SB S
(u — v) tgP — tgP'
(35) IZ—^a: ^^ J" «inL^cotL tia/p-^l
Posons pour simplifier :
(36) a=(Ji±5; (37) <, ^tlZ!^^.
2cos— Sun r
(t«P+tgD') 8in(D4-D0 7"*^ — 5 •
3C08r- SCOS-COIDCOSP'
Ssin— Stin-cosPcosD'
Les expressions (SA) et (8&) deviendront alors :
DÉTERMINATION DU POINT OBSERVÉ. iii
(40) (a — dsiiiL)s=co8Lcos(P — — l
(41) (a'-b'MiiL)=-.co8L8m(p-^V
Élevant au eanré ces deux dernières équations, et ajoutant les résultats, on trouve :
(a — ôsmL)« + (a' — ô'8iiiL)« = costL «= i--sm*L.
D'où, en développant :
(i + 6* + y«)siiitL— «(a6 + û'ô')8inL = (l— a«-a'«);
soit *
sib'L — *■ X sinL ^ ^ \
Posons enfin :
Il viendra :
sin^L — 8Q X sin L — 9 s 0.
D'où on tire évidemment :
(44) smL = Q:fc ^QM^»
équation qui se dédouble dans les deux suivantes :
8inLi = a + V^^TJ, 8inL,« Q-v^Û« + j.
D'après la condition expresse, qui résulte des conventions de signes de la légende page 1, de regarder toujours la latitude comme poràttf, et de déduire de son nom comparé à celui des décliniûsons les signes de celles-ci, il faut, dans le problème qui nous occupe, commencer par fixer, dès le début, le nom de la latUtAde d'après l'estime. — Donc, en principe, la solution à choisir correspondra à une valeur positive de sin L. Lorsque les deux solutions satisfont à cette condition, on prendra celle qui se rapprochera le plus de l'estime. Si de plus, en pareil cas, ces solutions sont peu différentes entre elles, il faudra avoir égard, pour fixer son choix, aux présomptions de l'influence des courants et des erreurs de loch et de route sur la position du navire. — Lorsque des deux solutions il y en a une de négative, le choix à faire n'est pas douteux, à
moins qu od ne se trouve aux environs de Téquateur; car alors le nom de la latitude prise comme point de départ du calcul est susceptible d'être faux. En semblable occurrence, on peut être conduit à prendre la valeur négative en changeant alors le nom de la latitude. Si de plus les deux valeurs sont alors peu différentes entre elles, on agira comme plus haut. — Enfin, si, par hasard, les deux solutions étaient négatives^ cela prouverait qu'on s'est trompé au début da calcul sur le nom de la latitude. Une pareille circonstance ne peut évidemment se présenter qu'aux environs de l'équateur ; et ce qui précède indique comment on devra alors procéder.
— En tout état de cause, une fois la latitude fixie^ on déterminera P par la formule :
qu'on obtient en divisant (41) par (AO).
Puis avec P, on calculera par les moyens connus l'heure de l'astre considéré sur le méridien. Enfin la comparaison de cette heure avec l'heure de Paris déduite du chronomètre, fournira la longitude.
— Dans le cas où la déclinaison D est la même, ou à très-peu près, pour les deux observations, les formules générales précédentes deviennent les suivantes, abstraction faite des relations intermédiaires :
{30 bis)
sin H """cosD'
(31 bis)
sin H'
(36 bis)
(37 bis)
acos-
^sin|
i3Sbis)
cos-
(39 bis)
(48 bis)
(43 bis)
(l+at + a*») ^ (1 + 6») '
(44 bis)
sinL =
Çtàz)/Qt^ç
— On trouvera à la fin du texte, aux deux types de calcul n^ 6 et 6, des applications de la méthode que nous venons de dévelop* per : l'un de ces types concerne le cas de deux astres quelconques; le second se rapporte à deux observations du Soleil.
1" PARTIE. — § VU. Cas de deux observations : circonstances
iH'' d4. ClAMifleaU^ii à divers p^lnis die vve des clrconffiaiiees favorables à la déterminatlaB d« point •iMierTé. — Les circonstances favorables dont il s'agit doivent être classées à cinq points de vue distincts, à savoir :
1* Au point de vue de l'influence des erreurs d'observation sur l'intersection rigoureuse des cercles de hauteur ;
2' Au point de vue des erreurs de l'estime dans l'intervalle des deux observations ;
3» Au point de vue des erreurs dues à la substitution des droites de hauteur aux cercles de hauteur, substitution qui existe txplkite' ment dans les méthodes graphiques, et implicitement dans les méthodes par le calcul ;
A*" Au point de vue de l'influence des erreurs tant des hauteurs que du point estimé sur les positions des points déterminatifs des droites de hauteur, et sur la détermination de ces droites elles-mêmes ;
5* Au point de vue des erreurs provenant, avec l'usage des sécantes pour droites de hauteur, de Terreur même des procédés employés pour trouver par le calcul rintersection de ces sécantes;
6' Au point de vue du degré d'approximation des calculs, point de vue dont l'objet a été mis en évidence au n* 33, et corroboré en même temps que le point de vue qui concerne l'abréviation du problème considéré lui-même, par les remarques générales terminant ledit numéro, et auxquelles on ne saurait trop se reporter.
Au .surplus, ainsi qu'à ce même numéro, il n'existe pas ici de circonstances favorables concernant les erreurs afférentes aux chronomètres eux-mêmes.
— D'autre part, les deux premiers points de vue conviennent aussi bien à la détermination rigoureuse du point observé, c'est-àdire à sa détermination par la résolution du quadrilatère spliérique (n* 38), qu'à la détermination approximative dudit point.
V 6s. Clreonstenees favorables à la détermliiattoB ta point observé, ev é^ard aux errear* d'observation. — Remarquons d'abord que les erreurs d'observation, tout en portant principalement sur les hauteurs, comprennent aussi les
erreurs sui* l'appréciation de rintervalle entre les deux moments où ou a pris celles-ci.
Gela compris, considérons la formule générale (1) du n» 1, appliquée aux deux observations faites, celles-ci étant d'ailleurs supposées ramenées au même horizon. Nous aurons de la sorte :
sinH = ftisLsinD + cosLcosDcosP, siiiU'=s siaLsinD'-f co»Lco»D'co8p'.
Diflérentions ces équations par rapport à L, P, H et H'; et substituons ensmte aux dififérentielles des différences. Nous nous rap« pellerons d'ailleurs (n* 88) que :
P = (Grt-G);
P'=(G'«— C)=(Gfl + ï-G), ou (0„-hJ\'a~JlVi + l-G},
suivant qu'on a observa un mémo astre ou deux astres différents.
On a d'abord :
AP= — AG; AP'=tAI— AC.
Puis, en tenant compte, après les différentiations, des relations de
