r . r. t X r/ . n , . I ,. ^ cos H sin P

1 espèce tg D cos L = cotg Z sm P + sm L cos P, et =- = -:— ^,

'^ ^ cos D sin L

déduites des deux triangles de position, il viendra :

AH = rosLsinZxAG + eosZxAL, AH'= posLsinZ'x(AG — AI)+ros7/xAL.

11 est intéressant de remarquer que ces deux relations rentrent dans l'équation (U) du n* 15, en y faisant (H — H,) = AH. Ce résultat s'explique naturellement en remarquant que la série de relations invoquées est identiquement la même dans les deux cas; il n'y a que les points de vue auxquels on s'est placé qui diffèrent. On pourrait d'ailleurs établir géométriquement lesdites relations en éuivant la marche indiquée au n"" &2 pour les formules qui y sont démontrées. — En tout état de cause, ces relations sont générales sous la seule réserve de donner à leui*s éléments les signes conventionnels de la légende page 1. Par ailleurs, on y substitue ai libilum à Terreur en longitude AG, Terreur en chemin e.o : Ak = AGcosL On a alors:

siuZ'xAH— sinZxAH' eosL sinZ ainZ'xAl

^ ' " siu(Z'-Z) 8iu(Z'-Z)

..„, ^^ , ^ co!^Z'xAH— cosZXAH' . cos L tos Z sin Z' x Al

' sin(Z'--Z) ^ .sin(Z'— Z)

D'après ces équations* il est manifeste qu'on se trouve dans des

circonstances favorables à Fatténuation de l'influence des erreurs de H, H' et I sur le point observé, quand (ï — Z) = 90*, c'est-à-dire quand les deux hauteurs ont été prises dans deux verticaux à angle droit. — Toutefois, ces circonstances favorables n'ont pas ici un caractère absolu, comme celles, par exemple, qui concernent le calcul d'angle horaire. Car, suivant les valeurs particulières de Z et de Z', et les signes respectiis des erreurs, il peut y avoir d'autres moments où ladite atténuation se présente dans des conditions non moins avantageuses.

—Si l'on tenait compte des termes du second ordre dans les développements ci-dessus, on trouverait comme nouvelle circonstance favorable que les deux hauteurs observées doivent être égales à 0**. Ces deux conditions se traduisent en une seule, à savoir : le triangle formé par les deux distances zénithales observées et par le grand cercle qui joint les deux astres doit être un triangle spMrique tri^rectangle.

11 y a au surplus une grande importance à ce que chacune des distances zénithales ne soit pas trop petite. Sans cela, les points d'intersection des deux cercles sont trës-rapprochés; et on se trouve, comme nous l'avons déjà dit au n* &1, en présence de deux solutions dont la véritable demeure en général indéterminée.

— On peut arriver par de simples considérations géométriques aux résultats précédents, abstraction faite des erreurs sur l'intervalle I, erreurs qui sont en principe négligeables , ou que tout simplement on peut regarder comme comprises dans les erreurs sur les hauteurs.

Soient ZB et ZB', fig. 18, les deux cercles de hauteur dont Tin-

Fig. 18, relative aux circon- ^ersectiou Z est la posiuon rigoureusc du

stances favorables à la déter- navire. Si uous supposous dcs errcurs tant

mination du point observe. .. » ^. i • .

positives que négatives sur les hauteurs, nous obtiendronspour chaque observation deux cercles de hauteur erronés N6 , N'p d'une part , et Nfi', ^'b' d'autre part» Les rencontres des deux paires de cercles erronés, donnent naissance à un parallélogramme curviligne uNn'N', dont les sommets représentent les positions limites erronées du navire. La plus grande dislance, telle que 2n, de rinteî*section Z à ces quatre sommets * figure l'erreur maximum sur le point observé. Il est dès lors manifeste que les circonstances favorables auront lieu quand cette eireur sera aussi

iiO CIRCONSTANCES FAVORABLES LORS DE DEUX OBSERVATIONS.

restreinte que possible pour de mêmes erreurs sur les hauteurs, c'està-dire pour de mêmes écarts respectifs entre les cercles de hauteur erronés. Or, ceci a lieu quand le parallélogramme nNn'N' tend vers un rectangle, et que, par suite, l'angle de ses diagonales devient droit; en d'autres termes, quand les deux cercles de hauteur et conséquemment les deux verticaux des astres se coupent rectangulairemeot.

D'autre part, toutes choses égales d'ailleurs, la plus grande distance du point central Z dudit parallélogramme à ses sommets, c'est-à-dire le maximum d'erreur sur le point observé résultant d'erreurs données sur les hauteurs, augmente de longueur avec la courbure des côtés, de sorte que, sous ce rapport, il y a avantage à ce que les rayons des cercles de hauteur, c'est-à-dire les distances zénithales se rapprochent de OO"". Nous retombons donc bien dans la condition susénoncée d'un triangle sphérique tri*rectangle.

— Ce qu'il importe aussi de considérer, à côté de Terreur en latitude et en longitude, c'est la valeur de distance même dont nous venons de parler entre le point observé et le point réel. Nous allons donc calculer quelle est cette valeur pour des limites fixées d'erreur sur les hauteurs. D'après ce qui est dit quelques lignes plus haut, nous ferons abstraction des erreurs sm* l'intervalle L — ^On a évidemment :

nZ, fig. 18, l'cprésentaDt la distance entre le )>oint Z et le sommet le plus éloigné d» parallélogramme N/iN'n'«

En remplaçant AL et Aë par leurs expressions (A6)et (A7) , il vient :

VAH«-f AH'*-|-2AllxAH'xc,os(Z' — Z)

;iZ = ^

sin^Z' — Z)

Cette relation peut également s'établir par la géométrie; carie triangle Zpti donne :

nZ' =p? + P*** — ^^ X pn cos tipï. ; soit:

^^Z*=pZ'-^;)n* + îipZxiJncos(Z' — Z).

Or, on a évidemment : pZ = . „, — 77; de même pn

sin (Z' — Z) ' ^ sin (Z' — Z)

On trouve donc comme plus haut :

^AH«H-AH'^-i-gAHxAH^Xro8(Z— Z)

^"^' sin(Z'~Z)

CIRCONSTANCES FAVORABLES LORS DE DEUX OBSERVATIONS. ii7

Cette relation montre que, pour i-endre ni minimum, il faut prendre (Z'— Z) = 90\ Si Ton suppose :

AH=AH'=r.

on trouve que, pour (Z'— Z) = 90" :

pour(Z'— Z)=00<':

eDfiD,j)our (Z'— Z) =r30<»;

En résumé, on doit, autant que possible, prendre (Z' — Z) supérieur à 45% qui correspond à nZ = 2',6, pour une erreur de M sur chaque haatear.

IV* é«. €)or«ll«lre da n* 55 : Rèirl« importimte po«r apprécier, ««iTiMit les clrcenstMiees des oliserTAtleiis, le déféré de eenfluiice à neeorder d'aue pari à 1» la- Utade, d'awtre part à la lonirUnde, rearnles par «m ••leal d« point obserTé. — Pour tirer tout le parti possible des équations (46) et (47), abstraction faite de AI d'après les motifs donnés au numéro précédent, il faut prendre en considération le pltw petit SINUS (ou cosinus) azimutal, qui ne doit pas, en général, être confondu avec le sinus (ou cosinus) du plus petit azimut.— Soit, par exemple, sin Z (ou cosZ), ce plus petit sinus (ou co.sinuji) azimutal. Comme on a évidemment :

lesdiles équations peuvent s'écrire :

AL = cosZxAH-f . "'"^ ^, [cos(Z'-Z)xAH~AH'l; siu(Z'— Z) L ' ' J

Ae = sinZxAH -£^i rcos(7/— Z)XAH-AH'1.

sm(Z'— Z) L ^ ' j

Ces deux nouvelles relations montrent que les erreurs AL et Ae seront, en principe, de même ordre de grandeur que AH et AH', tant

que les valeurs absolues de -: — yrr, — tt: et de -t—t^, ^ s'écarte-

sm (Z — Z) sm(Z — Z)

rom peu de l'unité. On arrive ainsi à la règle importante suivante,

due à M. Crévost :

Pour que la position du navire en latitude {ou en longitude) soit déterminée avec une approximation acceptable^ il faut et il suffit que^ en valeur absolue, le sinus de la différence azimut ale soit supérieur au PLUS PETIT SINUS {ou cosiNUs) AZiMiiTAL, OU au moins en diffère très-peu.

Nous verrons plus tard (n** (50 à 62) tout le profit qu'on peut tirer de cette règle, aussi élégante que simple, dans l'appréciation de la valeur des méthodes proposées pour déterminer la position du navire, par deux observations faites en dehors des conditions habituelles.

M"" sy. €)li*ceii0taiice« faToruMes à 1» déterminall^M «la point observé, o« éfford mil ori*o«r0 de l*esilBie dons rinterirolle des obserirottons. — Que l'on tienne compte du changement de zénith en introduisant dans les formules les changements en latitude et en longitude, ou en ramenant l'une des hauteurs à l'horizon de l'autre, l'influence des erreurs de l'estime sera évidemment la même dans l'un et l'autre cas. Or, dans le second cas, lesdites erreurs se traduisent par une erreur sur la hauteur dont on change l'horizon. Les circonstances favorables.qui nous occupent rentrent donc dans les précédentes. — Seulement, elles exigent en plus que l'intervalle des deux observations ne soit pas trop étendu, puisque les erreurs de l'estime croissent avec cet intervalle. Les erreurs de l'estime dans l'intervalle des observations ont une influence beaucoup plus considérable qu'on ne pourrait le supposer tout d'abord. On vient de voir que ces erreurs se traduisent par une erreur sur la hauteur dont on change l'horizon* Or la formule du n» 39 est :

AH = HCOSb). •

Différentions cette équation par rapport à AH, u et <i>; puis substituons aux différentielles des différences. Nous aurons :

A ( AH) = An cos ci> — M sia (I) Ail).

Comme on ne connaît pas dans quel sens se produit l'erreur sur la route, autrement dit le signe de Am, il faut évidemment, pour avoir une valeur maximum de l'erreur cherchée, écrire la relation précédente sous la forme :

A (AH) r= Am CCS (û 4- M sin (i> A(o.

Supposons, ce qui est généralement licite, que les erreurs sur les résultats du loch soient proportionnelles à la vitesse du navire, et que le courant, s'il y en a, demeure sensiblement constant en rapidité et en direction. Dès lors Am sera proportionnel au chemin par-

couruM; etonpouiTaposerAM=-. De son côté, Terreur Aw provenant de TaDgle de route correspondra à un certain nombre constant de degrés r*; et à la différence d'arc Aw, on sera en droit de substituer sin f*. Nous aurons ainsi en définitive :

A (AH) c= - cos co + M sin <û sin »*.

Cette formule, soit dit en passant, peut se trouver aisément par la géométrie.

Quoi qu'il en soit, supposons, par exemple, qu'on estime la vitesse

à — près = - ; et Tangle de route à 3^ près = r^. Si l'on a w = 50*

et M =: 30 miUes, on trouvera :

A(AH)= -- X cos50- + 30xsin50o8in3«=0S96 + lM9=2',15.

Ainsi, l'erreur sur une hauteur ramenée à un autre zénith peut s'élever à 2',16, en admettant que les erreurs de vitesse et de direction se soient tenues dans les limites données, lesquelles seront rarement dépassées en pratique.

Appelons maintenant :

2e=A(AH) l'erreur sur la première hauteur due à restiiiie;

E l'erreur maximum sur le point observé, provenant des erreurs propres sur les

hauteurs et des errenrs de Tesiime.

On aura, d'après la formule en nZ de la fin du n' 65 :

• V/(AH4-S£)" + AH-» + a(AH-f2e)AH^Xcos(r-Z) 8in(Z'— Z)

Telle est la limite de l'erreur que Ton peut avoir à craindre sur le point observé, eu égard seulement aux erreurs d'estime et d'observation.

^ — La formule précédente peut servir à démontrer, par curiosité ^ que le point calculé pour f heure moyenne intermédiaire entre les deux observations, est plus exact que le point calculé pour Theure de la deuxième observation. En effet, si l'on ramène les deux hauteurs àcequ elles devraient être pour l'heure milieu, les erreurs sur ces deux hauteurs provenant des erreurs d'estime seront toutes deux égales à la moitié de la limite trouvée, c'est-à-dire à e. La limite d'erreur F à craindre sur le point moyen sera donc :

v/(THH-e)'-f(AH' + c)* + ^AH + t)(AH^4-c)cos(y— Z) ' "■ 8in(Z'— Z)

Développons la quantité placée sous le radical dans le numérateur de E' ; il viendra :

ÂB* -f e« + 2e X AH + ÂH''+eH2€ X AH'+2AH X AH'cos(7/- Z)+â€(AH+ AH'j cos(Z'-Zl

+ 2e«cos(Z'— z);

ce que Ton peut écrire :

ÂÏÏ* + Âir* + 2AHxAH'co8(Z'--Z) + 2e[l-l-cos(Z'~Z)][e + AH + AH'].

Développons de la même façon la quantité placée sous le radical dans le numérateur de E; nous aurons, toutes réductions faites :

ÂH*+ÏH''4-2AHxAH'cos(7/ — Z) + 4e[e + AH-|-AH'cos(Z'— Z)].

On voit sans peine que cette dernière expression est plus gi*ande que le développement précédent de E', ce qui démontre bien l'assertion susénoncée.

On trouve d'ailleurs que la différence des carrés des deux numérateurs, est :

2c[i-eos(Z'-Z)][e + AH-AH'].

Par suite, la différence entre les deux limites E et E' vaut :

2e [i - cos (Z' — Z)] [e + AH - AH'] '''~"^~ (E + E')sin«(Z'-Z) ..

.V 59. CtreoMstonees foToriililes à lu déterminaUeia ém

point observé nax points de vne 3*", A"", S"" et •'' dn n'' &4.

— Aux points de vue de la substitution {explicite lors des méthodes graphiques, ou implicite lors des méthodes chiffrées) des droites de hauteur aux cercles de hauteur, et de Tinfluence des erreurs tant de la hauteur que du point estimé sur les positions des points déterminatifs desdites droites, les circonstances favorables sont évidemment les mêmes pour le point complet que celles expliquées antérieurement (n*** 34 à 36) pour une seule droite de hauteur. — D'après ces divers points de vue, on peut être amené, si Ton se trouve dans des conditions trop désavantageuses, à recommencer toutes les opérations avec les éléments qu'on vient de calculer. Mais ce mode d'approximations successives ne se prête guère à un usage rationnel qu'avec le procédé Marcq Saint-Hilaire, et encore selon la marche indiquée au n" A 2.

D'autre part, avec T usage (explicite ou implicite) de sécantes pour droites de hauteur, les circonstances favorables à Yessence même des procédés employés pour trouver par le calcul l'intersection de ces

sécantes, ressortent des exigences signalées aux n*" àà et A6 de la méthode Lalande-Pagel, et de la méthode y analogue dérivant de la substitution de la longitude estimée à la latitude estimée.

Enfin, en ce qui concerne le point de vue du degré d'approximation adopté pour l'effectuation même des opérations, tout ce qui a été dit au n** 33 et 36 est entièrement applicable à la détermination du point complet.

M** 59. fiiMemMe de« meUleares condltionfl propres à la déienninAttoii eu point obsorvé. — En résumant les n*" 5A à 58, on est amené aux conclusions suivantes, abstraction faite, bien entendu, des précautions connues à prendre dans T observation des heures et plus particulièrement des hauteurs, pour éviter les erreurs de comparaison, de réfraction, etc.

Pour TOUTES les méthodes, les deux astres observés sont soumis à deux conditions communes^ à savoir : leurs hauteurs ne doivent pas trop approcher de 90'» et, d'autre part, leur écart azimutal doit être aussi près que possible de 90**.

La méthode jlarcq Saint-Hilaire (n* 42) n'exige que ces deux conditions communes.

La méthode Lalande- l^agel (n** 43) demande en outre : 1^ qu'aucune des deux observations ne soit faite aux environs du méridien ; 2* qu'on ne se trouve pas par des latitudes trop élevées ; 3« que l'astre ou les astres observés ne possèdent pas une trop forte déclinaison.

La méthode par la longitude estimée (n*» 4t>) exige, outre les deux conditions communes : 1*" qu'aucune des deux observations ne soit faite aux environs du premier vertical ; S* qu'on ne se trouve pas par des latitudes trop élevées.

Les conditions précédentes sont, au moins pour la plupart, connues depuis longtemps. Mais leur raison d'être n'avait pas été établie avec toute la généralité qui leur appartient.

Les autres méthodes (n*» 47 et n" 49 à 51) ont à remplir, outre les deux conditions communes^ des conditions particulières analogues aux précédentes. Nous n'insisterons pas sur ces conditions, eu égard au non-emploi des méthodes dont il s'agit.

— Il est à peine besoin d'ajouter que les prescriptions précédentes ne s'appliquent pas à la recherche du point observé provenant d'une latitude et d'une longitude déterminées chacune isolément. En pareil cas, les circonstances favorables sont propres à chacun des calculs qui a fourni un des deux éléments en question. Mais comme alors

\n EXAMEN DE QUELQUES MÉTHODES SPÉCIALES

l'observation de longitude doit avoir été faite le plus près possible du premier vertical, et celte de la latitude aux environs du méridien, on retombe implicitement comme condition fondamentale surTobligation de deux hauteurs à angle droit.

1" PARTIE, S VIII. — Cas de deux observations : examen des

MÉTHODES DONNANT LA LATITUDE OU LA LONGITUDE, OU LES DEUX A LA FOIS, A l'aide DE DEUX HAUTEURS NE REMPLISSANT PAS LES CON- DITIONS HABITUELLES.

•^ m"" eo. Appréciation d« ca1c«1 de la^latttade àraide 4e deniKhiiatcars d'an même astre, trè«-rapprochée«. — Nous avons prévenu au n* 56 que la règle de M. Crévost était un criterim précieux qu'on pouvait utiliser avantageusement. Elle permet, en effet, d'apprécier la validité des méthodes proposées pour avoir la position du navire, par deux hauteurs d'un même astre prises à coMfl inlervalle.

Les méthodes dont il s*agit comprennent en particulier un mode de détermination de la latitude préconisé par les anciens hydrographes. Ce mode rentre au fond dans les relations suivantes proposées par M. Gaillet, et qui sont une abréviation des formules générales de son père rappelées au n® 38 :

smy=i ^ — ^ — • — ; cosa=: — ^ -; smL=(osysm(Ddb2);

IXsinD costj

I ^>tant ici rintenrallc des obsenratious «évalué eu temps de l'astre, pais conYerti en degrés, et dans tous les cas supposé assez petit pour que son sinus puisse être remplacé par Tare correspondant.

De son côté, le double signe de la dernière formule correspond aux deux intersections des cercles de hauteur. Eu égard au grand écartement actuel de ces deux intersections, la bonne solution est toujours celle qui se trouve le plus près du point estimé.

Le mode dont il s'agit semble surtout s'être recommandé par la simplicité des relations auxquelles il conduit, pour fournir une latitude à un instant presque quelconque. Mais aucun des auteurs qui le citent ne s'est préoccupé d'estimer logiquement son degré d'exactitude. — La règle de M. Crévost indique tout de suite que ce mode fournira une lalilude acceptable si les deux observations ont été faites de part et d'autre du méridien. Dans le cas contraire, il faudra avoir soin que la hauteur la plus rapprochée du méridien ait son