EH — EP.ED

c'est-à-dire que la circonférence décrite sur ED, comme diamètre, passe par le point H, ou que QH = QD.

Or, on a évidemment

Q(M,M').Q(M',M)-QP + PH = QH.

Donc enfin

QDz=: QK.QL = Q (M, M').Q (M', M).

En d'autres termes, les points K, L, (M, M'), (M', M) font partie d'une involution dont les points doubles sont D, E, et le centre Q.

Il est bon d'observer en passant que les deux radiées B(M,M'), C(N,N'), qui se coupent en (M, M'), forment entre elles un angle réel dont les composantes respectives sont BmC, Bm'G et qui, par suite, est égal à l'angle réel BAC. D'où Ton voit que tous les angles inscrits dans le segment BC sont égaux entre eux et que la circonférence OA est le lieu des points d'intersection de deux droites réelles ou radiées passant Tune par B, l'autre par C et se coupant sous un même angle.

Projections. — Si, par l'origine d'un segment droit ou radié, on mène un aœe ou droite indéfinie, puis que, par l'extrémité du segment donné, on abaisse une perpendiculaire sur l'axe, le segment compris entre l'origine commune et le pied de cette perpendiculaire est la projection du segment donné sur l'axe.

Ainsi, pour projeter le segment radié 0(M,M') sur un axe Ox ifig-'jA)^ un abaisse la perpendiculaire (M, M')P sur cet axe, et la projection cherchée est OP.

De même, pour obtenir la projection de OA sur l'axe

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l3r

0(M, M'), on mène A (C, C) perpendiculaire à 0(M,M'), et cette projection n'est autre que O (G, C).

Si Ton désigne par 5 la distance de Torigine à l'extrémité du segment que l'on considère ; par d celle de l'origine à l'extrémité de sa projection sur un axe quelconque, et par A l'angle compris, lequel peut être réel, imaginaire ou mixte, on

Fig. 74.

a constamment pour la mesure de cette projection la formule

d-=^% ces A.

Comme, dans la figure précédente, OA mesure la distance 0(M,M' ,il vient

OPi=OAcosAOM/,

et celte formule est aussi celle de la projection de OA sur 0(M, M), puisque les droites MA, CP étant parallèles en vertu des propriétés de l'hyperbole, équilatère, la distance O (C, C) n'est autre que OP.

Vectrices et logarithmes de modes quelconques, — Soient A, A', (B, B'), (B, B) {fig, 75) les quatre sommets d'une hyperbole équilatère ayant pour rayon OA = i et que nous supposerons rapportée à ses axes xx\ yy' , On sait que les

l3t2 CHAPITRE IV.

segments rectilignes menés du centre de la courbe à ses divers points s'appellent vectrices et s'évaluent autrement que leurs analogues dans la circonférence.

De même, l'angle que fait chaque veclrice avec le rayon OA change de mesure en s'exprimant par le rapport du secteur

Fig. 75.

hyperbolique qu'il intercepte au demi-carré construit sur le rayon et s'appelle le logarithme de la vectrice.

Le logarithme d'une vectrice se désigne par Ja caractéristique / placée devant l'expression de cette dernière.

Ainsi la droite réelle OC, coupant l'hyperbole proposée en C, si, par le sommet A, on mène à la courbe une tangente qui rencontre OC en T et l'asymptote OL en L, on a, par définition,

AOC

LOC=z

AOL

AT

De plus, en posant ^r-r- := a << i , il vient, d'après Huygens,

/. OC — -r-PTT- -^a-\-^a^ ^^a^ +

AOL

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l33

Qu'on multiplie ensuite rordonnée de la droite OC par i,

et celle droite se transforme en une radiée O (C, C) qui

coupe l'hyperbole en (D, D). La vectrice OC se remplace alors

AOC par la vectrice 0(D, D'); le logarithme ^^^ , par le logarithme

AODt , AT , ArT,TM . ^

> et le rapport -^, par le rapport — -— — = ai. Un a

dès lors, d'après la formule de Leibniz,

AGDi

AOL

at -I--5 («0* + K {^^y

Veul-on maintenant trouver le logarithme d'une vectrice telle que O (E, E') aboutissant à la conjuguée (B, B') de l'hyperbole ?

Si l'on mène le diamètre OC conjugué de la direction EE\ on sait que le secteur hyperbolique répondant à cette direction est AOC -h C'O (E, E') et qu'on a de plus

AOC =: — BOE, C O ( E, E' ) = AOB /.

Donc,

On trouverait de même que

— BOE -4- AOB' i