La racine e de cette équation est 2 ^~ y
dans le cas considéré on a donc e = °°' 2 " y ^' ^ 4 , de sorte
que la valeur cherchée de la racine est à-peu-près 9,886. Mais en prenant, dans la deuxième hypothèse, cette valeur-là, on trouvera à peu de chose près z = a + e = 9,8862603936495. On peut même s'approcher encore davantage de la vraie valeur, vu que l'équation est 0 = — b + se + tee + ue3 4-e'*outee = b — se — ue-' — e'*.
n) •, s + 1/ — s s + b t Il e3 — 64 VI. ,
s ensuit e = 2 k 4 , ou l on peut pren-
t dre pour e sous le signe 1/ la valeur connue, attendu qu'elle diffère peu de celle qu'on cherche. Pour voir maintenant quelle est la différence en moins de la nouvelle valeur de e par rapport
à l'ancienne valeur, prenez le double de 1/ ^ s s + b t et divisez
u e^ -\- e'* par cette expression. Vous obtiendrez ainsi le nombre
demandé. Il est aisé de comprendre pourquoi il en est ainsi. Il
suffit de considérer l'expression a a : si l'on doit en extraire la
racine carrée, on obtient a. Supposons que de a a on retranche
2 a b et qu'on doive extraire la racine carrée de la différence, b
étant fort petit par rapport à a. En divisant 2 a b par le double
de a, on trouve b. C'est là, peut on dire, la différence en moins
de la nouvelle valeur de la racine par rapport à l'ancienne. Elle
sera donc a — b, dont le carré est aa — 2ab + bb, ce qui ne diffère
de a a — 2 a b que par la terme b b qui est négligeable; car lorsque
b est une fort petite fraction, b b est moindre encore. Mais dans
le cas où l'on a a — e, il faut encore ajouter y à la
]/-J-ss tb
racine trouvée précédemment.
Soit l'équation 7J — 1 7 z z -f 54 z = 350. Pour trouver la valeur de z,
posons a = 10 ; on a de plus 1 = i, k = 17, h = 54, n = 3, 350 = q,
+ 1 z" = a^ + 3 a a e + 3 a e e + e-^ — kz"~' = — kaa — 2kae — kee + h z"-^ = h a + he, on bien, en remplaçant les lettres par des nombres, b s t
+ loooo + 300 e + 30 e e + e^ — ■ 1 700 — 340 e — 1 7 e e + 540 + 54 e
— 510+ i4e-|-i3ee-fe3 = o.
Comme on a — 510, ou voit que e doit avoir le signe +• Nous avons
donc 510 = 146-1- 13 e e, partant e = ^ ou z = 15,7. Le
nombre est trop grand. C'est pourquoi nous prenons a= 15, et en conduisant les opérations comme plus haut, nous trouvons
€ = ^°^ 2 y '^°^ , et par conséquent z= 14,954068. Si l'on
corrige la valeur de cette racine une troisième fois, on peut trouver
une valeur qui s'accorde avec la vraie valeur jusqu'au 25'^""^ chiffre;
et si l'on ne veut pas encore se contenter de cette valeur, on peut
retrancher de la racine déjà trouvée (ou y ajouter) l'expression
:. On trouvera ainsi une valeur plus approchée encore.
tb
Supposons qu'on ait z-* — 80 z^ + 1998 z z — 14937 ^ "t" S^^o = O- Cette équation a plusieurs racines réelles. La solution est plus difficile que d'ordinaire, parce que les coefficients de z z et de z sont très-grands en comparaison avec les nombres ordinaires. Divisez cette équation par une progression géométrique i, 10, 100, etc.; vous trouverez à-peu-près — z"* 4- 8 z-'' — 20 z z -\- 15 z = 0,5. Alors z est 10 fois plus petit qu'auparavant. Soit a= i dans la première hypothèse ; alors +2 — 5e + 2ee-t-4e-' — e+= 0,5, c.à.d.
i4-=5e-l-2ee. Il s'ensuit e = . de sorte que z = 1,27.
Il est certain que 1,27 diffère peu de la vraie valeur de la racine. En prenant alors ce dernier nombre pour a, on obtient
b s tu
Alors on a
équation dont la racine est eo^ale a 5 — -^ ou a
0,05644080331. Ce nombre est plus petit que la vraie valeur de e.
Pour le corriger, remplacez dans l'expression , les lettres
1/ — ss — b t
par des nombres; vous trouverez alors -^—-^^ ou 0,00000099117.
La valeur corrigée de e sera donc 0,05644179448; et si l'on veut obtenir dans la racine un nombre de chiffres plus grand encore, substituez la valeur corrigée de e dans l'expression t u e^ — t e+ qui devient 0,43105602423. En substituant ce nombre dans
b t — t u 63 4- t e4 . , , , on trouvera pour e la valeur
g^^^ ou 0,5644179448074402. Il s'ensuit
que a + e ou z est égal à 12,75644179448074402. On voit aisément jusqu'où ces nombres donnent la vraie valeur de la racine. Et si vous voulez faire la même chose à l'aide d'une formule
rationnelle, substituez = e dans le dernier terme de l'équation
±bH-se = tee, ce qui donne =tb-t-se= ou drsb = teb±sse
+ sb sb . , • - -^ , - ^•
ou e = v~j = n — T- Apres avoir écrit les équations qui
tb±ssss±tbr^ 1 '
résultent de a ± e = z, on voit d'abord si a est plus grand ou plus petit que la racine donnée, parce que son signe doit être contraire à celui de b. Lorsque b et t ont les mêmes signes, il faut prendre s s — t b ; mais lorsque leurs signes sont contraires, s s + t b. En pratique il est plus commode d'appliquer le théorème comme suit :
parce que alors on n'a à faire qu'une multiplication et deux divisions, contre 3 multiplications et i division dans le cas précédent. Nous appliquerons cette méthode à l'exemple précédent. Nous y avons trouvé
298,6559 — 5296,132 e + 82,26 e e = o. Alors b = 298,6559 s = 5296,132 et t = 82,26. On trouvera
s ^7^ = 5291,49325. En divisant 1) par ce nombre, on aura
e := 0,056441 ; et en ajoutant cela à a = 12,7, on aura z = 1 2,756441. Cette opération nous a fait trouver 5 nouvelles chiffres de la racine. Si l'on désire trouver une valeur plus approchée encore, il faut recommencer le calcul.
Mais revenons au fait et cherchons la racine de l'équation v"~ ' — b -f c X v" + b^ c = o. A cet effet divisons-la par une progression géométrique 1, bb, etc. Comme l'équation a n + i termes, il est certain que le dernier terme doit alors être divisé par
b"+ '. On trouvera le résultat suivant v"+ ' , — X v" 4- -=. o.
Dans cette équation la racine est b fois plus petite qu'auparavant ;
on a de plus n = 20, b=ioo et c = g^. En remplaçant alors
les lettres par des nombres, on obtient l'équation suivante
v"' — - 1,09— v-° + o,og- =0. Comme nous avons écrit b + x ou v 3 3
pour le somme d'un capital de 100 florins et de l'intérêt annuel, et que cet intérêt est en général de 5 % environ, nous pouvons prendre v= 105. Mais parce que v a été réduit à la centième partie, nous avons pris a = 1,05 dans la première hypothèse, et par conséquent 2 = 1,07 à-peu-près. En prenant ce nombre dans la deuxième hypothèse, nous aurons, vu que ce nombre est trop
grand, z = a — e. De plus k = 1,09^ et q = 0,09—.
-f 1 z" = a-' — 20 a""" e -f 210 a^9 e e — etc. "^
— k z"-' = — k a^'" — 20 k a'i e — 190 k a'^ e e + etc. [. = o.
Nous avons posé q = a-^" r pour ne pas multiplier le nombre a
])ar lui-même un si grand nombre de fois : de cette manière on
trouve occasion de diviser tous les termes par a^^.
Après avoir fait cette division, on obtient
Pour trouver la valeur de r qui est é^ale à — , cherchez le lo-
garithme de a ou de 1,07 qui est 0,02938777769 et multipliez-le par 20, ce qui donne 0,58767555538. Le nombre qui correspond
avec ce logarithme est à-peu-près 3,86968 = a"°. Divisez q ou
0,09— par ce nombre. Le quotient sera r = 0,0241191. Alors
a — k + r = 0,0007857 -^ ; et, en multipliant par a, on trouve
a — k-f rXa = 0,000840770--- En remplaçant également les
autres lettres qui se trouvent dans l'équation précédente par des
nombres, on aura 0,000840770 0,60 - e + i s — e e = o, et en
rendant tous les termes entiers, 0,269887277 — 193,67 e + 5090 e e = o.
On en tire e = 96835 - ^8003^98507^ ^^^^ ^^ e = 0,0014487. En
soustrayant ce nombre de a= 1,07 et en multipliant le reste par
100, parce c[ue le v (ju'on trouve est 100 fois plus petit que le
vrai V, on obtient v, ou b + x, = 106,85513. En soustrayant
b = 100 de ce nombre, on trouve le reste x = 6,85513. Si l'on
cherche, d'ai)rrs la solution du premier Problème, deux fort petites
fractions l'une plus grande l'autre plus petite que x, on trouvera
- pour la i)n;mière et pour la seconde. En posant a = 6 -, on
trouvera x^ 6,85521 pour l'intérêt cherché, ce qui, représente une
beaucoup meilleure approximation. Et si Ton avait pris - ou
au lieu de , ou aurait trouvé une valeur plus approchée encore,
■et le travail n'aurait pas été beaucoup plus grand.
Nous résoudrons maintenant le même problème à l'aide des tables de l'intérêt et encore d'une autre manière.
En 20 ans Comptant En 20
ans r Comptant 000 C 107 142857
Cherchez alors dans les tables de l'intérêt ce qui se rapporte à la 20"""^ année, et prenez les deux nombres qui s'approchent le plus (lu nombre trouvé, l'un étant plus grand l'autre ])lus petit que ce dernier. Vous trouverez
En retranchant cette fraction de 7 ^ q, on trouve le reste
6 ' l ■ F^our simplifier c:ette fraction, divisez par 8^6, il viendra S360292 1 I o •
, ce <|ui est le résultat demande.
Autrement.
Supposons que l'intérêt soit de 7 o/q. Le logarithme de 4 est
I 6020600. Divisez ce nombre par le loga-
rithme de — . c.à.d. par 293838. Il viendra
0 — 2 — 20 — années, bi nous avions trouve pre-
4%$ \ / '^ / cisément 20 années, l'intérêt aurait été
3 / \ 3 '- de 7 o/q ; mais comme nous avons trouvé
un plus grand nombre, il s'ensuit que l'intérêt est moindre. Nous
prenons en second lieu un intérêt de 6 0/^. Le logarithme de 56 est
17481880 9t et celui de 15 11760912
io6i^
2 641 Le logarithme est 28068580-
Divisez B par A. Il viendra 19-^- années. C'est pourquoi l'intérêt a été plus grand que 5 -|. Mais pour calculer à-peu-près la différence, agissez comme suit
Nous nous servirons maintenant de ce dernier nombre.
9 — io5 -^ ^ 3 48
28 \/ ~Ti9 f ^ 64 18061800
Divisez ce nombre par P> ; vous trouverez ig-
Vo- On
voit par là que l'intérêt est plus grand que 6 . mais la diiïérence peut être petite. Cherchez alors d'après la solution du premier Problème une fraction un peu plus grande que 6—^ qui, lorsqu'on fait une multiplication en croix, ne donne qu'une différence de 1. Vous trouverez . En opérant avec 6 comme
précédemment vous trouverez 20 années.
^^5^ ou un peu plus de 6 ~
Deuxième Exemple.
D'après cette méthode il est fort aisé de calculer l'intérêt des loteries qu'on a organisées récemment en Hollande. A cet effet nous prendrons pour exemple le projet de la loterie de la République de 6 millions, divisée en 25 classes et dont les premiers versements ont dû avoir lieu le 8 Août 1712. Pour faire par ordre les calculs relatifs ;\ cette loterie d'après le projet imprimé, commencez par écrire la somme des non-valeurs et retranchez-en ensuite les non-valeurs qui sortent chaque année, ce qui donne zéro à la fin si l'on n'a commis aucune erreur. Multipliez d'abord toutes les non-valeurs et ensuite les restes par 8 ; en ajoutant ces sommes on obtient fl. 2883200, ce qui est l'intérêt payé pour les non-valeurs.
Retranchez alors l'argent payé pour les non-valeurs de la somme totale payée pour chaque classe et retranchez cette différence de la somme de tous les prix. Si alors vous trouvez également zéro, vous n'avez commis aucune erreur dans les soustractions. Mais pour plus de brièveté vous pouvez omettre les 2 derniers chiffres des prix. Multipliez alors ])ar 2 la somme de tous les prix, et les restes. En ajoutant ces produits, vous trouverez pour l'intérêt des
prix fl. II 60464. x\joutez-y ensuite fl. 8886000, la somme de la loterie, et le nombre trouvé plus haut. Vous trouverez ainsi que la somme totale payée en 25 ans est de fl. 12929664.
Pour bien organiser ces espèces de loteries il faut faire en sorte que les sommes payées chaque année soient égales autant que possible ; c'est ce que l'algèbre permet de faire aisément. Mais cette égalité n'a pas été observée, ni dans cette loterie-ci, ni dans toutes les autres. Car dans la loterie de l'année 1711, la différence entre le dernier et l'avant-dernier payement est supérieur à 76000 florins, ce qui nous fait supposer qu'on n'a fait que des calculs sommaires tout au plus.
Dans la loterie considérée ici chaque payement est en moyenne de 516780 florins environ, ce qui fait fl. 12919500 pour 2^ payements. Reste alors encore un surplus de 10164 florins qui sont payés la dernière année. En réduisant cette somme au comptant à l'aide de la table des intérêts (l'intérêt étant de 7 «/q) on trouvera
à-peu-près 1872 florins. Cet argent comptant est divisé en
payements annuels. Comme 1165 florins au comptant donnent
100 florins à payer annuellement, 1872"^ florins en donneront
à-peu-près 160. En ajoutant ce nombre à 516780 on trouvera 516940. Dites alors
6000000 fl. Kiôqio 100 ; 2 •
On pave 2 « n environ. — Nous aurions pu faire un calcul
beaucoup plus exact, mais nous estimons que la difterence est trop
faible pour que nous prenions cette peine.
En prenant d'abord 7 0 n. on trouve 24 -^- années. On voit ' " ^ 146919
par là que le taux de l'intérêt est plus élevé que 7 ^ p. Nous
avons pris ensuite 7 -^ ^>/n, et nous avons trouve ainsi 2=;
années. Comme ce nombre était trop grand, j'ai pris 7 i',^ et j'ai
est entre les deux nombres trouvés.
trouvé ainsi 24 années. On voit par là que le taux de l'intérêt
io6 lOOO
7 — — 0/n, ce que ne diffère que tort ' 1500 '"' ^ ^
peu de la vraie valeur.
Nous avons fait de la même manière les calculs suivants.
Intérêt des 5 projets suivants:
