'une part

PMi:= — PM — PA.PB zziPC.PD;

et comme d'autre part le conjugué du point P est à l'infini, on en conclut que les points (M, M'), (M', M), A, B, C, D forment une involution dont le centre est Pet dont les points doubles sont (M, M^), (M', M).

Si, comme on a raison de le dire, le système de coordonnées rectilignes a pour but de ramener la forme au nombre par rintermédiaire de la situation, il faut se garder de prendre cette définition dans un sens trop restreint.

On sait, en effet, que, dans certains cas, l'équation d'une courbe plane peut résulter indifféremment des propriétés descriptives de cette courbe ou de ses propriétés segmentaires; que cette équation dépend du choix des axes et qu'un tel choix influe même sur la nature de la courbe, lorsque celle-ci n'est définie que par ses propriétés segmentaires.

Mais ce qu'il importe aussi de reconnaître, c'est que, rapportées au même système d'axes, certaines courbes de formes différentes ne sont pas plus tôt de modes contraires entre elles qu'elles manifestent immédiatement des propriétés segmentaires identiques. D'où la possibilité de constituer avec ces courbes des lieux géométriques vraiment généraux, de traiter ces derniers comme les figures de l'Analyse ancienne et d'exprimer chacun d'eux, malgré la diversité de ses branches, par une seule et même équation.

L'étude des coniques va nous en fournir la preuve.

Soit d'abord une circonférence de rayolT^O A = r {fig^A^)»

Si Ton prend pour axes de coordonnées les directions xx\ y-y de deux de ses diamètres rectangulaires AA',BB'; puis,

qu'on mène en P la corde CD perpendiculaire à AA', les antiparallèles CA, DA donnent PC. PD = PA.PA'.

Mais, P étant le milieu de CD, on A PC,PD= — PC* de

Fig. 45.

plus, comme les segments PA, PA'ont pour demi-somme OP et pour demi-différence OA, il vient