Celli-ci l\ un pavement annuel de n ' " „ durant 20 ans
' - ' lOOOO
5- Celle-ci est équivalente à un pavement annuel de 8 - — •> ^
^ ' lOOOO ' "
durant 20 ans.
Pour faire voir la différence, les fractions sont toutes réduites au dénominateur loooo.
Septième Problème.
Supposons qu'une certaine somme nous soit due au bout d'un nombre donné d'années et que nous recevions annuellement un certain intérêt jusqu'au moment oij l'on nous paye la somme entière. On demande la valeur comptante de cette somme, l'intérêt étant connu.
Supposons que nous ayons tiré 1 00000 fîorins de la loterie de 171 1, qu'on doive nous les payer en 1726 et que nous recevions de plus une rente de 2 %. On demande la valeur comptante de cette somme, l'intérêt annuel étant de 5 0/0 .
Si l'on considère les rentes qu'on nous paye comme une somme d'argent que nous recevons en payements annuels, on peut réduire ces rentes en argent comptant à l'aide des tables de l'intérêt. En y ajoutant alors la valeur comptante de la somme elle-même, on a le résultat demandé.
On peut également faire le calcul à l'aide des tables de logarithmes. Cela n'a aucune difficulté. Toutefois nous ferons usage d'une méthode qui n'exige pas l'emploi des tables de logarithmes.
On trouve ensuite à l'aide de la progression géométrique écrite ci-dessous la valeur totale au bout de 15 ans.
îi! — — ^i— 2000
lOOOOO
fll. 143157 : 2 : 8 au bout de 15 ans. Au bout de 15 ans Comptant x^u bout de 15 ans i Comptant
207892818 — loooooooo — 143157 > fl. G8861 : o: 8
C'est là le résultat demandé.
Cette règle de trois que nous avons appliquée à la iîn du calcul et qui nous a servi à trouver la valeur comptante de la somme donnée au bout de 15 ans peut être remplacée par le calcul suivant qui ici est un peu plus long, mais dont on peut se servir avec avantage lorsque le nombre d'années est grand.
Multipliez l par fl. 143157:2:8, ce produit par — . le nouveau
produit par ;^ et ainsi de suite par toutes les fractions, jusqu'à
ce que le produit devient négligeable. Ajoutez ensemble les résultats de toutes les multiplications de rang impair, donc ceux de la première, de la troisième, de la cinquième, de la septième, etc. retranchez-en la somme des produits de la deuxième, de la quatrième, de la sixième et de la huitième, etc. ; le reste est ce qui doit '^tre retranche de la somme pour nous faire obtenir la valeur comptante. Voici la série des opérations:
fl- ^43157: 2:8 34^8^^ ^. gi 105^^:4 ..
o I 7 /'^JJ . ^ . v^ 25:1:4
fl.
fl.
fl.
fl.
fl.
fl.
fl.
fl.
fl.
fl. 34085 : o : 9-
fl. 1004 : 15 : 8
fl. 8: 7: I-
fl. — : — : 7^
fl- 35098 : 3:10-
o : 8 comme précédemment.
Huitième Problème.
De la Combinaison et de la Division des Lots dans les Loteries dont nous avons parlé.
Premier Exemple.
Supposons que quelqu'un ait tiré 100000 florins de la loterie de 1711, à recevoir après 15 ans, et 20000 florins, à recevoir après 30 ans, et qu'on veuille combiner les deux prix en un seul de 120000 florins. On demande après combien d'années il devra recevoir ce prix (les rentes annuelles de 2400 florins qui lui sont dues, étant payées à la même époque 1, si l'intérêt annuel est de 5 0/0, et qu'on prend l'intérêt composé comme dans tous les problèmes précédents.
Nous calculerons le résultat sans aucun tâtonnement à l'aide des tables de l'intérêt. D'après la solution du Problème précédent
la valeur comptante des deux prix est de fl. 79637 — . Posons ce
nombre = b. Soit 1 00000000, le nombre qui a été choisi pour calculer les tables, = a. 5 », q veut dire i fl. sur 20 fl. Soit 20 = c. Soit 2400, le nombre de florins qu'on reçoit comme rente annuelle, ^ d. 2 «o veut dire 1 sur 50. Soit 50 = e. Alors la somme des prix est e d. Soit x le nombre qui correspond dans la table de l'intérêt avec le nombre d'années que nous devons chercher.
ex — C a de X — d c a
à cause de 1 intérêt,
A l'époque Comptant
dcx — dca , 1^1 àca eda
X a 1- e d ; de 1
, dca eda , de H = b
bx — dcx = eda — dca
Xad.
b — de
En remplaçant alors les lettres par des nombres, on trouve X -^ 227577628. Et en cherchant ce nombre dans les tables de l'intérêt, on trouve ce qui suit
17 x\ns 229201832 227577628
16 Ans 21828745g Jours 218287459
10914373 — 365 9290169 J 310^ Jours.
Le prix doit donc être payé après 16 ans et 310 jours, hn
se servant de logarithmes on trouve 311 jours à-peu-près ; mais la première valeur est plus exacte. Et en prenant un intérêt de 6 <>/o, on trouvera environ t6 ans et 273 jours.
Deuxième Exemple.
Quelqu'un a pris 40 lots dans la loterie hollandaise de 12 millions de florins (dont les prix de la première classe ont été payés le premier Mars de l'année 1713). Le résultat du tirage est donné ci-dessous. On désire combiner ces lots de manière à en former une classe unique, la rente étant payée à partir de l'époque où l'on trouvera que le tirage de cette classe doit avoir lieu. Si l'on trouve une partie d'une année, on recevra la i)artie correspondante de la rente. A l'rpcxjue trouvée on reçoit tous les prix (ju'on a tirés.
.'lasse
Prix
Florins
Prix à recevoir plus tard
V'aleur comptante (5 %)
Par an
fl.
fl.
40 lots
i fl- 33235 fl- 20959 : 14 : 3 I fl. 760 par an
Par l'a r i t h m é t i q u e.
fl- 20959:14 » 15200: —
fl- 5759:14
D 5777600 deniers
115194 sous C 1843104 deniers.
Ajoutez huit zéros au nombre C et divisez le résultat par D. Vous trouverez ainsi 313470677 ^ Cherchez ce nombre dans la table de l'intérêt (5 o/o), vous trouverez 24 Ans 322509994 313470677^
23 Ans 307152376 Jours 307152376
I \ Il vient : 150 jo f a-peu-pres.
urs
Le résultat demandé est donc: 23 ans et 150^^ jours. Si l'on avait pris un intérêt de 6 « 0, on aurait trouvé 23 ans moins —jour
c'i-peu-près. Et si dans ce dernier cas on avait pris la moyenne des temps, comme quelques personnes le font, on aurait trouvé que l'époque où les prix doivent être payés, tombe environ 206 jours plus tard.
Troisième Exemple.
Supposons que quelqu'un ait tiré 1 00000 florins, à recevoir après 15 ans comme précédemment, et qu'on veuille diviser ce prix en deux autres, dont le premier doit être payé au bout de 6 ans et le second au bout de 30 ans.
On demande de combien de florins chaque prix doit être, l'intérêt annuel étant de 5 o/q tant pour le prix unique que pour les deux prix. Dans les problèmes suivants on reçoit annuellement un intérêt de 2 "/o- ■
Nous avons trouvé plus haut qu'une tonne d'or à recevoir après 15 ans vaut au comptant avec les rentes et les intérêts de ces rentes fl. 6886t : o : 8. Calculez ensuite la valeur comptante d'une tonne d'or à recevoir après 30 ans avec les rentes et leurs intérêts. On trouvera fl. 53882 : 12 : 15. Calculez aussi la valeur d'une tonne d'or à recevoir après 6 ans (avec les intérêts). Vous trouverez fl. 84772 : 18:7. (On peut trouver aussi ces nombres dans les listes imprimées, dans lesquelles les prix ont été réduits en argent comptant). On trouve alors le résultat demandé à l'aide de l'application suivante de la règle de trois :
fl. S4772 : t8: 7 c -t ] ^- ^^^^^ : o : 8
fl. 53882: 12: 15 ^^ fl. 53882: 12: 15
fl. 30890 : 5 : 8 — loooooo — fl. 14978 : 7 : 9
un peu plus de fl. 48488 : 19 fl. Tooooo : —
fl. 51511 : o
8, à recevoir après 6 ans
à-peu-près, <\ recevoir après 30 ans.
Nous ne développerons pas les 4 problèmes qui suivent, parce que leur solution est absolument évidente d'après ce qui précède, et qu'ils peuvent être résolus fort aisément par un calcul arithmétique élémentaire, le premier d'après le 2"^*"' Exemple et les 3 derniers d'après le 3''='"'= Exemple de ce Problème.
Quatrième Exemple.
Supposons qu'on ait tiré un prix de loooo florins, à recevoir après 15 ans, et qu'on veuille diviser ce prix en deux autres, dont le premier doit être de 40000 fl. à recevoir après 6 ans et le second de 60000 fl. On demande à quelle époque ce dernier devra être payé, l'intérêt étant de 5 ^/q par an. Réponse: après 24 ans
et 140 ^ jours à-peu-pres.
Cinquième Exemple,
Supposons qu'on ait tiré 1 00000 fl. à recevoir après 15 ans et qu'on veuille diviser ce prix en 6 autres, dont les 5 premiers doivent être égaux entre eux et doivent être reçus après 6, 9, 14, 17 et 24 ans respectivement, tandis que le sixième doit être reçu au bout de trente ans. On demande quel doit être le montant de chaque prix. Réponse : les 5 premiers doivent être de fl. 16806 : TT : 5 chacun et le dernier de fl. 15967 : 3 '• 7 à-peu-près.
Mais si dans le problème précédent, la question posée étant la même, on désire que les 5 premiers prix ne soient pas égaux entre eux, mais que le premier soit au deuxième comme 2 est à 3, le deuxième au troisième comme 9 est à 10, le deuxième au quatrième comme 4 est à 3, le quatrième au cinquième comme 9 est à 17, on trouvera
fl. 12553 : T2 : 8— après 6 ans à-peu-près
» 18830 : 8:12- après 9 ans
» 20922 : 14 ; 3— après 14 ans
» 14122 : 16 : 9 — après 17 ans » 26676 : 9 : 1 — après 24 ans » 6893 : 18 : 12 — après 30 ans.
Septième Exemple.
Supposons comme précédemment qu'on ait tiré une tonne d'or, à recevoir après 15 ans, et qu'on veuille diviser ce prix en 6
autres prix formant une progression arithmétique. Le premier prix doit être payé au bout de 2 ans, les cinq autres après 6, 9, 14, 17 et 30 ans respectivement. On demande quel doit être le montant de chaque prix. Réponse
il. 5715 : I : Il — après 2 ans
> 10095 : 14 : 5 après 0 ans
> 14476 : 7 : o — après 9 ans
» 18856 : 19 : 10 — après 14 ans
» 23237 : 12 : 4 — après 17 ans » 27618: 4: 15 après 30 ans.
Neuvième Problème.
On demande quel sera l'avantage de l'organisateur de la loterie suivante, en d'autres termes combien de o/q il gagnera.
Il y a 26000 lots dans la loterie à 20 fl. la pièce. Tandis que dans les autres loteries on retient 8 % des prix, ici on n'en retient que 2 Vo- Les prix sont les suivants:
Prix
de
Florins
Prix
de
Florins
TOOO
Il y a donc en tout 4030 prix, dont la valeur totale est de
397120 florins, de sorte qu'il y a un peu moins de 5 non-valeurs
contre i prix. Ce qui rend cette loterie avantageuse pour les joueurs plus que les autres, c'est qu'avec un seul lot on peut tirer différents prix, de 50000, de 30000, de 20000, de loooo florins, etc. Lorsque le tirage a lieu, les billets gagnants sont mis ;\-part. Ensuite on met de nouveau dans l'une des boîtes tous les prix et toutes les non-valeurs de la loterie et dans l'autre les billets (jui
ont déjà gagné un prix. Au deuxième tirage ces billets peuvent donc gagner de nouveau des prix et tous les prix qu'ils gagnent doivent être payés. On continue à distribuer les prix de la même manière, jusqu'à ce que tous les billets ont tiré une non-valeur. On voit donc clairement qu'un seul lot peut tirer 4 fois ou 5 fois de suite ou davantage, le prix de il. 50000. On trouvera aisément
que 1 organisateur de la loterie devra payer bo —, tiorins seulement chaque fois qu'il en reçoit loo.
Mais avant de finir ce traité nous nous sentons obligés de dire que nous avons appris, après que la page 58 avait déjà été imprimée, que dans la loterie de Lorraine (voir page 48) il y avait encore une condition au désavantage de l'organisateur de la loterie. Notre erreur provient de ce que nous avons consulté trop tard là-dessus la deuxième édition de ,, l'Analyse" et que le projet de la loterie nous avait été communiqué par écrit par quelqu'un qui avait omis la dite condition du tirage. C'était la suivante. Tous les billets des joueurs sont dans une boîte, tous les prix dans l'autre boîte. On tire alors un billet et un prix, et après avoir noté le résultat, on écarte le prix, mais le billet est remis dans la boîte, de sorte qu'un même billet peut tirer beaucoup de prix ou même tous les prix. On voit que plus une même personne gagne de prix, plus grand aussi est le désavantage de l'organisateur de la loterie. En effet, si un seul joueur gagnait tous les prix, l'organisateur devrait rendre leur argent à tous les autres joueurs. En ajoutant cette condition aux autres on trouvera, en faisant le calcul pour le cas du jeu aux dés analogue à cette loterie, 184064 fl. et environ 10 sous, ce qui est le résultat trouvé par ces Messieurs. Cela n'empêche pas toutefois notre méthode et notre résultat trouvé à l'aide de cette méthode d'être bons, vu que la méthode s'applique exactement au problème tel que nous nous l'étions proposé.
