AH AP

1' - n^' Malheureusement cette proportion, qui rentre en définitive dans la détermination par voie indirecte de certains coefficients (n^ 15), n'est qu'approchée. Ensuivant une marche semblable à celle du n* ââ, dans la discussion de la validité de la proportion fondamentale de la méthode Lalande-Pagel, on trouve : 1* que l'erreur relative est ici bien plus forte, et atteint environ 1/10 pour H <60% L <Ô0» N** ou S**, Z>30*, AH = 10'; 2* qu'elle est au surplus à peu près proportionnelle à AH. — L'approximation ne serait donc pas généralement suffisante. En outre, la proportionnalité cesse complètement d'exister aux environs du méridien.

1* 6. l»i»eiiMion 4e la valeur respeeUve des trois ^•âaUi détenniiiailfs de la droite de liauteor^ point «▼•ata^eux. — En résumant ce qui précède, on se trouve définitivement en présence de trois points L, G et R, fig. 1 ou 1 bis, déterminatifs de la droite de hauteur. Et même en considérant les choses analytiquement, on trouve (n» 16) qu'il existe rationnellement un quatrième point déterminatif. Mais comme la recherche y relative ne se présente pas sous une forme simple, nous nous bornerons à mentionner l'existence de ce point, sans nous occuper d'en faire

usage. Au surplus, en regardant les choses de haut, on peut, d'après le n« 8, établir en principe qu'il y a une infinité de points détermi-

natifs, eu égai'd à ce

Fig. 1, relative k la comparaison des divers points détermi- u /* « /Iûc /riiarr^

natifs d'une droite de hauteur. (Toute la partie considé- que CnaCUB UeS quaire

n^e de la sphère est ici projetée orthogonaicment sur le YïointS rationnels dout

plan du cercle de hauteur.) pviuto tu**v •

nous venons de parler, est en général susceptible d'être remplacé par un autre point du cercle de hauteur, qui en soit distant d'un très- petit du preaiier ordre.

Mais pour fixer les idées d'une manière pratique, il faut se borner àconsidérer les trois points L, G et R. Nous distinguerons ces trois points par les désignations de point déterminatif par latitude L»

point délerminatif par longitude G, point déterminalif par procédé Marcq ou point rapproche R.

Maintenant, quel est celui de ces points auquel il faut donner la préférence; en d'autres termes, quel est celui quil convient de prendre pour ce que nous appellerons le point déterminaiif avantageux? C'est là que gît en particulier la discussion que nous nous sommes proposé d'éclaircir.

Il importe dès l'abord d'aller au-devant d'une objection qui a été souvent soulevée, à savoir : que les observations du ou des jours précédents ne donnent, eu égard aux erreurs possibles d'observation, qu'un polygone de certitude (n** 41) au lieu d'un point unique. On aurait dès lors à se servir pour le moment de Tobservation considérée, d'un polygone de certitude estimé, et non d'un point unique eslinié. Mais il suffit de répondre à cette objection que le polygone de la veille renferme un point le plus probable (voir, pour la définition nia-

thématique de ce mot, le n"* 122) , et que c'est avec ce point qu'on fait le calcul d'estime. On obtient de la sorte la position estimée Ze la plus probable; et par suite l'intersection L, G ou R obtenue avec cette position sera la plus probable par rapport aux intersections de même espèce correspondant aux divers points du polygone eslimé.

Des trois procédés dont nous venons de parler, celui qui emploie l'angle horaire est le plus court, surtout lorsqu'on se sert des tables auxiliaires dressées exprès pour faciliter son effectuation. Mais au fond les différences de longueur d'opération sont peu de chose ; et d'ailleurs on doit surtout se préoccuper de Vexaclitude du lieu géométrique à se procurer. Il faut dès lors choisir pour point avantageux l'intersection qui se trouve la plus voisine de la position réelle du navire, ou, en cas de renseignements insuffisants à ce sujet, celle qui n'expose pas à la possibilité d'un écart considérable par rapport à ladite position. Or cette position se trouve manifestement à la rencontre du cercle de hauteur par un deuxième cercle décrit du point Z^, fig. i oui biiy comme centre avec un rayon égal à l'erreur totale de l'estime. Ce rayon est, il est vrai, complètement inconnu. Mais, pour la discussion qui nous occupe, cela importe peu; car il suffit, sans se préoccuper aucunement des distances, de savoir que le cercle d'erreur est susceptible de couper le cercle de hauteur soit en Z et Z^, avec les deux points de sécance en dehors du point L (ou G) , par rapport au point R, soit en z et z^ avec l'un des points de sécance compris entre L (ou G) et R.

Gela entendu, admettons premièrement qu'on n'ait aucune donnée sur les courants ni sur les erreurs de la dérive et du loch depuis les observations du ou des jours précédents, autrement dit qu'on ne possède aucune indication sur les erreurs probables de l'estime. Le problème est trop indéterminé pour qu'il y ait moyen de fixer par la théorie des probabilités, le noinbre de chances qu'a le pobu R pour être plus voisin ou également voisin de la position réelle du navire que le point L (ou G). Au sui'plus, la considération de ces chances ne serait que secondaire. 11 faut surtout remarquer qu'avec le point R,on n'est jamais exposé à avoir, par rapport à la position réelle du navire, un écart plus grand que la moitié de la distance ZZ^, ou zz^, entre les deux places possibles de cette position sur le cercle de hauteur. Avec chacun des points L et G, au contraire, il peut arriver que l'écart atteigne cette distance. Bien plus, lorsque les deux sécances, telles que z et z^ du cercle d'erreur tombent d'un même côté par rapport au point L (ou G), d'abord l'écart surpasse la distance en question,

Fig.l bis.—Mémc rubrique que pour \a.fig. i. Mais le zénith estimé Z« est ici en dedans du cercle de hauteur, au lieu d'être en dehors, comme en fij. i.

si c'est la plus éloignée des sécances qui représente la position réelle (lu navire. Mais en outre, dans un cas comme dans Tautre, l'écart est susceptible de prendre une valeur relativement considérable, dès qu'on a observé loin des circonstances favorables (n** 34 et 85) conceinant le procédé générateur de l'intersection considérée Lou G. — Cette dernière considération est capitale pour poser en principe qu'en

l'absence de tout renseignement sur les erreurs probables de l'estime, Tintersection R est seule acceptable comme pcnnt déierminalif avantageux^ surtout lorsque la hauteur a été prise à un moment quelconque. — Si l'on avait été à même d'observer dans le premier vertical, ou tout à fait aux environs, il vaudrait mieui (n** 17), eu égard aux circonstances particulières où l'on se trouverait alors, prendre l'intersection L, et adopter pour alignement du navire le méridien passant par ce point. Toutefois, en y réfléchissant, on voit que le point R se confondrait très-sensiblement ici avecTintei-sectionL, et la droite de hauteur avec ledit alignement. La généralité de l'emploi du point R ne se trouve donc pas altérée de ce chef; seulement, avec cet emploi dans le présent cas, le calcul serait un peu plus long. — Une remarque analogue est applicable au cas où, ayant observé aux environs du méridien, on serait conduit, eu égard à cette circonstance particulière, à se servir de l'intersection G.

— Supposons, en second lieu, qu'on possède quelques renseignements sur les erreurs probables de l'estime. En cette conjoncture, on parvient encore avec une extrême simplicité aux conclusions que voici: 1*» Si, grâce surtout aux moyens dont on dispose aujourd'hui poui* avoir de bonnes observations méridiennes de nuit, et dont M. Fleuriais a été un des plus intelligents propagateurs, on est sûr d'avoir à sa disposition, pour l'introduire dans le calcul du point déterminatif i une latitude à peu près exacte, l'intersection L, pg. 1 ou 1 bis, sera manifestement le point le plus voisin.

2" Remarquons que si on connaissait la direction des erreurs combinées de l'estime et des courants, et qu'on menât par le point

POINTS DÉTERMINATIFS DE LA DROITE DE HAUTEUR. i5

% un arc de loxodromie suivant cette direction» la rencontre de cet arc avec le cercle de hauteur donnerait la position exacte du navire. Gela dit» si les courants combinés avec les erreurs de la dérive et du loch ont porté à la foîs en latitude et surtout en longiiude dans le sens de R vers L, l'intersection L sera le point le plus voisin, (il importe, pour bien comprendre ce détail, de faire mouvoir, sur la figure, le point Z.» successivement en latitude, puis en longitude, suivant l'indication donnée.)— Si les mêmes causes ont porté en latitude dans le sens de L vers R, en même temps qu elles portaient surtout en longitude en sens opposé^ l'intersection L demeurera encore le point le plus voisin, tant que l'erreur en latitude zc sera plus petite qu'environ la moitié de la quantité Ra, qui représente l'écart en latitude des deux points R et L.

S"" Si on a été porté à la fois en longitude et surtout en latitude dans le sens de R vers G, Tintersection G sera le point le plus voisin. — Si on a été porté en longitude dans le sens de G vers R, en même temps qu'on était surtout porté en latitude en sens opposé, l'intersection G demeurera encore le point le plus voisin, tant que l'erreur en longitude z^ d, exprimée en milles majeurs, sera moindre qu'environ la moitié de la quantité R6, qui représente l'écart en longitude des deux points R et G.

A' Dans tout autre cas, l'intersection R obtenue par le procédé Marcq, soit le point rapproché, sera l'intersection la plus voisine, et devra, dès lors, être choisie comme point déterminatif avantageux. — li conviendra encore de faire le même choix toutes les fois que, avec les renseignements qu'on est à même de posséder sur les courants et sur les erreurs de la dérive et du loch, on commencera, à l'instar de beaucoup de capitaines, par corriger, tant bien que mal, l'estime de ces perturbations, et qu'on basera la recherche du point avauta^ ceux sur le point estimé combiné qui résulte de ce mode d'opérer.

TV* •. Propriétés spéciale» au point détcrnUnaClf de la ilrolCe de baatear déduit du procédé liarcq. — Aux considérations précédentes, il vient s'en ajouter d'autres non moins importantes en faveur de Y intersection Marcq R : nous voulons parler d'une série de propriétés propres à cette intersection, et dont voici l'exposé.

1. L'intersection R, fig. 1 ou 1 6t5, fournit une position, en princi j)e, pus près du point réel que f estime, puisque lesquantites de l'espèce RZ sont évidemment plus petites que les quantités de Tespëce ZJL, 11 ne peut se présenter d'exception à cette règle que, (|uand le rayon du

cercle de hauteur est très-petit, ou que, quand le zénith estimé se trouvant en dedans^ fig. 1 bis^ du cercle de hauteur, la position réelle du navire sur ce même cercle tombe en dehors des intersections de celui-ci avec le grand cercle élevé perpendiculairement au milieu de Z,R, — Par ailleurs, lorsque, ayant à sa disposition un deuxième cercle de hauteur, on part (n"* Â2) du point R pour trouver le point de même espèce propre à ce deuxième cercle, la nouvelle intersection est eacore plus rapprochée du point réel, et ainsi de suite. C'est à cette propriété qu'est dû le nom spécial de point rapproché, que nous avons adopté dans les numéros précédents.

IL Avec le procédé Marcq, il n'y a pas à se préoccuper des circonstances favorables au tracé de la droite de hauteur, relatives à Thypothëse d'une erreur sur la hauteur; car tous les moments s'équivalent alors pour observer (n^ 34).

m. L'erreur qui résulte pour l'intersection cherchée d'une erreur sur la hauteur, est toujours moindre pour l'intersection R que pour l'intersection L ou G; autrement dit RR^./Sj.T, est moindi-e queLL^ et GGj (n* 34). Sans compter que chacune des erreurs LL^ et GGj peut devenir considérable au moment des circonstances défavorables au procédé générateur du point L ou G.

IV. Le procédé Marcq fournit toujours une intersection, tandis que dans les deux autres méthodes,^aux environs des circonstances défavorables, le pomt d'intersection L ou G peut ne pas exister, ce qui se traduit par un calcul où le résultat est une imaginaire trigonométrique (n"" 35). En outre, avec l'usage de sécantes (n"" 11) pour droites de hauteur, lesdites intersections L et G exposent (n* 36) à une nouvelle défaillance due à cet usage même.

IV^ 9. Convcniionii sur les diTcrs ordres de petiCeMie de« distanees À eonsidérer. Bemarqae sur la Talidilé des déTeloppemenCs employé». — Nous n'avons fait jusqu'à présent aucune hypothèse sur les ordres de grandeur respectifs des distances de l'espèce Z<Z, ZeR, Z«L, RZ, LZ,. .. , fig. 1 ou 1 bis^ que nous avons considérées. On se ti'ouve ici en présence d'une situation analogue à celles qui se rencontrent à chaque pas en astronomie, où il s'agit de quantités très-petites, qu'on évalue les unes en fonction des autres, en s'arrêtant, dans les développements en série, aux termes soit du premier ordre, soit du second ordre, etc. Mais là on n'établit aucun rapport précis de grandeur entre les termes d'ordres consécutifs; car la nécessité ne s'en fait pas sentir.

Dans le problème actuel, au contraii*e, il est indispensable de

sortir de celte réserve, pour ne laisser dans l'ombre aucun point de la discussion. Suivant cet ordre d'idées, il faut convenir d'appeler quantité Irès-peiUt du premier ordre (*) toute longueur qui, exprimée en fonction du rayon de la sphère, est moindre qu'une fraction limite

déterminée-. Dès loi*s, le carré d*un Irès-pelil du premier ordre

deviendra tin trèi-petii du second ordre. Il en sera de même du produit de deux très petits du premier ordre, etc.

Naturellement une série de quantités très-petites seront du même ordre, de l'ordre p, par exemple, lorsqu'elles se trouveront com-

prises entre ~ exclusivement et -j;^ inclusivement. Enfin, les quantités supérieures à la limite maximum des très-petits du premier ordre formeront la catégorie des quantité finies.

Ceci posé, dans la question que nous avons à étudier nous fixerons le degré d'approximation en prévenant que l'on négligera ou non les très-petits du second ordre, après avoir bien spécifié d'ailleurs, dans

chaque cas à traiter, la limite -7, et par suite celle-, caractéristiques des très-petits du second et du premier ordre.

Dès lors, si Ton néglige, par exemple, les très-petits du second ordre, les arcs de cercle faisant partie des distances à comparer se réduiront à leurs cordes, lorsque ces distances seront des très-petits du premier ordre, et autant toutefois que le rayon du cercle considéré ne se réduira pas à un très-petit du premier ordre, ce qui est exceptionnel. —Par ailleurs, dans les développements en série, en fonction les unes des autres, des variations que ces distances représentent pnr rapport aux éléments^ hauteur, latitude, etc., les termes du second ordre ne seront négligeables qu'autant qu'ils formeront des très-petits du deuxième ordre. Cette dernière remarque provient de ce que, dans notre ordre d'idées, un terme du n* ordre dans un développement n'est pas toujours nécessairement égal à un très-petit du même ordre, bien qu'il le soit en général.

Pour ne laisser dans l'esprit du lecteur aucun doute sur les convenUons précédentes, nous allons les préciser par un exemple nu-

(*) Il ne fam pas confondre ces très-petits avec les infiniment petits de ranalvse infinit<«intle. Ceux-ci, en effet, doWent avoir le double caractère d'être variables cl de tendre 'ttt zéro; tandis que les très-petits que nous considérons sont respectivement fixes de gran-

deur, et doivent être inférieurs h des quantités données - , 1 , etc. ^

i8 POINTS DÉTËRMINATIFS D£ LA DROITE DE HAUTEUR.

mérique. Admettons qu'on regarde 1/2 mille comme la limite sopé-

rieure des très-petits du second ordre. La valeur de cette limite en

211 X 1/2 fonction du rayon sera évidemment : ^-tt — —. Dès lors, la limite ^ 360 X 60

supérieure des très-petits du premier ordre en fonction du rayon ^ /2n X 1/2 ^

A /âicxl/i 360x60 4 /360x60xti ,, .„ . .

\/ :r::: — — X = \/ : = ** milles en nombre rond.

V 360x60 'Èr. \ ^t:

Toute longueur au-dessus de ce dernier cbilTre sera une quarUiU finie.

— A propos de l'ordre d'idées que nous venons de développer, nous ferons une remarque importante sur la validité des développements que nous aurons fréquemment à employer dans la suite. Ces développements dérivent tous du théorème de Taylor, et se rapportent à des équations de la forme y + At/ = /"(x + Ax), de telle sorte que leur type général peut s'écrire ;

du rf*v Aj*

^ dx ^ 4x^ l.i^ Aa*'

Or, quel que soit le nombre n de termes que l'on prenne, et qui ne va guère en navigation au delà de deux qu'exceptionnellement, on sait que, pour avoir la valeur exacte de Ay, il faut ajouter après le n* terme, un reste complèmenlaire qui peut s'exprimer de différentes façons, mais dont la forme la plus pratique est la suivante, due à M. Liouville :

6 étant un nombre positif moindre que Tunité, mais par ailleurs de valeur inconnue.

De leur côté, les coefficients des termes employés doivent être des fonctions continues de x pour les valeurs de cette variable comprises entre la valeur particulière considérée, et cette valeur augmentée de AcT.

Cela dit, on devrait, en principe, avant de se permettre de regarder comme valeur suffisamment exacte de Ay un nombre déterminé des termes du développement général, s'assurer : 1" si les coefficients de ces termes satisfont à la dernière condition ci*dessus; 2* si le reste qu'il convient de considérer, eu égard au dernier terme

POINTS DETËRMINATIFS DE LA DROITE DE HAUTEUR. i9

conservé, est bien de Tordre de petitesse représentant l'approximation adoptée, et, par suite, d'un ordre de petitesse inférieur à celui de ce dernier terme. Mais en fait on ne se livre jamais à cette investigation ; car on suppose toujours que àx est un très-petit du premier ordre ; et alors, du moment que la valeur considérée de la variable indépendante x ne se trouve pas aux environs des valeurs exceptionnelles susceptibles de rendre infinis les coefficients des termes employés, les conditions voulues sont satisfaites.

D'ordinaire, on envisage les choses un peu différemment; on se contente de savoir que, pour àx très-petit, le développement ci-dessus forme toujours une série convergente, tant que la valeur considérée de la variable x se trouve différente des limites que nous venons de mentionner. Dès lors, en s' arrêtant au terme du second ordre, par exemple, il est aisé de voir, en remplaçant la suite des termes négligés par une progression géométrique moins convergente, qu'en principe la somme desdits termes est moindre qu'un terme de cet ordre. Mais notre explication est plus correcte et plus en harmonie avec nos définitions de très-petits de diveiTs ordres. D'ailleurs, pour que le développement général ci-dessus en ^x représente Ay, il ne suffit pas d'établir sa convergence ; il faut en outre démontrer que l'expression générale du reste complémentaire précité tend vers zéro, à mesure que le nombre des termes de la série tend vers l'infini.

Il nous reste encore à faire observer que les divers coefficients

différentiels, tels que -^= ^(a?), renferment souvent, outre la va-

riable indépendante x^ des quantités qui sont fonction implicite de celle-ci; et alors on doit bien comprendre que toute valeur de ces quantités correspond en définitive à une valeur spéciale de x. Gonâdérons, par exemple, le premier élément du développement (16 bis)

du n* 25 de AP en fonction de AL. Ce terme est —^ AL. Or il faut

cosL

bien s'imaginer que Z est une Jonction de la latitude L, qui, pour une même valeur de la hauteur et de la déclinaison, regardées ici comme variables indépendantes de la latitude, relève entièrement de celle-ci. Entre autres, si 2 = 0** ou 180^, cela prouve que pour la hauteur et la déclinaison considérées, Tastre ne peut se trouver que dans le méridien, eu égard à la valeur déterminée de la latitude. Il nous a paru indispensable d'insister sur les divers éclaircissements qui précèdent; car on ne les trouve exprimés dans aucun ouvrage. Or cette lacune contribue à laisser dans l'esprit de bien des

gens, une obscurité plus ou moins complète sur le véritable sens des développements si fréquemment employés dans les sciences appliquées, particulièrement en navigation, et dont on se sert machinalement sans en apprécier la portée. Cependant rien n'est tel dans toute question que d'être nettement édifié sur Fesprit et la signification des choses, ainsi que sur les limites du parti qu'il est véritablemeiiit licite d'en tirer.

W s. fSnr Tordre de petitesse des dlslanees entre les treU peints déterminatlfs de la droite de fianteur. — Revenons maintenant à la discussion concernant la valeur relative des trois points déterminatifs de la droite de hauteur.

Pour que cette droite puisse être acceptée, à un très-petit près du deuxième ordre (n*» 7), comme convenant au relèvement du navire, il faut et il ^fiit évidemment que la position réelle de celui-ci ne soit éloignée du point déterminât! f de ladite droite que d'un trèspetit du premier ordre, sauf toutefois le cas où le rayon du cercle de hauteur est réduit à un très-petit de cet ordre, ainsi que cela a lieu avec de faibles distances zénithales.

Si , à priori , et sans bien peser la chose, on regarde ces diverses quantités comme valant simultanément chacune un très-petit du premier ordre, on est porté à admettre que les droites de hauteur menées par les trois intersections R, L et G, (ig. 1 ou 1 bis, font entre elles des angles de contingence^ c'est-à-dire des angles qui, évalués en arcs de la circonférence de rayon 1, sont des quantités très-petites du premier ordre^ abstraction faite du cas susmentionné où le rayon du cercle de hauteur est- réduit lui-même à une pareille quantité. Dans l'hypothèse en question, les trois droites de hauteur qui nous occupent se fusionneraient en une même direction, aux très-petits près du second ordre pour les écarts entre des points situés sur lesdites droites à des distances du premier ordre des intersections susmentionnées. Dès loi-s, les trois intersections R, L et G, s'équivaudraient comme point déterminatif de la droite de hauteur; et la préférence demeurerait acquise à celle de ces intersections qui dépend du calcul le plus usuel, c'est-à-dire à l'intei-section L, qui repose sur le calcul d'angle horaire.

Cette objection spécieuse n a pas manqué d'être soulevée par les adversaires du procédé Marcq. Mais rien ne dit que les distances des points R et L (ou G) à la véritable position du navire puissent être toujours simultanément des très-petits du même ordre. Et effectivement, chacune des intersections L ou G peut (n* 35), aux environs

des circonstances défavorables concernant son procédé générateur, être écartée de la position réelle du navire d'une quantité très-grande comparée à l'écart propre du point R. Par suite, il faut conclure que les trois droites de hautear relatives aux trois intersections R, L et G, doivent, en principe, être regardées comme ayant trois directions distinctes ; et le choix du point dilerminatif avantageux conserve toute son importance. — On peut dire seulement que l'intersection L (ou G) donnera sensiblement la même droite de hauteur que le point R, chaque fois qu'on se trouvera suffisamment éloigné des circonstances défavorables concernant le procédé générateur de ladite intersection L (ou G). Gela rentre au fond dans la recherche (n"" &&) de l'ensemble des cas où il y a possibilité, aux très-petits près du second ordre, de regarder la variation en longitude comme proportionnelle à la variation en latitude (ou vice versa) , la hauteur de l'astre demeurant constante.

IV** O. Coneliist^iii en iimwenr eu procédé Mavcq peur la reclicrclie asnelle cla palnt déiermiiMitlf de la dreite de haatenr. — En mûrissant la longue discussion que nous venons de développer, tout esprit non prévenu ne saurait s'empêcher de conclure qu'en règle générale c'est avec le procédé Marcq, générateur de l'intersection R| qu'il faudra obtenir le point déterminalif àe la droite de hauteur. Ge n'est qu'exceptionnellement que les intersections L et G seront plus avantageuses, et d'ailleurs dans le seul cas où l'on aura des données sur les erreurs probables de l'estime, et où l'on préférera, en outre, ne pas faire entrer en ligne de compte, dès le début du calcul, ces données pour en déduire un point estimé combiné (n^ 5). Encore, en pareil cas, serait-on obligé, pour fixer son choix, de calculer les trois intersections R, L et G, lorsque lesdites données indiqueront que la position réelle du navire tombe entre R et L (ou G) . Maintenant ira-t-on à la mer se livrer à un tel labeur? Il y a des circonstances graves où, eu égard à la nécessité de s'éclairer le plus possible sur la position du navire, on ne reculera pas devant ce travail; mais ce sera certainement l'exception.

En résumé^ le procédé Marcq semble appelé à prendre- le pas sur toute autre méthode, comme calcul usuel, pour la détermination d'une droite de hauteur.

Hais il ne faut pas se faire illusion sur les difficultés de la lutte contre l'emploi aujourd'hui exclusif de l'intersection L déterminée avec la latitude estimée; car cette détermination est basée sur l'antique calcul

d'angle horaire, qui a pour lui les traditions et l'existence de tables spéciales destinées à faciliter son opération. Cette prévision se trouve encore confirmée si on considère la possibilité que l'on a actuellement de prendre dans de bonnes conditions, pendant la nuit, ou mieux à F un *des deux crépuscules, plusieurs hauteurs méridiennes d'étoiles, auquel cas l'intersection Lse trouve non-seulement le point déterminatifarantageux^ mais même sensiblement le point f^{ lui-même. Cette dernière considération prouve que l'usage de l'intersection L devra être conservé précieusement à côté du procédé Marcq, dans le cas où ce procédé deviendrait la méthode courante pour la détermination de la droite de hauteur. Il demeure bien entendu aussi qu'à la mer, loin des côtes, alors qu'on pourra attendre midi pour fixer sa position, la hauteur prise le matin dans d'aussi bonnes conditions que possible, continuera à être réservée jusqu'à cette heure, pour être introduite dans le calcul habituel de longitude fait avec la latitude méridienne. —Mais si, pour une raison ou pour une autre, on veut utiliser incontinent la hauteur observée, il faut en principe revenir au procédé Marcq, eu égard, nous ne saurions trop le répéter, à la nécessité de se mettre toujours à l'abri de l'erreur considérable sur le point déterminatifde la droite de hauteur, qu'est susceptible de donner, dans certains cas, le procédé par la latitude estimée. Il ne conviendrait pas d'invoquer, comme circonstance atténuante, en faveur de ce dernier procédé, son extrême rapidité d'effectuation ; car cet avantage, si grand qu'il soit à la mer, ne saurait primer l'énorme danger d^une erreur grave sur une droite de hauteur, surtout quand elle représente le lieu géométrique unique dont on puisse disposer. Au surplus, si le procédé Marcq se généralise, il ne manquera pas de se publier des tables pour abréger son opération.

On ne saurait non plus exciper, contre ce procédé, des erreurs de calcul auxquelles il peut exposer, eu égard au peu d'habitude des navigateurs de son eflfectuation. D'abord s'il se répand, cette habitude se prendra. En second lieu, on ne doit pas hésiter dans les atterrissages à faire exécuter les mêmes calculs, même pour les opérations les plus usuelles, par plusieurs personnes à la fois, de façon à prévenir toute erreur.

Il nous reste à dire que, pour se familiariser avec le procédé Marcq, au moins dans une partie de son eiïectuation, il conviendrait dorénavant, dans tous les calculs de longitude, de commencer par déterminer à l'aide du chronomètre, et comme il a été expliqué au n* 1,

l'heure de l'astre par rapport au premier méridien, qui est égale à sa longitude géographique, si celle-ci est Ouest^ ou à son complément à 2V, si elle est Est. On n'aurait plus alors, pour obtenir la longitude du lieu, qu'à combiner avec ladite heure de l'astre l'angle horaire de celui-ci, tel qu il résulte du calcul de l'angle au pôle P. Ainsi, loi^ d'une observation du Soleil, on commencerait par déduire de l'heure du chronomètre, l'heure vraie de Paris; et cette heure vraie se combinerait avec l'heure vraie du bord donnée par le calcul de l'angle. — En un mot, au lieu d'opérer selon la pratique actuelle, avec le Soleil moyen, pour déduire la longitude des différences d'heures de ce Soleil sur le premier méridien et sur le méridien du lieu, il serait opportun d'opérer désormais avec Tastre observé lui-même; ce qui, au fond, n'entraînerait qu'un simple changement dans Tordre des opérations. C'est cette marche qu'on a suivie dans les types de CALCUL N*** h et h bis de la fin du volume.

!'• PARTIE. — S IL Gasd'une seule observation : diverses manières

DE mener la droite DE HAUTEUR PAR LE POINT CHOISI. EXISTENCE ANALYTIQUE DE CINQ DROITES DE HAUTEUR SIMULTANÉES DU NAVIRE.

cie tracer une droite de baiitoiir.

IV^ iO. Kinpl^i d'une tanfenic pour droite de hauteur; a— imilaiieii des droites de baatear À des lomodromies.

— Une fois arrêté le point B, fig. 2, du cercle de hauteur que Ton

Fig.î. relative aux deux manhVos ^ ^^oisi COmmC point dèterminatif dc

la droite de hauteur, on mène par ce point, soit une corde CBD, passant par un deuxième pomt G du cercle, à trèspetite distance du premier; soit une tangente BE à ce cercle. Nous admettrons, d'abord, que Ton peut se borner dans les calculs aux très-petits du premier ordre. En celte hypothèse, la portion de la droite de hauteur s'étendant de part et d'autre de B, aune dislanren'excédant pasl'ordre de grandeur convenu, se confondra avec la portion du cercle de hauteur sur laquellese trouve le navire, sauf lecas exceptionnel (n"" 8 ) où la distance zénithale derastreetparsuitelerayonduditcercle,

24 DIVIiïlSES MAMÊHES DE MENER LA DROITE DE HAUTEUR.

seraient eux-raêuies des très-petits du premier ordre. Elle représentera par suite ud relèvement auquel appartiendra lebâtinaent, touteibis dans un rayon ne s' écartant pas du point B au delà dudit ordœ de grandeur.

Lorsqu'on emploie une tangente comme droite de hauteur, il suffit, pour la mener sur une carte de Mercator, de tracer une droite faisant avec le méridien du point choisi un angle égal à Tangle PBE de la sphère céleste, lequel angle n'est évidemment autre que Tamplitude de l'astre A par rapport au point B, et qui, d'après la propriété fondamentale des cartes en question, s'y projette en véritable grandeur. Il est même plus simple de se servir du parallèle au lieu du n»éridien, et de faire alors avec le parallèle un angle égal à l'azimut lui-même. Ce dernier se déduit parfois de l'azimut relevé au moment de l'observation, et corrigé de la variation ainsi que de la déviation du compas. Mais ce moyen est peu recommandable, à cause de son manque de précision. D'ailleurs, l'azimut qui convient rigoureusement à la question est l'azimut B calculé dans le triangle de position PBA, dûierminé par la distance zénithale BA ainsi que par la latitude et la longitude du point déterminatif B. Dans tous les cas, on peut se servir oies tables azimutales de M. Labrosse ou de M. Perrin, pour accélérer l'opération. Quand le point déterminatif B de la droite de hauteur est de l'espèce L, il y a aussi moyen d'obtenir la valeur de l'azimut à l'aide des procédés indiqués au n" 13.

Dans le cas du procédé Marcq, on peut, afin d'éviter de compliquer le calcul, prendre pour l'azimut voulu la valeur déduite du triangle de position comprenant le zénith estimé, et dont la recherche (n*» i) fait partie du procédé lui-même pour la détermination de l'intersection R qui lui correspond. L'erreur commise ainsi est négligeable; car la différence des deux azimuts est un angle de contingence dans l'ordre d'approximation où nous nous sommes placé. — Toute droite de hauteur envisagée comme tangente au cercle de hauteur et par suite à la courbe de hauteur sur la carte réduite, et considérée dans toute son étendue, représente sur cette carte une loxodromie ayant un angle de roule égal à l'amplitude adoptée. — Dans cet ordre d'idées, le procédé Marcq, avec le mode de calcul approximalif employé pour la recherche finale (n* â)dupoint déterminatif y relatif» correspond, somme toute, au tracé sur la carte d'une loxodromie : 1° perpendiculaire à une première loxodromie menée par le point estimé suivant l'azimut estimé ; 2* passant par le point de rencontre de la courbe de hauteur avec cette première loxodromie.

En tout état de cause, l'emploi de la tangente comme droite de hauteur, est dû à M. Johnson, et ne date que de quelques années. Il est de beaucoup postérieur à l'usage de la sécante imaginé dès 1847 par le capitaine américain Sumner, qui est le véritable inventeur de la droite de hauteur, et Ta proposée en prenant pour point déterminatif l'intersection L correspondant à la latitude estimée.

IV^ ii. Emploi d'une séranic pour droite de hanienr.

— Le système delà sécante ne s'associe pas d'une manière naturelle au procédé Marcq. Néanmoins ce qui suit est applicable à ce procédé (bien qu'on n'en use jamais), sous la condition qu'on ne considère comme variant qu'une des deux données de l'estime, de préférence la latitude, pour la facilité du calcul à recommencer, eu égard aux formules relatives à ce procédé (n^ 4) .

Avec cette réserve, on peut poser en principe que, quelle que soit celle des trois intersections L, G ou R, choisie, pour point déterminatif, il suflTit, pour trouver le deuxième point de la corde cherchée, de faire varier la latitude ou la longitude estimée, qui a servi à déterminer ladite intersection, d'une quantité de la grandeur des très-petits du premier ordre, et de déduire de l'élément varié la nouvelle intersection y relative. De cette façon, on est certain de ne pas avoir une corde dont la deuxième extrémité pourrait se trouver à une distance de la position réelle du navire telle, que l'écart entre cette corde et son arc excéderait le degré d'approximation convenu.

— Par ailleurs, pour faciliter le tracé sur la carte, on substitue au deuxième point de sécance très-rapproché du premier ainsi calculé, un autre point de la droite beaucoup plus éloigné. On obtient ce nouveau point en multipliant par un même nombre entier arbitraire, la variation de l'élément déterminatif et celle de l'élément calculé lui correspondant. Par exemple, si le deuxième point de sécance a été déterminé à l'aide d'une variation en latitude de 1 minute et du changement en longitude correspondant, on multipliera cette varialion et ce changement par les nombres 10, 20, ..., suivant que l'échelle de la carte est moins ou plus petite. Toutefois, on commet de ce chef une nouvelle erreur d'un très-petit du deuxième ordre suri' alignement du navire; car, pour opérer avec rigueur, il faudrait, dans la multiplication du changement en longitude, substituer auxdits nombres les rapports des variations en latitude croissante pour 10,20 minutes, etc., à la variation en latitude croissante pour 1 minute à compter du premier point de la corde. Au surplus, il est rationnel, afin d'éviter toute partie proportionnelle, de prendre

pour réiément déterminatif un nombre rond, et de faire sa variation égale à un multiple de la différence tabulaire des angles.

Au lieu de recommencer complètement la deuxième opération, on a adopté, depuis longtemps déjà, le mode (n* 12) proposé par M. Pagel dans sa Méthode complète (n*^ 43) pour déterminer le point par deux hauteurs. Ce mode, on le sait, consiste à inscrire, à la place des deuxièmes logarithmes, les différences des premiers logarithmes qui résultent de la variation de l'élément déterminatif. Lorsque cet élément est la latitude estimée, et que dès lors T élément inconnu est la longitude, et que le calcul fondamental du problème est l'angle horaire, on évite toute partie proportionnelle, dans l'un ou l'autre mode d'opérer, en prenant pour variation dudit élément le double ou plus généralement un nombre pair de fois la différence tabulaire des angles. — Les deux modes de calcul donneraient le même résultat si l'on prenait, dans le cas du mode Pagel, pour différence logarithmique du cosinus de la latitude, la somme des deux différences afférentes dans la tableaux deux différences tabulaires successives. Mais, d'habitude, on se contente d'y doubler la différence logarithmique correspondant à la différence tabulaire des angles adjacents à la latitude considérée.

M* 19. Mode Pa^el pour calciiler la Tariatlon de l*he«re en fonctioiiL de la Tarlatlon de la latitude : eoeneieat Paf^el. — Comme ce mode jouit d'une grande vogue, nous allons en rappeler le développement. Ayons présente à l'esprit la formule usuelle d'angle horaire rappelée au n* 2.

Désignons par :

fi' la différence logarithmique de cos L ;

d"y d'" et d les différences logarihmiques de cos S, sin(S — H) et sin - P;

8 la différence tubulaire des angles.

On a évidemment, en considérant arithmétiquement les difféi'entes

quantités qui vont suivre: j- ! x 5, pour la variation de r

en secondes de degré, relative à une différence 25 sur la latitude, et

-r^ X TT pour cette même variation en secondes de temps.

a lo

D'ordinaire, on substitue à la précédente variation celle cori-espon-

dant à la différence de + 1' sur la latitude, en se bornant à multiplier

HO" la fraction ci-dessus par -^. On obtient ainsi :

DIVERSES MANIÈRES DE MENER LA DROITE DE HAUTEUR. n

Cette expression est tout à fait générale, et indépendante de la table de logarithmes employée. Prise avec lk signe de son résultat si on a observé dans TOuest, ou avec le signe contraire si on a observé dans Y Est, elle procure la variation en secondes de l'heure du lieu, en temps de l astre y pour une variation de + 1' de la latitude. On lui donne le nom de coefficient PageU et on la désigne par la lettre '^^^^. — Dès lors, la variation cberchée.en longitude g^ correspondant à ladite variation de + 1' sur la latitude, vaut, eu égard aux conventions de signe de la

légende page 1 pour les changements en longitude : — 15 -~ = -r-

en minutes de degré. Ceci donne pour g^ obtenu au moyen des différences logarithmiques :

^1 = 3-T , avec obsenation dans l'Ouest;

2d' — d"+d"' ^i = H — r , avec obserration dans TEst.

Comme les différences secondes Icfgarithmiques ne sont pas nulles pour cos L, il suit des explications de la fin du numéro précédent que, pour le changement en longitude nécessaire à la détermination du second point d'une sécante de hauteur caractérisée par un point déterminatif de l'espèce L, le mode Pagel et le mode correspondant au calcul d'angle horaire recommencé donnent lieu à deux résultats un peu différents. Toutefois, cet écart rentre largement dans les trèspetits du second ordre. — Mais il n'en serait plus de même si l'on calculait ib'^ ^i'^ directement par la formule approchée du n* 13 ; oO a

l'écart dont il s'agit pourrait alors, dans de certaines conditions, atteindre des valeurs relativement élevées.

Quoi qu'il en soit, pour opérer avec une parfaite méthode, il faudrait voir si la somme de ce nouvel écart, de l'erreur mentionnée au n' H due au tracé de la droite de hauteur par sécante, et enfin de la divergence entre cette droite et le véritable lieu géométrique du navire, ne dépasse pas la limite supérieure adoptée comme caractéristique des très-petits du second ordre. Mais cette appréciation rétrospective n'est guère de mise dans les applications.

^"^ IS. Calcul de l'axlmai par le eoeraeleni Pafpei, et ^e ver9Û. Antre déterminailoD directe de ce coefll- Hcat s teMcfl de M. Perrin. — A propos du coefficient Pagel, il est bon de rappeler qu'on peut l'utiliser pour déterminer l'azimut,.

n DIVERSES MANIÈRES DE XEXER LA DROITE DE HAUTEUR.

quand 00 en aura besoin soit pour un calcul de Tariation, soit pour le tracé d'une droite de hauteur d'après la méthode d'une tangente menée par le point déterminatifL (n* 10). Le développement (16 (ii) du n"" 25, de AP en fonction de AL, étant limité à son premier terme,

donne AP = S2ÎE1 aL. Si on fait AL=^ l', AP devient égal à 15 J,

COS L» Ov

d'après le n^ 12; et on a :

colg Z ^ 15 — J COS L = — i C05 L.

Cette expression de cotg Z est entachée non-seulement des erreurs dues aux termes négligés du développement, mais aussi du fait que

l'égalité AP= 15 rjr = -r ^'^^ P^ rigoureuse^ eu égard, comme

DU à

nous en avons prévenu au n* 12, à ce que les différences secondes logarithmiques ne sont pas nulles pour cos L. Mais cela a peu d'importance, vu l'approximation dont on peut en général se contenter pour Z. Cependant, aux environs du méridien, la formule cesse d'être applicable, ainsi que cela résulte du n^ A4.

Quand on connaît l'azimut, soit par un relèvement, soit par sa détermination rapide en fonction de l'heure du lieu, delà déclinaison et de la latitude d'après les tables de M. Labrosse, on peut, en renversant l'équation ci-dessus, se servir de cet élément pour obtenir

directement 15-—^ = ^ , soit le coefficient Pagel en minutes de

degré, ou — g^. On a en effet alore :

cotjîZ

Mais cette méthode ne fournit en somme qu'une valeur approximative de — g,, et ne saurait en général être recommandée, surtout quand le second terme du développement susmentionné atteint une certaine valeur, ce qui a lieu dès que l'observation se rapproche du méridien.

— Comparant la formule ci-dessus à la relation ci-après tirée du triangle de position :

IgDrosL = cotpZ sinP + sinLcosP;

et éliminant cotgZ entre ces deux équations, M. Perrin a trouvé :

^^""sinP tgP*

Il a construit d'après cette formule des TABLES (*) appelées à rendre

(*) Noi VELLES TABLES dcstinécs k abnfger les calculs nautiques, par E. Perrin. — Pa"s, Arthus Bertrand, éditeur.

de grands services aux navigateurs pour la solution d'une foule de questions, et en particulier de celle qui précède. Le principal avantage de ces tables consiste surtout en ce que leur emploi n'est pas limité aux observations du Soleil. La déclinaison et la latitude y variant de (V» à 70**, elles s'appliquent à tous les lieux où Ton est appelé à naviguer, à la Lune, aux planètes, ainsi qu'aux étoiles de première ou de deuxième grandeur que Ton peut observer à la mer. Nous écrirons la relation de M. Perrin sous la forme : — yi = p' + p" = ;), pour la mettre en harmonie avec les notations employées par Tau-

te D leur. Le premier terme p' = -P-^ est donné avec le signe qui lui

convient, par la table I, dans laquelle on entre avec la déclinaison D

te L et l'angle au pôle P. Le second terme p" = — p-g est donné avec

son signe, par la table II, dans laquelle on entre avec la latitude L et le même angle au pôle P, La somme algébrique (p' + p") donne le coefficient Pagel p = — y^, exprimé en minutes de degrés et avec le signe qui lui convient pour l'appliquer à l'heure. Il suffit d'en changer le sipe pour l'appliquer à la longitude, en ayant d'ailleurs égard aux conventions de la légende page 1, pour le signe de ce dernier élément.

Connaissant p, on peut ensuite calculer rapidement l'azimut au moyen de la table III de M. Perrin, dans laquelle on entre avec la latitude L et la somme algébrique (p + p") = p. En faisant cadrer ces deux arguments, on obtient l'azimut vrai de l'astre, qui est toujours donné plus petit que 90% et que l'on énonce d'après la règle inscrite au haut de chaque page de la table.

—Il est bon de remarquer à ce sujet que l'azimut calculé par ce procédéest toujours rigoureusement exact, puisqu'il résulte de la formule :

. ^ , /tgD tgL\

cote Z = cos L I -: — r 1,

. ^ \sin P tg P/

dont les TABLES de M. Perrin fournissent successivement les différentes parties.— Mais lecoeflricientPagel,—gr,=p, déduit de ces tables, tfest suffisamment exact, comme plus haut, qu'autant que le second terme du développement susrappelé (I6615) du n* 25 est négligeable (*).

(•) Par une transformation du mt^inc genre que ccHc en colg Z, M. Perrin a ramené la recherche de l'angle de route pour la navigation au grand cercle à un calcul analogue h celui de l'azimut. Si Ton appeUe en effet V l'angle de roule, L la latitude de départ, V telle d'arrivée et P la différence des longitudes, le triangle sphérique formé par le pôle, les lieux de départ et d'arrivée, donne la relation :

tg V cos L = cotg V sin P + sin L cos P ;

-)(- IV* 14. Becherciie «naljilqae de i««ie« les droites de luiiitewr «ImwltaMéefl d« MiiTire. — Dans ce qui précède, nous avons familiarisé le lecteur avec la considération des droites de hauteur à un point de vue exclusivement géométrique. Mais pour donner à cette considération la généralité qu elle comporte, il convient de rechercher maintenant la génération analytique de toutes les droites de hauteur simultanées du navire. A cet effet, en bien nous souvenant des conventions de la légende générale de la*page 1 pour les signes des éléments à considérer, nous partirons de la relation fondamentale du triangle de position rappelée au n* 1 :

(I bis) sin H = sin L sin D + cos L cos D cos (Ga — G).

Remarquons d'abord que si dans cette équation, on regarde Let G comme deux variables indépendantes reliées entre elles par les valeurs connues H, D et G„, nous nous trouverons en face d'un lieu géométrique du navire, qui ne sera autre que son cercle de hauteur.

Par ailleurs, on se trouve ici en présence de cinq éléments : la latitude L du navire et sa longitude G, la hauteur H de l'astre, sa déclinaison D et enfin sa longitude géographique G„. Or, on connaît pour chacun de ces éléments une valeur directe v qui est donnée par Ye$iime pour L et G, par l'observation pour H, et par l'heure du premier méridien pour D et Ga. On est libre de prendre l'un quelconque de ces cinq éléments pour ce que nous appellerons Yélèment de comparaison. Oo peut déduire alors de l'équation (1 6w), pour cet élément, une valeur calculée r^ à l'aide des valeurs directes des quatre autres éléments.

Si la valeur calculée v^ de l'élément de comparaison se trouvait égale à sa valeur directe v, cela prouverait que le point estimé fait partie du véritable cercle de hauteur du navire. Mais il n'en est pour ainsi dire jamais ainsi. Ou peut alors se proposer, dans l'équation (1 bis), disposée pour donner la valeur calculée r^ d'aug-

d'où l'on tire :

cote \ = cos L I -^ — — I .

^ Uin P tg ?J

La partie de cette relation comprise enti'c parenthèses est analogue à celle que nous avons obtenue pour Tazimut. Les deux termes dont elle se compose, se calculeront donc au moyen des tables I et II, en entrant dans la première avec la latitude d'arrivée considérée commo déclinaison et la diflférence en longitude comme angle au pdle, et dans la seconde avec U latitude de départ comme latitude du navire et le mfmc angle au pôle. Les règles de signes propres ^ ce problème sont inscrites au haut des pages de chaque table, à l'opposé de^ règles spéciales au problème que nous venons d'expliquer dans le texte. — En entrant ensuite dans la table III avec la somme algébrique des deux termes ainsi obtenus et la latitude de départ, on trouve l'angle de route, que l'on énonce d'après la règle donnée au haut de U page, à Topposé de ceUe concernant l'azimut.

menter L« et Ge de deux quantités variables AL« et AG« choisies de façon que l'élément de comparaison reprenne sa valeur directe, ou mieux que t?, augmente de (t? — v^) . Nous aurons ainsi une nouvelle équation qui ne sera évidemment autre que celle du cercle de hauteur du navire écrite sous une foime différente de la première. Au surplus, eu égard au faible écart habituel entie le point exact et le point estimé, les éléments ALe, AGe et (v— tj seront en général des quantités très-petites.

— L'élément de comparaison qui se présente le plus naturellement est la hauteur; mais, toute réflexion faite, il n'y a pas de raison analytique qui l'impose à l'exclusion des autres. Nous les considérerons tous successivement.

En tout état de cause, au lieu géométrique rigoureux que représente notre nouvelle équation, on peut en substituer un plus simple €t suffisamment approché. A cet effet, développons, par la série de Taylor, tous les termes qui contiennent AL«, AG^ et (v — tj, en nous bornant aux termes du premier ordre. Nous obtiendrons de la sorte, €ntre ALe, AGe et (o — t?J, une équation du premier degré, où cette dernière quantité devra être regardée comme une constante. On simplifiera d'ailleurs cette équation en la combinant tant avec- l'équation (I bis), disposée comme il a été dit plus haut, qu'avec d'autres relations tirées du triangle de position.

Considérons maintenant le plan tangent à la sphère terrestre mené par la position estimée du navire; et traçons dans ce plan et par •cette position deux axes rectangulaires, dont l'un sera une tangente au méridien de ladite position, et Tautre une tangente à son parallèle. Les termes ALe et AG^ cos Le pourront être regaidés comme des coordonnées courantes y et x par rapport aux axes adoptés, les x positifs étant du reste comptés du côté de Y Ouest et les y positifs du côté du Nord. — L'équation susmentionnée appartiendra alors à une droite qui représentera, aux très-petits près du second ordre, un lieu géoaiétrique rectiligne du navire, dérivant d'une manière immédiate du cercle de hauteur de l'astre. En un mot, ce sera l'équation d'une droite de hauteur.

■^ IV* 15. ÉSqvaUoii» des cinq droite» de hauteur «1mvltaiiéefl da navire. — En choisissant pour élément de comparaison successivement chacun des cinq éléments mentionnés au numéro précédent, nous obtiendrons cinq droites de hauteur différentes que nous allons examiner rapidement.

l*" Prenons pour Télément de comparaison la longitude du navire. Nous aurons (0, — GJ pour la différence {v — v^) entre la valeur directe G« et la valeur calculée G^ déduite de la formule logarithmique de l'angle horaire (n** 2) , à l'aide des valeui-s directes des quatre autres éléments, et satisfaisant par suite à l'équation (1 bis) alimentée avec ces mêmes éléments.

Dès lors, et eu égard à la prescription générale qui précède, nous obtiendrons les deux relations :

sin H = sin Le sin D + cos U cos D cos (Ga — G|)

sinH = sin(Lc + ALf)8inD + cos(U + ALe)cosDcos[(G« — G,)— AGe — (G* — G,f.

Puis, en développant jusqu'au premier ordre les termes delà deuxième équation, et en combinant le résultat avec la première équation, nous trouverons :

[tg D cos Le — sin U cos (Ga — Ge)] A Le 4- cos Le sin (Ga — Ge) [A G< + (Ge - G,)j = 0.

Mais le triangle de position PZ^A, correspondant au zénith estimé, donne :

tg D cosLe = cotgZe sin (Ga — Ge) + sin Le cos(Ga - Ge).

En éliminant tgOcosL^ entre cette équation et la précédente, il vient :