T I3IO796OI' I3IO796OI
de D ' ' et celui de C --—-.-• 131079601 131079601
Et quand même il y aurait 100 joueurs, on pourrait trouver les
ii8
nombres correspondants à l'aide de la formule précédente en se servant de logarithmes, ce qui est impossible quand on ne connaît que les théorèmes de M. BernouLLI.
La réponse à la seconde question est la suivante. Les chances de deux joueurs qui se suivent, B et C, ou C et D etc. sont entre elles comme les nombres 2" + i et 2" ou b et a, avec cette exception que les chances de A et de B sont égales.
Et enfin, si l'on pariait que le jeu sera terminé au bout de n + p — - I parties, la part qui nous revient serait exprimée par la formule suivante, trouvée également par l'auteur nommé :
P -+^i p — nXp— n + 3 | p--2nXp — 211+ iXp — 2'i + 5
p— 3nXp — 3n+iXp — 3" + 2Xp — 3^ + 7 |
p — 4nXp — 4"+iXp — 4n + 2Xp — 4" + 3Xp — 4n + 9 ^ ^^^- 3.4.5-25"
On doit prendre de cette série un nombre de termes égal à celui des unités contenues dans p. 11 est aisé de voir comment les termes de cette série se suivent: chaque fraction a dans le numérateur un facteur de plus que la fraction précédente et les facteurs forment une progression arithmétique avec la raison i, excepté le dernier terme du numérateur qui renferme un nombre ordinaire différant chaque fois de deux unités du nombre correspondant que renferme le numérateur précédent.
Fin du Calcul des Chances au moyen de l'Algèbre.
CALCUL DES LOTERIES ET DES INTÉRÊTS AU MOYEN DE L'ALGÈBRE ET DE L'ARITHMÉTIQUE.
Premier Problème.
Etant donné une fraction, dont le numérateur et le dénominateur sont de grands nombres, en trouver une autre un peu plus petite ou un peu plus grande que la fraction donnée et qui en diffère aussi peu que possible, le dénominateur de cette seconde fraction ne devant pas dépasser un certain nombre donné. — Ce Problème ne doit pas être résolu par tâtonnements, mais d'après une règle mathématique.
Ce Problème se présente dans de nombreux calculs, qui conduisent à des fractions composées de fort grands nombres et qui exigent cependant une solution passablement élégante. Sa solution sert aussi à nous faire connaître de petits nombres correspondant aux chances des joueurs et dont les rapports diffèrent peu de <.:eux des grands nombres qu'on avait trouvés. Pour résoudre ce Problème, nous avons inventé la métliode suixantc (|ue nous expliquerons à l'aide des deux Exemples sui\ants.
P r e m i e r E x e m pie.
Etant donne la lractK)n , on demande de trcniver la Irac-
tion dont le dénominateur est inférieur à 100 (|ui s'en approche le plus; et de même la fraction correspondante dont le dénominateur est inférieur à 1000.
Divisez à cet effet le dt'-nominateur par le numérateur, j)uis le numérateur par le reste de la division précédente, et ainsi de suite, just|u à ce qui' \ous trouviez enfin le reste i.
29 V. ib^. iiv. 7L 4I.
On commence par écrire l'unité. On la
— — I multiplie par le quotient de la première
I — 1 G 2751 division. A côté de ce produit on écrit
l'unité. On a ainsi la première fraction, lacjuelle ici se réduit précisément à l'unité. Elle est plus grande que la fraction donnée ; c'est pourquoi nous l'avons désignée par la lettre G. Le numérateur est écrit à droite et le dénominateur à p-auche. En multipliant l'un et l'autre
Dén. Num. ° ■ . ^ . ...
par le quotient de la deuxième division, et en y ajoutant les nombres qui composent la première fraction, à savoir le numérateur au numérateur et le dénominateur au
dénominateur, on obtient ce qui est plus petit que la fraction
donnée. C'est pourquoi nous avons désigné cette fraction par la lettre P.
On multiplie ensuite par le quotient de la troisième division et on y ajoute comme précédemment les nombres qui composent la fraction précédente. Cette dernière fraction est multipliée par le quotient de la quatrième division, c.à.d. par 9. On obtient 9X7 = 63, 63 -f 6 = 69 ; et g X 6 = 54, 54 4- 5 = 59, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve le dernier des dénominateurs qui ne dépassent
pas le nombre donné. On obtient ainsi — . C'est là la fraction, ^ (39
un peu inférieure à la fraction donnée, qui en diffère moins que
toute autre fraction inférieure à la fraction primitive et dont le
dénominateur est plus petit que le nombre 100. La fraction -— est
parmi toutes celles dont le dénominateur est plus petit que 100 et qui surpassent quelque peu la fraction donnée celle qui en diffère le moins.
Le calcul suivant sert à chercher la fraction qui approche le plus
de la fraction donnée et dont le dénominateur est inférieur à looo.
^ ^ ^ ^ On trouve que les deux fractions dont
le dénominateur est inférieur a 1000 et
p 221 i8q 2Q l'-ii s'approchent le plus de la fraction
„ „ donnée sont et — „. La première est
1 un peu plus petite et la seconde un peu
^ 739 ^32 II plus grande que la fraction donnée. La
„ ' fraction qui suit a un dénominateur su-
perieur a 1000 et ne convient donc pas.
Les nombres qui composent la dernière colonne sont les différences des produits qu'on obtient en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée respectivement par le dénominateur et le numérateur des fractions qui s'en approchent. Ces nombres sont aussi les restes des divisions successives.
On donne la fraction -^ et on demande quelles sont les 79bi9 1
fractions qui s'en approchent le plus et dont le dénominateur est
inférieur à 100 ou à 1000.
■^3 ^M To -^ I
Lorsqu'on est parvenu à la fraction '' on devrait multiplier par
5, parce que 6 est le quotient de la division suivante ; mais on dépasserait ainsi de beaucoup le nombre 100. Mais si l'on retranche 43 de 100 — I, il reste 56. En divisant ce dernier nombre par 56 on trouve le quotient 1. Multipliez donc par i et ajoutez aux produits les nombres qui composent la fraction précédente ; vous
trouverez ainsi , fraction un peu ijlus orrande que la fraction 99 1101
donnée. La fraction est un i)eu plus petite que la fraction donnée. Ce sont là les deux fractions cherchées.
Cherchons aussi la fraction qui s'approche le plus de la fraction donnée et dont le dénominateur est inférieur à 1000.
Lorsqu'on est parvenu aux nombres 88 et 379, on devrait multiplier par 3, mais alors le deuxième produit surpasserait le nombre 1000. Retranchez donc 56 de 999; il reste 923. Le nombre 379 y va plus de 2 fois. Il faut donc multiplier par 2. On trouve
ainsi les deux fractions ,, et — qui satisfont au Problème. La
première est un peu plus petite et la seconde un peu plus grande que la fraction primitive.
Ce Problème nous a conduit au Problème suivant.
Deuxième Problème.
Trouver des nombres qui, lorsqu'on les divise par des nombres premiers donnés, laissent après la division des restes donnés.
Ce même Problème se trouve à la page 371 1) des ,, Exercices mathématiques" du Professeur F. VAN ScHOOTEN. On y trouve une solution par NICOLAS HUYBERTS VAN PersIJN, arpenteur à Naarden. Le Professeur PreSTET l'a citée à la page 339 du 2ième yolume des ,, Nouveaux Éléments de Mathématiques" 2), où il dit que cette solution est ingénieuse. Mais elle ne saurait servir pour de grands nombres : les plus grands diviseurs considérés là sont 7, II et 13. Il faut observer aussi que d'après cette méthode l'on doit deviner combien de fois il faut prendre le nombre 12 pour
i) p. 380 dans^ l'éditinn de 1660 'N. d. U-.\ 2) Paris, 1694. (N. d. tr. .
que le reste, lorsqu'on divise le produit par 13, soit i. Mais si l'on avait pris comme diviseurs les nombres 20289, 29983, 918 13 et 95003 et qu'on voulait trouver le multiplicateur de 95003, il s'agirait encore, si l'on voulait suivre la méthode de ces Messieurs, de trouver un nombre tel qu'en le multipliant par 91286 et en le divisant ensuite par 95003 on obtiendrait le reste i.
Ce n'est qu'avec beaucoup de peine qu'on pourrait deviner que le nombre en question est 91757.
Par ,, multiplicateurs" nous entendons des nombres tels qu'il reste 1 lorsqu'on les divise parle nombre dont ils sont multiplicateurs, tandis que tous les autres diviseurs y vont sans reste.
Nous avons inventé la règle suivante qui permet de résoudre le Problème mathématiquement. Nous y avons distingué deux cas. Le premier est celui où le produit de tous les diviseurs à l'exception d'un seul, est plus grand que ce diyiseur-là qui est celui dont on veut clicrcher le multiplicateur. Le second cas est celui où ce produit est plus petit. Ce qui est écrit entre parenthèses se rapporte à ce dernier cas.
Règle pour trouver les Multiplicateurs.
Appelons A le divisi-ur dont on cherche le multiplicateur, et P> le produit des autres diviseurs.
Divisez A par P), ou B par A, suivant qu'on a A > P> ou A •-' P>. Divisez le diviseur donné par le reste de cette division, et ainsi de suite comme plus haut, jusqu'à ce que vous arrivez à une division qui donne le reste t. Multipliez ensuite l'unité par le quotient de la deuxième division, et multipliez ce produit par le (|uotient de la troisième division. Ajoutez-\' le nombre écrit au-dessus du nombre trouvi', comme cela a été fait au Problème précédent. On continue de la même manière à multiplier par les quotients de toutes les divisions en ajoutant chaque fois le nombre écrit au-dessus. Nous appellerons C le nombre^ trouvé finalement. Si l'on a fait en tout un nombre impair de divisions, il faut multiplier (" jjar P> (ou bien, dans le second cas il faut retrancher C de B, multiplier la différence par A et ajouter l'unité au produit). On obtient ainsi le multiplicateur demandé.
Mais si le nombre des divisions est pair, il faut retranclu-r C de A et multiiîlier le reste par P> (ou bien, dans le second cas, multiplier C ]jar .\ et ajouter runit<'- au produit). ( )ii obtient ainsi le multiplicateur denianch'.
Premier Exemple.
(Premier Cas et Nombre impair de Divisions).
Soient loi, 141 et 133 les diviseurs. Pour trouver le multiplicateur de 141, multipliez toi par 133, ce qui donne 13433- Il s'agit maintenant de trouver un nombre qui est un multiple de 13433 et qui, lorsqu'on le divise par 14.1, donne un reste i.
B 13433 1^5 ^1(3 3S ( 27 ( II r^ ^^^
A 141 l 38 C 27 l II C 5 L 3
Multipliez 26 par 13433. Il vient 349528. C'est là le multiplicateur de 141.
Deuxième Exemple.
(Second Cas et Nombre pair de Divisions).
Soient 20289, 29983, 918 13 et 95003 les diviseurs. Pour trouver le multiplicateur de ce dernier nombre, multipliez entre eux les trois premiers nombres. 11 viendra 55852 15 121 2731.
B 558^21 SI 21 2731 r r. o 00 Qsoo^ C 91286 r
Retranchez C de A, la différence est 91757. Multipliez ce nombre par 55852151212731. Il viendra 5124825838820558367. C'est là le multiplicateur demandé.
Troisième Exemple.
(Second Cas et Nombre impair de Divisions).
Soient 7, 13 et 801 les diviseurs. Pour trouver le multiplicateur de 801, cherchez un nombre qui divisé par 91 donne un reste zéro et qui donne un reste i, lorsqu'on le divise par 801.
Il C 73 C t8 C
Retranchez C de B. Multipliez le reste 80 par 801, ce qui donne 68886. Ajoutez-y l'unité, vous obtiendrez 68887, ce qui est le multiplicateur demandé.
Quatrième Exemple.
(Second Cas et Nombre pair de Divisions).
Soient 7, 1 1 et 941 les diviseurs. On demande de trouver le multiplicateur de ce dernier nombre.
B 77I .71^ 9I si 4^;
Multipliez C par A, vous obtiendrez 8469. Ajoutez-y l'unité. Il vient 8470. C'est là le multiplicateur demandé.
C i n q u i è me E x e m p 1 e.
On peut trouver les multiplicateurs à l'aide des quotients de
toutes les divisions. Nous prendrons le premier Exemple.
1 Multipliez ce nombre 2477 par 141, ce qui donne
95 349257, ajoutez-y l'unité, vous trouverez ainsi 349258.
286 comme auparavant, ("'est le multiplicateur demandé.
Sixième Exemple.
Trouvez un nombre qui donne le reste 5, lorsqu'on le divise par 23 et le reste 17 lorsqu'on le divise par 31.
Retranchez 17 de ce nombre. Il s'en faut alors de 12 que la différence soit un multiple de 2^. En retranchant 12 de 22,, on trouve II. Il sufïit donc de trouver un nombre qui, divisé par 23, donne un reste 11 et qui est un multiple de 31, car après avoir trouvé ce nombre, on y ajoute 1 7 et on a le résultat demandé.
Nous trouverons ce nombre sans chercher aucun multiplicateur.
31— o 23 l si" 7I 2'
Multipliez 3 par 11. Il vient t,i,- Divisez 33 par 23. Le reste est 10. Multipliez 10 par 31; il vient 310. Ajoutez-y 17. \^ous obtiendrez ainsi 327, ce qui est le nombre demandé.
Septième Exemple.
Trouvez un nombre qui, divisé par 13, donne un reste 5, et qui, divisé par ig et 31, donne les restes 3 et 8 respectivement.
D'après la méthode de l'Exemple précédent, on trouvera 174 pour le plus petit des nombres qui divisés par 13 donnent le reste 5 et, divisés par 19, le reste 3. Or, 13 X 19 = 274. Cherchez donc d'après la même méthode un nombre qui, divisé par 247, donne le reste 174 et, divisé par 31, le reste 8. On trouvera que 2891 est le nombre demandé. Nous n'avons pris ici ni de grands nombres, ni un nombre considérable de diviseurs. En efïet, si les diviseurs étaient très-grands et très-nombreux, la règle resterait néanmoins la même.
On peut obtenir les mêmes résultats à l'aide d'une formule algébrique.
Huitième Exemple.
Quelqu'un possède un certain nombre de florins. Il en dépense
la 17"='"^ partie + - fl. ; ensuite la 23'*""^ partie du reste + ~- fl,, 17 23
puis la 3t"""^ partie du reste + - fll., puis ^ du reste + - fl., puis — du reste + ~ fl., et enfin ^- du reste + ^ fl. Si tout l'ar-
^ lOI loi 7 7
gent qu'il a dépensé ou qu'il possède encore est chaque fois exprimé par un nombre entier de florins, on demande combien de florins il a bien pu avoir.
A l'aide des Exemples précédents on trouvera aisément que toutes les réponses sont renfermées dans une progression arithmétique infinie, dont le premier terme est 127983 et la raison
Troisième Problème.
Calculer avec une grande approximation l'intérêt composé pour un grand nombre d'années, sans se servir d'aucune table.
Premier Exemple.
Que deviendra au bout de 100 ans un capital de 100 florins, lorsque l'intérêt est de 6 - •^/q par an et qu'on prend l'intérêt composé? Le résultat ne doit pas différer de plus de denier du résultat
véritable.
ii| 10--
9xo
14 15 lô 17 18 19 20 21 22 23 24 25 etc.
Multipliez 100 par 6 , ensuite le produit par 2 ^^ ^^ ainsi de
suite ; nous avons développé le calcul ci-dessous pour faire voir comment on doit conduire les opérations en pratique. Nous avons conservé 5 chiffres après ceux qui expriment les nombres entiers.
lOO^ 1
So
lOO
a peu près
On trouve donc 11. 42943, 2 sous et 15 "^ deniers ;\ fort peu près.
D e u X i è me Exemple.
Que sera devenu au bout de 359 ans un capital de 100 florins, lorsque l'intérêt annuel est de 3 % et qu'on prend l'intérêt ccnnposé? On demande de calculer le rt'sultat avec une exactitude
telle qu'on peut être assuré de ne pas commettre une erreur de
florin.
1077 1074 1071 To58 1065 1062 1059 1050
1053 1050 1047 1044 ^041 1038 1035 ÏO32
g 10 II 12 13 14 15 i5
1029 1026 1023 1020 1017 1014 loii 1008
y II 17 '7 / 37 -^19 ^13
Multipliez 100 par 1077, le produit par 537, ce dernier produit par 357, puis par 267 et ainsi de suite, vous trouverez ainsi les nombres écrits dans la table ci-dessous. Aussi longtemps qu'on multiplie par des nombres supérieurs à 100, le produit augmente de plus en plus. Mais dès qu'on multiplie par des nombres inférieurs à 100 le produit diminue, car les vrais multiplicateurs sont les looièmes parties de ces nombres. Cela ne fait d'alleurs aucune différence dans les calculs : il suffit de prendre les premiers chiffres pour voir comment les nombres doivent être écrits les uns sous les autres. Cela se voit aisément : lorsqu'un nombre doit être multiplié par 213 et être divisé ensuite par 100, on sait que le résultat doit être un peu plus de deux fois plus grand. De même, lorsqu'un nombre doit être multiplié par 51 et divisé ensuite par 100, le résultat doit être un peu plus de la moitié. Nous avon? fait ici le culcul jusqu'aux loooooièmes parties d'un florin. Si l'on
lOO
avait pris un nombre de chiffres plus grand, on aurait trouvé un résultat plus exact encore, et le travail n'aurait pas été beaucoup plus considérable, — Nous avons écrit à la sixième place derrière la ligne un chiffre plus élevé d'une unité lorsque nous trouvions à la septième place un chiffre supérieur à 5 ; et nous avons négligé à cet endroit les chiffres inférieursà5. L'erreur pourrait être de i on 2 millionièmes, mais non pas de 10 millionièmes. C'est pourquoi l'on est assuré que le résultat trouvé diffère du résultat véritable
par moins de -^^^ florin, dans l'hypothèse que les multiplications et les additions sont correctes. Aussi longtemps que les nombres augmentent encore, on prend dans les produits, pour éviter toute incorrection, une ou deux chiffres de plus; mais lorsqu'ils diminuent, il suffit de prendre les nombres eux-mêmes, ce qui donne cependant encore deux chiffres de plus qu'il ne faut. On commence par écrire tous ces chiffres.
La réponse est donc: 4060351 florins,
17 sous, 4
deniers. Il me semble bien
que l'erreur est inférieure à > — denier.
Troisième Exemple.
Nous avons résolu le môme Problème à l'aide de logarithmes. Il faut chercher le logarithme de 103, en retrancher celui
de 100, et multiplier le reste par 459. Il
fl- 4060351 851284 vient ainsi 6, 60856367089. Le nombre
qui correspond à ce logarithme donne à peu près 4060351 florins, 16 sous, 13 deniers, ce qui diffère par 7 diMiiers du résultat précédent. En se servant des grandes tables de logarithmes, on
trouvera une différence encore plus petite. Mais pour bien faire comprendre la méthode précédente, nous ajouterons ici le calcul algébrique, quoique nous ayons inventé cette méthode sans le secours de l'algèbre.
En posant loo = a, 3 = b, 35g ans = c, le nombre cherché = X, on a le tableau suivant
après c années x ^ a comptant
comptant a "^ a + b après une année
après I année a / a + b après deux années
après 2 années a / a + b après trois années
après 3 années a ^ a + b après quatre années
Etc. Etc.
Chaque colonne doit avoir c + 1 termes, et le produit de tous les termes des deux colonnes doit être le même. On trouve de cette façon
x = a + cXb+~X — — X — - + 7 X -— X --- X -— -f 7
II ai2 3aai
— ^ X T7- + etc.
Le nombre des termes doit être a. De cette formule on peut tirer la règle précédente ; en effet, on voit clairement qu'un terme
qui occupe le rang p, doit être multiplié par — ^ X pour
nous faire obtenir le terme suivant.
Quatrième Problème.
Une certaine somme est placée à intérêt. En même temps on se procure une rente viagère pour une somme égale et aussitôt qu'on reçoit une rente on la place à intérêt composé. Après un certain laps de temps les deux sommes sont égales on bien l'une d'elle surpasse l'autre d'une quantité connue. On demande la grandeur des deux sommes; ou bien, si cette grandeur est donnée, on demande quel a été le taux des rentes viagères. ;
Premier Exemple.
On a placé pour deux enfants A et B une certaine somme d'argent, à savoir 1388 florins pour chacun d'eux. Le capital de A
est perdu, mais il reçoit chaque année 4-7 %. Il place immédiatement cette rente à un intérêt composé de 4 ^ %, Le capital de
B est placé à un intérêt composé de 4 - %. Après un certain laps
de temps on trouve que leurs capitaux sont précisément égaux. On demande ce que sont devenu les capitaux des deux enfants et pendant combien de temps ils ont produit leurs rentes. Réponse : 59128 fl, 16 sous; 88 années et un peu plus de 5 mois.
En posant 1388 = a, le nombre d'années = n, 4 -=y, 4 -^
X, 100 = b, on voit qu' après n années à x % (intérêt composé)
le capital sera devenu b + x y a. Or,b: y = a: ', . Le dernier terme
représente la rente viagère qu'on reçoit annuellement. Et comme on place cet argent à un intérêt de x %, la somme totale qu'on reçoit des rentes viagères se compose d'une progression géométrique,
dont le premier terme est , la raison — r— et le nombre des termes
n — I. Le dernier terme est donc -r- X ^ "^"^ • Pour trouver la
b bn-i
somme de cette progression, prenez le terme qui suit le dernier,
c. à. d. le terme r X ^dl^ • Posez alors ^ + ^ = z. Ce terme devient ^ b" bn
donc , . Ketranchez-en le premier terme ,' ■ Il reste r — • Ce
reste, divisé par la raison de la progression diminuée d'une unité,
VI •''•1 ^yz — ^y /-. • 1 • A i / , <
c. a. d. par donne . Le quotient doit l'tre égal a az
louà^ + '' X al. On tire de là z = -^ ou a z = — —. On voit
par là que la règle, facile à appliquer, est la suivante : il faut multiplier l'argent qu'on a au commencement par le taux des rentes viagères et diviser le produit par la différence des taux des rentes viagères et de l'intérêt respectivement. On trouve ainsi le capital qu'on possède à la fin. Quant au temps, on le trouve à l'aide de logarithmes comme dans l'Excmjjle suivant.
Deuxième Exemple.
iJeux personnes A et P) jiossédaient chacun luie tonne d'or. A
plaça son argent à un intérêt composé de K |^^ %. B en même
temps céda son capital, à condition d'en tirer, lui ou ses descendants, une rente de 5^^- %. Les rentes ainsi obtenues sont
immédiatement placées à un intérêt composé de =; ^^ % nar an
Après un certain laps de temps les descendants des deux personnes
se trouvent en possession de capitaux égaux, provenant chacun
de la tonne d'or. On demande combien de temps s'est écoulé
depuis que leurs ancêtres placèrent chacun leur tonne d'or à
intérêt, et quel est le capital obtenu par ce placement?
^ JiSj ■ — soustr.
„ , /-Le capital est devenu 2'7,2046G6'/0 fois plus
Jisj ,\ 43229S05 j S^^"^^' ^^ ^^^^^ ^" °" ^ S^S^^ 2320466009 L tonnes d'or.
Pour trouver le temps, cherchez le logarithme de 2320466670
qui est 9, 36557534796. Cherchez ensuite le logarithme de 105, -'
et letranchez-en le logarithme de 100; il reste o. 02270774001. Divisez le premier logarithme par ce reste, vous trouverez ainsi
412 années et un peu moins de 5 - mois. C'est ce qu'il fallaittrouver.
Nous développerons ici la solution d'un autre problème encore dans le but de trouver précisément la partie en question de l'année, et nous vérifierons l'exactitude du résultat. Nous prendrons pour le taux des rentes viagères un nombre entier lequel sera choisi expressément en-dehors du cours ordinaire, pour que nous obtenions de plus petites fractions ; en effet, en prenant un intérêt de 5 % et un taux de 10 % pour les rentes viagères (ce qui d'ailleurs serait encore trop) nous devrions calculer l'intérêt composé pour un temps de 14 ans, ce qui donne de grandes fractions.
A cède un capital de 30000 florins, pour obtenir une rente viagère de 25 % ; quant aux rentes qu'il reçoit, il les place de nouveau à un intérêt composé de 10 % par an. B en même
temps place 30000 florins à un intérêt composé de 10 % par an. Après un certain laps de temps ils se trouvent avoir des capitaux égaux. On demande quels sont ces capitaux et combien de temps s'est écoulé depuis qu'ils ont placé leur argent.
divisé par 15
I Le capital est devenu 1 ~- fois plus grand.
30000 mult.
50000. Le capital de chacun d'eux est 50000.
Log. iTO = 2,0413927
Log. 100 = 2,0000000
5 ; log- 5 = 0,5989700
3; log- 3 =0,4771212
i~; log. 1 1=0,2218488
Leci, divise par 0,0413927, donne 5 =^ années.
Nous trouvons ainsi une valeur approchée, mais non pas la valeur exacte de la fraction. Pour trouver cette dernière agissez comme suit.
Calculez à l'aide de la ,, règle de la chaîne" ce que deviennent 30000 florins au bout de 5 ans, à un intérêt composé de 10 %.
comptant 100 iio après i an
après 1 an 100 110 après 2 ans
après 2 ans too ^ iio après 3 ans
après 3 ans loo / 110 après 4 ans
après 4 ans loo 110 après 5 ans
après 5 ans. / 30000 comptant
En divisant le produit de la colonne B par celui de la colonne A, on trouve 48315 florins et 6 sous au bout de 5 ans. Si ce capital était placé au même intérêt encore une année, on obtiendrait encore une rente de 4831 florins et 10 '^ sous.
fl. 50000 : — fl. 48315: 6
soustr.
fl. 1684:14
Intérêt An
fl, 4831 : 10 I — fl. 1684 : 14. On trouve V^^ an, à aiou-
ter aux 5 années. Le temps exact est donc de 5 ans et de 4
29676 -— — mois. 161051
Vérification.
Elle consiste à faire voir que les rentes viagères obtenues pendant ce temps pour le capital de fl. 30000, et augmentées de leurs intérêts, produisent elles-aussi un capital de fl. 50000 exactement.
fl. 30000
Rentes après i an 7500 | ^O
Intérêt de 10 O'o y^o
Rentes après 2 ans 7500
On a au bout de 2 ans fl. 1575 | o: —
Intérêt de 10 o/q 15 75 '■ —
Rentes après 3 ans 75^0 : —
On a au bout de 3 ans fl. 24825 : —
Intérêt de 10 ">/o 2482 : 10
Rentes après 4 ans 75^0 : —
On a au bout de 4 ans fl. 34807 : 10
Intérêt de 10 o^o 3480 : 15
Rentes après 5 ans 7500
On a au bout de 5 ans fl. 45788 : 5
Si cette dernière somme était placée à intérêt encore un an,
on recevrait encore une rente de fl. 4578, 16 sous et une rente
viagère de fl. 7500, ce qui fait ensemble 12078 fl. et 16 sous.
An An
I — 12078 fl. 16 sous —
Il vient fl. 4211 : 15. C'est là ce qu'on reçoit en cette partie de l'année. En y ajoutant les fl. 45788 : 5 reçus en 5 ans, dont nous avons parlé plus haut, nous trouvons fl. 50000 comme auparavant.
Troisième Exemple.
A et B possèdent chacun 4096 florins. A place son argent à un intérêt composé de 4 "/q par an, B cède son capital pour
obtenir une rente Niagère de 5^ Ojq par an; il place ces rentes
à un intérêt composé de 4^ o/q par an. Après un certain laps
de temps, A possède fl. 100 plus que B. On demande quel est
alors le capital de chacun d'eux.
„ I ayz — a y , ^ . ay — bx Un a alors = a z — b. On tire de là a z ==
OU = a4- a — b X —^I'- Or a = 4096, b = 100, x = 4- et y = 5^.
Par conséquent a z = 24646- est le capital de A, 24546— celui de B. Le temps est égal à un plus de 40 ans et 9. mois. Quatrième Exemple.
Deux personnes possèdent chacune 3100 florins. La première place son argent à un intérêt composé de 4 %, l'autre cède son capital pour obtenir une rente viagère. Cette dernière place ses rentes à un intérêt composé de 4 oj^ Au bout d'un certain temps, elles
possèdent l'une et l'autre 28336 florins. On demande quel est le taux des rentes viagères.
Calcul arithmétique..
^ V^ «s — o'o- C'est le résultat demandé.
C i II (j u i è me Exe m p 1 e.
Quelqu'un divise son capital qui est de 2000 florins, en deux
parties égales, dont il ])lace l'une à un intérêt composé de 3 •', 0
par an et dont il cède l'autre pour obtenir une rente viagère de
II 04. Il place ces rentes de nouveau h un intérêt de 3 O/^^^ t't
constate enfin que le capital 'qu'il a obtenu à l'aide des rentes
viagères est trois fois plus grand que celui qui est produit par les intérêts de la première partie du capital primitif. On demande quelle est alors sa fortune? Rép. 88000 florins.
bi Ion pose 3 = p, on a az^ . Quant au temps, je
crois qu'il est de 6g ans et de 9 mois à-peu-près.
Sixième Exemple.
Deux personnes A et B possèdent chacun 7000 florins. A place son argent à un intérêt composé de 5 o^q par an, R cède son capital pour obtenir une rente viagère de 6 % par an. Il place ses rentes de nouveau à un intérêt composé de 5 ^/q. Après un certain laps de temps A a deux fois plus d'argent que R. On demande quel sera alors le capital de chacun d'eux. Rép. A a 12000 florins, R en a 6000.
L'équation est a z = -. On a posé 2 = p. Il est évident
que dans ce problème p y doit être plus grand que x, et dans le problème précédent y plus grand que p x.
Septième Exemple.
Supposons que dans le deuxième Exemple on eût demandé le temps où les héritiers de B posséderont 273729 fl. de plus que
ceux de A. Posons 273729 = b. Nous avons donc az =
a + a + bX v^ — • Je crois que l'on trouverait un temps de 431 années, 8 mois, etc., et que le capital de A serait de 635179601329097^ fl.
Cinquième Problème.
On demande de réduire une somme due au comptant à diverses
sommes égales, à payer plus tard. L'intérêt est composé.
Nous avons trouvé précédemment z = ;. Alors y = 7^ z-
Multipliez ceci par a et divisez-le par b (nous avons posé 100 = b) ;
la somme à payer annuellement est donc ■ J X r • Remplacez z
par sa valeur "t^ . \^ous trouverez ainsi pour la somme à payer annuellement
X ^ ou „ X 1,-
Premier Exemple.
Quelqu'un ayant reçu 4 tonnes d'or pour en faire G payements égaux en 6 années successives, on demande quelle somme il pourra payer chaque année, lorsque le capital produit un intérêt compo^j de 10 ^/q par an.
Alors n = G, b + x = 1 10, a =^ 400000. 1 j + X = 1 1 o
1771SG1 Xio.
On trouve Q1842 ~ fl. pour le pavement annuel.
La formule donnée est utile lorsqu'on veut faire un calcul exact. Mais si le nombre d'années est grand et que l'intérêt est un nombre fractionnaire, nous opérons comme suit. Nous cherchons
d'abord par les loi^farithmes la valeur z de la fraction ^ "^ ^ . On
la trouve en multipliant par n la différence du logarithme de b + x
et du logarithme de b ; en posant le nombre qui correspond à ce
logarithme = p, on a ap= ' ' . On trouve par là y = ~^ •
C'est là le taux qu'on devra payer chaque année. La somme à
paver annuellement est donc X , •
Deuxième E x e m p 1 c.
Soixante tonnes d'or sont reçues pour être payées en 173 années successives (payements égaux). On veut donner un intérêt
de 5 ^ ."^ <^/o de l'argent en question, et on demande quelle sera la somme à payer annuellement. Rép. 336334 ,, florins, c.à.d. en-
viron s " 0
Cherchez le lograrithme de 105 — -t~\ retranchez-en le loa;a- '^ ^ 33063 '^
rithme de 100. Il reste 0,02366829662. Multipliez ce reste par
173 et cherchez le nombre qui correspond à ce logarithme. Vous
trouvez ainsi le nombre p et à l'aide de ce nombre, sans aucune
difficulté, la réponse précédente.
Mais ceux qui ne connaisent pas l'algèbre, peuvent se servir
de la règle suivante, à l'aide de laquelle nous développerons encore
une fois le premier Exemple.
Règle.
Cherchez la valeur comptante du capital donné au temps du dernier payement (intérêt composé). Retranchez de ce résultat la valeur actuelle du capital. Le même résultat multiplié par le taux de l'intérêt, doit alors être divisé par la différence trouvée. Le quotient représente le taux qu'on devra payer annuellement.
Quatre tonnes d'or, placées à un intérêt composé de 10 0 ovalent 708624 fl. 8 sous à-peu-près après 6 ans.
fl. 708624 : 8 fl. 708624 : 8
fl. 400000 : — fî. 7086244 : —
fl. 308624: 8
On trouve 22 ~ — '^ » o- Chaque payement est donc de
7-54638 n Q1842 ^-^ — ^ norms, comme auparavant. ^ ^ 771561 ^
Si l'on avait reçu loooo florins pour en taire des payements annuels égaux, y compris un intérêt de 4 «^0- qi-ielle serait la somme à payer chaque année? En prenant le nombre d'années égal à 10, à 15, à 20 ou à 25, on trouvera à l'aide de la règle précédente :
Années.
10 1 r fl.
iS ' ' fl-
\- Payement annuel A ^
Mais si celui qui a donné l'argent veut d'abord laisser passer 7 années pendant lesquelles il ne reçoit rien, et qu'il doit recevoir le premier pavement l'année suivante, quelle sera alors la somme
18 etc
8 etc
t6 etc
2 etc
qui lui sera due chaque année? L'intérêt est le même que précédemment, et le nombre d'années durant lequel il reçoit le payement annuel est lo, 15, 20 ou 25.
Pour résoudre ce problème, calculez exactement, soit à l'aide de logarithmes soit par d'autres règles, la valeur comptante d'un florin au bout de 7 années, à un intérêt composé de 4 o/q. Multipliez le résultat par les réponses trouvées précédemment ; vous obtiendrez ainsi ce qui suit.
Années.
I 1 ^- î622 : 10 (un peu moins)
! fl. 1183:11
\- Pavement annuel -1 ,, ^,, 3 , . .
20 ' n. gO(S : 5 (un peu moins)
^5 j i^ fl. 842 : 7
Ce sont les nombres demandés.
Troisième Exemple.
Si l'on peut tirer durant 20 ans 2 0/^ d'un certain capital et
placer de nouveau les rentes à un intérêt composé de 5 0 0, quel
sera le taux auquel on devrait placer le même capital (intérêt
composé) pour obtenir en 20 ans, capital et intérêts, la même
somme que j^ar la première condition? On trouve aisément que
c est a =; — " „ environ qu on devrait iMac.er le cai)ital.
Sixième Problème.
On doit jiayer une certaine somme en versements annuels. Etant donnée la valeur comptante de cette somme, on demande de trouver le taux de l'intérêt compris dans les versements annuels.
Premier Exemple.
Supposons (jue durant 20 ans on verse 9 0 ^ d'un certain
cai^ital cju'on a reçu. On demande de- trouver le taux compris dans les versements.
TT i. I !• V . , , , b + X C
hn j)()sant 9 = c, on a cl après ce qui i^recede = •
Posant alors b + x = \', on a =
On trouM- par là: v" + ' — b + c V' v" -f- b" c =r: o.
Pour trouver la valeur de v, nous nous servirons de la règle de Monsieur Halley. i) Toutefois comme cet auteur ne montre pas la voie qu'il faut suivre pour trouver cette règle, mais seulement celle suivie par M. LaGNY 2) pour tirer exactement et avec peu de peine la racine cubique d'un nombre donné, nous commencerons par donner ici la règle pour l'extraction des racines et aussi celle pour la résolution des équations avec la preuve que nous en avons trouvée. Nous appliquerons ces règles aux exemples mêmes qui se trouvent à la fin de ..l'Arithmétique universelle" de M. J. NEWTON. 3)
Supposons qu'on veuille tirer la racine n"""^ d'un nombre tel que a" + b. Soit a + e la racine, et a le plus grand nombre entier compris dans cette racine ou plutôt une valeur qui diffère fort peu de la racine elle-même, quoique cette hyoothèse ne soit pas absolument nécessaire mais seulement la plus commode. Portez alors a + e à la puissance n ; vous trouverez
a" + -Xea"-^-r--^^^^eea"-^ + ,^3^3-
e3 a"-3 + Etc. = a" + b ou
n iiXn — I nXn — iXn — 2
b = -X ea"-'H -^ e e a" -^ + — ; — ^^
e3 a" — 3 -^ etc.
Comme a est le plus grand nombre entier compris dans la racine, il s'ensuit que e n'est qu'une fraction. Donc en général les termes e^, e'*, etc. sont fort petits par rapport à a. C'est pourquoi nous ne retenons que les deux premiers termes de la série écrite. Alors
n nXn — I , ,.., nXn — I
b ="Xea""~'+ e e a" ~ ^, le tout divise par -, sl^
Il vient
d'où l'on tire
1) E. Halley publia en 1694: »Methodus nova, accurate et fpcile invemendi radiées aequationum quarumcumque generaliter, sine praevia reducticne«. (N. d. tr.}
21 Th. F. DE Lacny publia en 1692: «Méthodes nouvelles et alrégées pour l'extraction et l'approximation des racinesw. iN. d. tr.)
3; L'ouvrage )).\rithmetica universalis« parut en 1707. N. d. tr."
Ajoutez-y le nombre a, vous aurez ainsi a + e. La racine cherchée est donc à-peu-près égale à
n — i' '^ Il — i'2 nXn — iXa"— ^
Si a est plus grand que la \Taie racine, on peut supposer que celle-ci est égale à la n''^'"^ racine de a" — b. En posant cette racine = a — e, nous aurons
I *^ in — 1,2 nXn — I X a" — i
Et comme ea"~', est beaucoup plus grand que eea"~^, c.à.d. a > -, l'expression ^^^ ne surpassera pas beaucoup la grandeur e.
i\ous avons trouve plus haut 0= — ea'^^'H —. e e a"^
hn posant ce dernier terme = o, on a b = ea""~' ou e = . Si alors on tient compte du dernier terme en v sub-
n an — 1 ^
stituant la valeur trouvée e = , on a b = n e a"" ~ ' H e b.
Un en tire e = donc a + e = a + Mais
n a" -i b n an -^ b
dans le cas où l'on doit calculer a — e, on trouve
Les formules rationnelles permettent elles-aussi de trouver une valeur approchée de la racine cherchée. La vraie racine a toujours une valeur moyenne entre celles calculées à l'aide de la formule rationnelle et de la formule irrationnelle. Cette valeur est parfois beaucoup plus près de celle donnée par la formule rationnelle que de celle donnée par la formule irrationnelle. Si l'on a l'expression a" + b, on trouve à l'aide de la formule irrationnelle une racine un peu plus grande que la racine réelle, et à l'aide de la tormule rationnelle une racine un peu plus petite. Le contraire a lieu lorsqu'on a l'expression a" — b.
Et quoique l'extraction des racines puisse dans les cas ordinaires se faire plus facilement a l'aide de logarithmes, il est pourtant nécessaire de recourir à la méthode décrite ici, lorsqu'on veut trouver les racines avec une approximation plus grande que i-elle donnée par la méthod(> des logarithmes.
Pour mieux faire comprendre tout ceci, nous appliquerons la règle aux deux exemples suivants.
On demande en premier lieu de trouver la racine cubique de 2.
En ce cas n = t, a + b = 2 ; si alors a = i, on a = ou ^ 3a 3
^- 1/ — ou 1,26. Ce sera là à-peu-près la racine cubique,
car le cube de 1,26 est 2,000376. Prenez ensuite pour a la valeur trouvée 1,26; la racine cubique cherchée deviendra alors 0,63 +
y 3,969 ' — s ^ '^'^^ *^'^3 "*" *^ 3,968005291005291. ce qui est
égal à 1,259921049895. On voit donc, que pour trouver en 13 chiffres la racine cubique de 2, on n'a fait autre chose ici qu'une division et que l'extraction d'une racine carrée. On aurait beaucoup de peine à obtenir le même résultat par un calcul arithmétique. On peut continuer ce raisonnement aussi longtemps qu'il
e3 nous plaira. 11 faut augmenter alors de .r le nombre dont on ^ '^ 3,a
veut extraire la racine cubique. Le résultat de cette dernière opération se réduit d'ailleurs à augmenter d'une unité le 14'^™^ chiffre de la racine.
Cherchons en second lieu la racine cubique de 231. Le plus grand nombre cube qui y est compris est 216, dont la racine cubique est 6. Alors a = 6 et le reste b=i5, de sorte qu'on
a comme première approximation, 3 +k 9 + ^ = a+e. La
racine carrée de 9,8333 etc. est 3.1358, etc., de sorte que a + e = 6,i358. En posant ce dernier nombre = a, nous trouvons a^ = 231,00085894712, et d'après la règle on trouve
1 /" 0,000853894712 . '.fi.
3,0679 -\- Y 9,41201041 o- „' ■ te qui représente tort
exactement la racine cubique du nombre donné. Cette racine est 6,13579243966195897: ce nombre est correct jusqu'au 18"^"^^ chiffre. A partir du ig't™^ chiffre il y a une divergence. La formule irrationnelle est préférable à la formule rationnelle à cause des grands diviseurs de cette dernière formule, dont on ne peut se servir qu'avec beaucoup de peine, tandis que l'extraction de la racine carrée est bien plus simple comme l'application des formules à de nombreux exemples nous l'a fait voir.
Pour trouver la racine d'une équation, nous remarquons que
•cette racine se compose de deux parties a + ou — e, dont la première a est censée comme auparavant ne différer que fort peu •de la vraie valeur de la racine. Supposons que l'équation donnée soit
1 z" + k z" - ^ + h z" - ^ + g z" - 3 + f z" - 4 + d z" - 5 etc. = q,
«t qu'on doive en tirer la vraie valeur de la racine z. Posons z = a + e et agissons comme suit. Lorsque a est plus petit que la racine, on peut écrire
1 z" =: a'M + n a" ' le -| a" ^ 1 e e H
a"-3le3 + etc.
Il— iXn-
k z" - ' = k a" - • + n — I X a"- ^ k e + $ k e e a"- 3 + etc.
n — 2Xn-
h z" - ^ = h a" - -^ + n — 2 X a" - 3 h e H ^ h e e a" - ^ + etc.
€tc. = etc.
Lorsque a est plus grand que la racine, de sorte que a — e = z. il faut donner le signe — à tous les termes qui contiennent une puissance impaire de e, savoir e, e3, e^, e^ etc., et le signe + à tous les autres. Ici nous avons donné le signe + à tous les termes de l'équation, mais si l'on a par exemple — kz"~' et que a 4- e = z, il faut écrire , . JZ3
— a" - ' k — n — 1 X a" - -^ k e — " — '^" ''^" ^ a" - 3 k e e — etc.,
en d'autres termes, tous les signes changent. Posons alors la somme de tous les nombres de la nouvelle équation qui ne contiennent pas e, donc a" 1 + a"~" k + a"~ - h + etc. — q = b; la somme de tous les nombres qui ne contiennent e qu'à la première puissance, = s; celle des nombres qui contiennent e e = t, qui contiennent e3 = u, qui contiennent e-* = w, etc. Par somme de tous les nombres nous entendons ici le résultat d'une addition, où l'on tient compte des signes -f et — placés devant ces nombres. Mais comme nous avons supposé cjue e n'est qu'une petite partie de la racine cherchée, on peut, dans la première hypothèse, négliger tous les termes qui contiennent des puissances supérieures à e e. On a donc
qzbrtse — tee = o. On doit remarquer que dans cette formule s et b ont toujours des signes opposés. 11 s'ensuit que e
lorsque b et t ont le même signe, mais que e = 2^'^ y 4^^+ ^
t lorsque leurs signes sont différents.
Pour mieux faire comprendre tout ceci, nous prendrons quelques exemples.
Soit z* — 3zz + 75z= loooo. Alors n = 4, 1 = i, k = o, b = 3, g = y^ et q = Toooo. Posons a = 10.
Alors lz" = -|-a'*. .4a3e + 6aaee. .4ae3 4-e'' — hz"~^ = — haa. . 2hae — hee -L-gz"-3 = + ga . . ge.
Comme nous ne savons pas encore si a est plus grand ou plus petit que la vraie valeur de la racine, donc s'il faut donner à e le signe + ou le signe —, nous examinons si l'expression + a"* — haa-f-ga — q est positive ou négative. En remplaçant toutes les lettres par leurs valeurs, on voit que b a le signe +. La somme de tous les termes qui contiennent e doit donc avoir le signe — , et comme l'expression 4 a^ + g est plus grande que 2 a h (ces deux doivent avoir dans le cas considéré des signes opposés), il faut prendre — 4 a-\ Il s'ensuit que z^= a — e et qu'il faut prendre — e, — e3, — e^, etc. lorsque ces puissances correspondent à des termes positifs, mais le signe opposé lorsqu'elles correspondent à des termes négatifs. On trouvera donc
+ 1 z" = + lOOOo — 4000 e + 600 e e — 40 e-^ + C'*
— q = — loooo
Alors 450 = b, 4015 = 5, 597 = t. En négligeant les termes qui contiennent e^ et C* à cause de leur petitesse, on a 597 e e — 4015 e
