PREMIÈRE PARTIE

PROBLÈME GÉNÉRAL DES DROITES ET DES COURBES DE HAUTEUR ET DU POINT COMPLET A LA MER.

!'• PARTIE. — § I. Cas d'une seule observation : point

"%"* t. Déflniitoii de» cereles, droUe» et courbe* de hauiear. Rappel de la relation fondameniale du triangle de poAlilon. — Depuis que, grâce aux progrès de la vapeur, la rapidité et la fréquence des atterrissages ont augmenté dans d'importantes proportions, la nécessité s'est fait sentir de se procurer à un moment quelconque des données plus ou moins complètes sur la position astronomique du bâtiment On s'est dès lors préoccupé d'approfondir tout le parti qu'on peut tirer d'une seule hauteur prise telle quelle au moment considéré, sans s'astreindre à attendre l'instant où, quelques heures plus tard, une seconde observation, méridienne ou non, permet de déterminer, par sa combinaison avec la première, les deux coordonnées géographiques du bâtiment.

Nous sommes donc conduit à étudier, en premier lieu, les indications qu'on peut tirer d'une seule hauteur. Nous supposerons jusqu'à nouvel ordre qu'il n'y a pas d'erreur sur les observations. Nous ne nous préoccuperons pas non plus, pour le moment, de l'exactitude de l'heure de Paris fournie par les chronomètres. Cette heure est ce qu'elle est à la mer : il -n'y a rien à faire à cela. 11 suffira de se rappeler que toute erreur sur sa valeur ne fait que reporter en

longitude, à l'Est ou à TOiiest, le point considéré de la surface de la Terre. Ce report est égal à Terreur elle-même. Il se transmet d'ailleurs à toute ligne, courbe ou droite, invariablement reliée au point. Enfin, sur une carte de Mercator, il correspond à une translation perpendiculaire aux méridiens. Nous tiendrons compte de cette remarque au n* 37.

Quand on a pris la hauteur d'un a§tre, il existe évidemment sur la sphère céleste un petit cercle ayant pour centre la projection du centre de l'astre sur cette sphère, et pour rayon la distance zénithale de cette projection. Ce petit cercle forme un lieugéométrique, sur lequel se trouve rigoureusement le zénith du navire; et il s'app(?lle cercle de hauteur. Le centre en est parfaitement déterminé; car : 1* sa distance au pôle est égale à la distance polaire de l'astre, laquelle prend, dans les idées du jour, le nom de colatUude géographique de l'astre; 2* son écart en longitude par rapport au premier MÉRIDIEN, ou ce qu'ou est convenu d'appeler la longitude géographique de l'astre, n'est autre, en temps^ que l'heure de l'astre par rapport audit méridien, ou sa différence avec 24** si elle est > IS**. Cette heure vaut d'ailleurs la somme de l'heure moyenne du premier méridien d'après le chronomètre au moment de l'observation, et de Y avance en ascension droite du Soleil moyen par rapport à l'astre. L'avance en question est, en particulier, égale et de signe contraire à Téquation du temps, quand l'astre observé est le Soleil. En un mot, la longitude géographique du Soleil est égale à l'heure vraie sur le premier méridien, ou à sa différence avec 2â'*, En se reportant à la légende delà page 1, les relations précédentes donnent Ueu aux formules suivantes, qui sont absolument générales, eu égard aux conventions de signes adoptées dans la légende en question pour les valeurs numériques des éléments :

1= (Tp. m+ /Rm - -Afl) < 1:2'' ; ou sinon :

= (Tp.m+ Jilm— i«<«) - 24^ ■=(T^m-E)=Tp.•<i2^ ou sinon :

Sur les cartes marines, le cercle de hauteur se transforme en une courbe transcendante, qui prend le nom de courbe de hauteur.

Toute tangente, ou toute corde sensiblement tangente, menée au cercle de hauteur, sinon par la position même du bâtiment, du oacins

Ga en temps (Soleil).

POINTS DÉTERMINâTIFS DE LA DROITE DE HAUTEUR. 5

par un point qui s'en écarte peu, s'appelle droite de hauteur. Cette droite est une sorte de relèvement, qui contient plus ou moins exactement ladite position.

— Cela compris, tout le parti qu'on peut tirer d'une seule observation consiste à en déduire une droite de hauteur, ce qui conduit d'abord à déterminer, à l'aide de données antérieures, sur le cercle de hauteur le point par lequel il convient de mener cette droite ; et que nous appellerons pour ce motif point diterminatif de la droite de hauteur.

Nous aurons, à chaque instant, dans le cours de la pi-emière partie de notre étude, à invoquer la relation fondamentale du triangle de position. Cette relation peut s'écrire sous les deux formes suivantes, où les diverses lettres ont les significations indiquées dans la légende de la page 1 :

(i) sinH = sinLsinD H- cosLcosDcosP

(ibis) sinH = sinLsinD -I- cosLcosDcos(Ca — G).

Les formules précédentes sont absolument générales, à la condition expresse que Ton attribue aux valeurs arithmétiques des divers éléments, les signes spécifiés dans la légende.

Par ailleurs, pour ce qui va suivre, le lecteur pourra se reporter indifféremment à l'un ou l'autre des quatre groupes de points représentés sur les parties supérieures et inférieures des fig. 1 et 1 6ts, pages 12 et 14, et qui correspondent aux quatre combinaisons principales susceptibles de se présenter en pratique.

W 9. Point détcrmliiatir de la drolie de haaiear déduU de la latiiade entlmée. — Dans l'usage courant actuel, ou obtient le point déterminatif de la droite de hauteur à l'aide de la latitude estimée. x\ cet effet, on cherche l'intersection du parallèle Z,L, fig. 1 ou 1 bis, correspondant à cette latitude avec le cercle de hauteur décrit, sur la sphère céleste, du centre projeté A de l'astre considéré. Cette opération, traduite analytiquement, consiste à faire le calcul bien connu d'angle horaire avec la latitude estimée, et à en déduire la longitude du navire. En d'autres termes, on tire des formules (1) ou (1 bis) du numéro précédent, après y avoir remplacé D par (90^ — A) :

. /cosHH-4-L,+A}sinr^(H + L.-fA)-Hl \ cosL, sinA

cosSsin(S— H)

cos L, sin A

On obtient ainsi un point L, qui sera le pom( déterminatif de la

droite de hauteur^ et par lequel on mènera cette droite de la manière qu'il est expliqué au n* 10 ou au n* 11. Nous remarquerons, en passant, que la présente recherche conduit à deux solutions L et L'. Mais le doute est toujours levé, puisqu'on sait, par le sens dans lequel varie la hauteur, si l'on a observé dans l'Est ou dans l'Ouest, et que d'ailleurs Testime fournit une valeur approchée de l'élément calculé. — Les TYPES DE CALCUL N** 4 et 4 6w do la fin du texte, renferment iuiplicitement la recherche de points déterminatifs déduits de la laduide estimée.

If'' 9. Point détermittatir de la droite de lia«te«r déd«lt de la ioniritvde estimée. — Au lieu d'avoir recours à la latitude estimée, rien n'empêche d'employer la longitude estimée, et de chercher l'intersection G, fig. 1 ou 1 615, du cercle de hauteur avec le méridien Z^G correspondant. Cette opération, traduite analytiquement, consiste à calculer, au moyen de la longitude estimée, la latitude du navire, connaissant la distance zénithale de l'astre, sa distance polaire et l'angle au pôle, ce dernier angle se déduisant du reste de la combinaison de la longitude estimée du lieu et de la longitude géographique de l'astre. En un mot, le problème revient au calcul de la latitude, connaissant l'heure du bord. Le problème se résout à l'aide de la relation (1) ou (1 bis) du n* 1 . Cette relation rendue logarithmique donne très-aisément, en y introduisant la longitude estimée :

cosP cos(Gfl— Gp)

'* '«^ = -;jn= tgi. •

/ov . ,. sinHooso

(3) .„(L+w=--nr-

En tout état de cause, on obtient ainsi un nouveau point G, qu'on pourra prendre pour point déterminalif de la droite de hauteur. — Ce procédé, déjà proposé par divers navigateurs, n'a guère été employé jusqu ici; mais nous verrons dans la suite de la discussion qu'il peut avoir son utilité spéciale. Nous remarquerons, au surplus, que la recherche du point G donne lieu, comme celle du point L, à deux solutions qui correspondent aux deux intersections du cercle de hauteur par le méridien estimé Zfi. Mais d'ordinaire le doute est levé, parce que, ce genre de calcul devant être réservé pour les observations faites près du méridien, on est en général à même de savoir si l'on a observé Tastre du côté du pôle élevé ou du côté du pôle abaissé, et que, en outre, Testime fournit une valeur approchée de l'élément calculé.

!«* 4. Polat déterminfitir de la droite de hantevr 4é-

4«U dm procédé Mareii (taintHillAlre, et dit pmimi rmpttrmeibé. — A côté des deux combinaisons précédentes, il s'en offre tout naturellement une troisième, qui consiste à obtenir le point délerminatif de la droite de bauteur, en se servant simultanément de la latitude et de la longitude estimées. C'est ce procédé qui a été proposé par M. Marcq Saint-Hilaire. La question se réduit alors à trouver Tintersection R, /Ig. 1 ou 1 ftw, du cercle de hauteur avec le tsertical Z^A mené par le point estimé Ze du navire. Cette intersection se nomme point rapproché^ pour les motifs expliqués au n* 6.

Le procédé Marcq Saint-Hilaire, traduit analytiquement, consiste à calculer d'abord la distance zénithale fictive Z^A, ou mieux son complément, qu'on appelle hauteur estimée He* au moyen d'un triangle de position déterminé par la distance polaire de l'astre, la colatitude estimée du navire et l'angle au pôle estimé^ angle qui résulte lui-même de la combinaison de la longitude géographique de l'astre et de la longitude estimée du navire. Ce calcul n'est autre que celui de la hauteur d'un astre à une heure connue, employé dans la réduction des distances lunaires, quand on a observé ces distances sans prendre de hauteur. On détermine ensuite l'azimut PZ^A, qui correspond au zénith estimé Z« -, ce qui, soit dit en passant, mène à deux solutions Z^A et Z^A', dont la bonne est fixée par la con- Dîdssance de la direction dans laquelle on a observé l'astre. Enfin, on cherche les coordonnées géographiques de l'intersection R, en portant à partir de Ze, dans la direction azimutale de l'astre, une longuem* égale à la différence entre la hauteur vraie réelle et la hauteur estimée*

Première solution. Les formules à employer pour le calcul de H, et de 1, se déduisent aisément de la formule fondamentale (1) ou (1 bis) du n** 1, en prenant pour inconnue la hauteur estimée H^, et en se servant de la latitude et de la longitude estimées Le et &«. Ceci mène du reste aux mêmes équations que (2) et (3) du numéro précédent, en prenant cette fois pour inconnue sin H^; et on trouve aisément :

,,, cosP COS(Ga — Gc)

(4 lfî2)= ou — -^ — •;

^' tgD tgD *

sinDsin(Lff +?)

(5) siuHe =

cos?

Puis, en éliminant -. — r^ entre (5) et l'équation connue sin D = sin D ^ ^ *

^in L, sin H,+ cos L^cos He cos Z„ il vient la relation très-simple :

(6) cosZ, = tg lif cotg (U + 9).

On peut aussi, d après les valeurs connues de P = (G« — Ge), de Le et de D, calculer Z^ avec les tables azimutales de M. Labrosse. Mais ces tables offrent Tinconvénient de faire dépendre Tinconnue de iTo\% arguments 5tmul^ané5, ce qui complique les interpolations. Selon nous,* le procédé le plus recommandable pour avoir îei ©st de recourir aux tables de M. Perrin, dont le principe et l'usage sont donnés au n*» 13, et où Fou entre successivement avec P et D, puis avec P et L,

Deuxième soltUion. M. Rouyaux s* est jusqu'ici servi, pour la méthode Marcq, de la résolution immédiate de la formule (1 bis) à l'aide d'un sinus naturel on d'un su-cosinus verse.

Cette formule, appliquée au triangle de position estimé, donne en effet :

sin Hff = nombre corresp^k [log sin U + log sin 0]+ nombre corresp^ à [log cos L«+log cos D + log cos(Ga—

Si on possède une table de lignes naturelles, on obtiendra tout de suite He, en entrant dans les tables avec la valeur susindiquée de sin H^. Mais si on ne dispose que d'une table de lignes verses^ il faudra se rappeler que l'on a par définition :

sin H« = su - cos v. H« — 1 .

On devra dès lors entrer dans la table avec la valeur précédente augmentée de l'unité (*). — Après avoir calculé He comme nous venons de l'expliquer, M. Rouyaux détermine Z^ par les tables de M. Perrin, suivant la manière signalée pour la première solution.

L'emploi précédent d'une solution immédiate fait aussi penser à la possibilité de se servir des TABLES de logarithmes d'addition et de soustraction de Gauss. On sait que ces tables donnent toutes calculées des expressions de la forme (l±g). Or, la formule générale (l bis) peut s'écrire :

. « . , ' ^f . co8UcosDcos(G<i — G«) \

smH«=sinL«sinD( 1 i— • );

\ sin Ltf sin D /

f ) Remarquons^ en passant, que l'usage des lignes natweUes est en général plus simple et plus logique que celui des lignes verses. On peut être étonné que la plupart des auteurs de tables aient exclusivement donné ces dernières lignes ; car, en examinant attentivement les formules de navigation qui les renferment, et dont lesdits auteurs ont eu en vue le calcul, on reconnaît que le plus souvent ces formules seraient au moins aussi simples en étant tout bonnement exprimées en lignes naturelles. Aussi, dans ces derniers temps, y a-t-il eu une réaction contre cette manière de faire, surtout à l'étranger, où plusieurs tables de navigation renferment aujourd'hui les lignes naturelles. 11 importe toutefois d'a-^ jouter que ce qui a inspiré l'usage des lignes verses^ c'est que ces lignes sont toujours; positives, ce qui évite les erreurs de signe dans les calculs.

POINTS DÉTERIIINÂTIFS DE LA DROITE DE HAUTEUR. soit :

8inH,=r=tB A±:g],

les doubles signes ± étant destinés à tenir compte des \alears algébriques des deux groupes de facteurs du second membre de la formule ci-dessus.

Mais les tables en question étant à double entrée, leur usage n'est pas en somme assez commode pour être recommandé.

Troisième solution. Pour les grandes hauteurs, il vaut mieux substituer une tangente îiu sinus pour calculer H^. Sans cela, surtout en se bornant à un petit nombre de décimales pour les logarithmes, on est exposé, eu égard aux très-faibles variations du sinus aux environs de 90*, à avoir une valeur assez erronée de la hauteur estimée pour de faibles erreurs sur D et P. De son côté, l'azimut se calcule très-mal par un cosinus, dès qu'il approche de 0* ou de 180*. Pour ce double motif, il semble préférable de substituer, en principe, aux formules précédentes des relations en tg He et tg Z^, qui sont alors propres à tous les cas. — Pour oblenii' ces relations, on part de l'équation connue :

tg D cos L« = cotgZ« sin (Go — Ge) i- sin Le cos ( Ga — G* ).

D'où l'on tire aisément :

C0S(Grt— Ge)

(4, déjà donnée) tgf = •

(7) tgZe = î

tgD

tg(Ga~Ge)siny cos(Le + 9)

Puis, en éliminant cotg (6^ — G^) tgZ^ entre (7) et l'équation également connue :

tgHeCOsLe=cotg(Gc— -Ga) sinZe + sinLe cosZe= [cotg(Ge— Ga) tgZc -f sinL#] cosZ«,

il vient :

(8) tgHe=lg(Le + 9)cOsZe.

Celte dernière équation se confond avec la formule (6) obtenue plus haut par une autre série de transformations.

Toutefois, ce nouveau groupe de formules n'est pas sans avoir ses inconvénients spéciaux. Ainsi l'élément le plus important H, dépend ici de Ze, qui se déterminant présentement en premier, est susceptible d'être entaché des erreurs provenant du premier calcul. D'ailleurs l'emploi de la tangente ne devient indispensable que pour les hauteurs supérieures à 78» ou 80% alors qu'une variation de 2 ou

3 unités du cinquième ordre sur logsinH^ produit une erreur de 1' sur la hauteur ainsi calculée.

Dans tous les cas, les diverses relations précédentes sont absolument générales, pourvu qu'on attribue aux valeurs numériques (les divers éléments, des signes conformes aux conventions de la légende page 1.

Cas particulier. Aux environs du méridien, le calcul de H, se simplifie singulièrement. Il suffit, en effet, de déduire de la combinaison de Le et de D, une hauteur méridienne estimée, et d'appliquer à cette hauteur la correction bien connue ap* (n* 20) des circumméridiennes, mais en sens contraire du sens habituel, p étant d'ailleurs ici égal à (G« — Ge) converti en minutes de temps. On obtient de la sorte une hauteur circumméridienne estimée^ qui n'est autre que He. De son côté, le calcul de Ze se simplifie aussi; car ou a

-r-7^^ — ^rr = — r^ ; ce qui donne, eu égard à la petitesse de Z, et

sm(G« — Ge) cosH ^ » ^ r

de(G„-Ge) :

, cosD

Ze= Ga-Gf S,

cosH

expression qui se calcule par la table de point.

Fin du calcul. Une foisH^ et Z. connus par l'une ou l'autre des solutions précédentes, on prend la différence Z«R, regardée sensiblement comme un arc de loxodromie, entre la hauteur estimit He = (90«— ZeA) et la hauteur vraie rée/teH= (90^— RA). Avec cette différence et l'azimut estimé, on détermine aisément, par un simple calcul d'estime, le point R du cercle de hauteur qui doit servir, dans le procédé qui nous occupe, de point déterminatif de la droite de hauteur.

Dans le calcul d'estime dont il s'agit, on prend, pour simplifier, la latitude Le comme latitude moyenne. Il en résulte une erreur d'un très-petit du deuxième ordre (n* 7), qui s'ajoute algébriquement avec celle du même ordre résultant du remplacement de l'arc de grand cercle Z^R par un arc de loxodromie. L'erreur totale qui affecte ainsi la position du point R est donc en principe négligeable. D'autant que, d'après le n*" 8, ou peut même en général, pour mener une droite de hauteur, substituer au point déterminatif choisi un autre poiut du cercle de hauteur distant du premier d'un très-petit du premier ordre.

Il reste à noter qu'avec le procédé qui nous occupe, l'heure du bord qu'on peut avoir besoin de connaître pour le service courant.

POINTS DÉTERMINATÏFS DE LA DROITE DE HAUTEUR. \i

s'obtient en combinant l'heure du premier méridien donnée par le chronomètre avec la longitude de Tintersection R.

Types de calcul — On trouvera à la fin du texte un exemple de la recherche du point dèterminatxf d'une droite de hauteur d'après le procédé Marcq, traité par les trois solutions générales ci-dessus, sous la rubrique Type db calcul n* 1, n* 1 6w, n* 1 ter.

—A propos de ces types, on est conduit à se demander s'il n'y aurait pas moyen d'adapter le calcul d'angle horaire au procédé Marcq, ce qui ferait tomber les seules préventions sérieuses (n* 9) qui existent à son sujet. Il semble, en effet, qu'on pourrait déduire la hauteur estimée de la hauteur réelle, en faisant un calcul d'angle horaire avec la dernière de ces hauteurs. En comparant alors l'angle P ainsi obtenu avec l'angle au pôle estimé (G« — G,) , on obtiendrait une variation AP qui correspondrait à la différence inconnue AH entre la hauteur réelle et la hauteur estimée. On calculerait ensuite la variation n, dudît angle P, pour un accroissement de 1' sur la hauteur vraie. On procéderait d'ailleurs d'une manière analogue au mode Pagel (n* 13) pour la détermination de 11^. On poserait alors :