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Rente totale J'ai trouvé d'après les données des Livres des Rentes Viagères payée aux qu'en moyenne un groupe de 224 jeunes filles en-dessous de dix

ieunes filles. i , -, , , . , , • ^ i i

•' ans, dont on avait assure la vie, ont tire leurs rentes pendant un

peu plus de 44— années. Parmi elles il y en avait 14 en-dessous

de I an, 18 entre i et 2 ans, 17 entre 2 et 3 ans, 25 entre 3 et 4 ans, 18 entre 4 et 5 ans. Les autres au nombre de 132,

étaient âgées de 5 à 9 ans. Ces dernières ont vécu 45- années en

moyenne, et les premières, au nombre de 92, un peu plus de

43 ans.

Et aux jeunes De même 274 garçons en-dessous de 10 ans dont on avait

gens. assuré la vie ont tiré leurs rentes pendant un peu moins de 41

ans, en moyenne. Parmi ces garçons il y en avait lo en-dessous

de 1 an, 29 entre i et 2 ans, 30 entre 2 et 3 ans, 29 entre 3

et 4 ans, 25 entre 4 et 5 ans; les autres étaient âgés de 5 à 9 ans.

Moyenne. Le nombre total des filles et des garçons dont nous venons de

parler est de 498. Ils ont en moyenne tiré leurs rentes pendant

42— années; mais si l'on ne considère que les 151 garçons âgés

de 5 à 9 ans et qu'on y ajoute les 132 filles du même âge, on trouvera que ces deux derniers groupes ont obtenu leurs rentes

pendant un peu plus de 43— ans, en moyenne.

Rente totale 526 femmes en-dessous de 20 ans ont tiré leurs rentes viagères

payée aux en- j - ï / , , , ,. .

pendant 41— années en moyenne, et S47 hommes du même asre

fants en-des- '■ 4 -' ' ^^ ' '^

sous de 10 ans. j j. o ^ ' t^ i 1 11

pendant 38— années en moyenne. Ln prenant la somme des deux

on voit que 1073 personnes des deux sexes ont en moyenne tiré leurs rentes pendant 40 ans à fort peu près. Que l'on ne m'objecte point que les nombres précédents sont trop petits pour que l'on puisse en tirer la vraie moyenne du nombre d'années pendant lequel les assurés obtiennent leurs rentes : ceux qui connaissent bien les règles du calcul des chances peuvent aisément voir le contraire.

Le tableau qui se rapporte au sexe masculin fait voir qu'on a pris une assurance pour 100 garçons de o à 4 ans ; pour 1 10 garçons de 5 à 9 ans; pour 108 garçons de 10 à 14 ans, etc. Tous ces nombres sont reliés dans le tableau par une ligne qui descend de plus en plus. A côté d'eux on trouve les nombres qui indiquent combien

de personnes vivaient encore, de 5 à 5 ans ; ils ont été calculés d'après les dates des décès. Toutefois j'ai admis dans ce tableau que tous les hommes n'ont vécu que jusqu'à la fin du semestre précédant celui pendant lequel ils sont décédés. Les colonnes horizontales écrites à la suite des nombres de personnes assurées sont appelées colonnes des nombres simultanés, parce que les personnes auxquelles ces nombres se rapportent ont acheté une assurance à-peu-près à la même époque. Mais pour éviter les inégalités dans les nombres des décès, lorsque ces nombres deviennent petits, et parce que peu de personnes âgées assurent leurs vies et qu'on ne pourrait donc faire un calcul exact relatif à ces personnes âgées, je prends les sommes de quelques nombres, comme on peut le voir dans les tableaux, et je suppose que les autres personnes assurées achètent une nouvelle assurance tous les 5 ans. On trouve que les sommes dont j'ai parlé sont à-peu-près proportionnelles aux ,, nombres simultanés" qui se rapportent aux mêmes années; et il en sera toujours ainsi, même quand on ajoute ensemble des nombres de personnes du même âge empruntés aux livres de différentes compagnies d'assurance, à condition d'exclure les périodes de grande mortalité, car celles-ci pourraient avoir influence sur une liste et non pas sur une autre, au moins pour les personnes d'un certain âge, et ainsi il n'y aurait plus de concordance.

Les tableaux précédents nous conduisent à une foule de conclusions remarquables. La vie humaine sera généralement encore un peu plus longue qu'on ne le dirait d'après ces tableaux, parce que je n'ai tenu compte que des semestres entiers pendant lesquels les personnes considérées ont vécu, et qu'elles avaient déjà dépassé d'une fraction le nombre d'années qui est pris pour leur âge. En revanche elle sera en moyenne un peu plus courte parce qu'on choisit les personnes pour lesquelles on achète une assurance; nous pouvons être certains au moins qu'elles n'étaient pas fort malades lorsqu'on assura leurs vies. On voit d'après les tableaux précédents qu'il y a une grande différence entre la vie des hommes et celle des femmes, différence qui mérite d'être prise en considération dans le calcul des rentes. Personne que je sache n'y a cependant eu égard; c'est pourquoi j'ai pris la peine moi d'en tenir compte dans mes calculs. Les rentes indiquées dans le tableau suivant n'ont pas été calculées d'après les sommes payées par chaque individu, mais dans l'hypothèse que chaque personne a

été assurée pour la même somme, ce qui revient au même, car quoiqu'on hasarde plus dans un cas que dans l'autre, la chance de profiter de l'assurance est néanmoins en moyenne égale pour les personnes de tout âge, pourvu que la grandeur des rentes soit bien déterminée.

Rentes via- Je trouve pour la valeur des rentes viagères, pour le sexe

gères payées a féminin, de 5 à 5 ans, le tableau suivant <les femmes.

De 5 à 9 ans

în classes

D'après le tableau

fl. 193Ô

fl. 193I

Sans impôt fl. 4:3

Avec impôt

fl.

Payements égaux An Mois

Explication du Tableau précédent.

La colonne A représente la somme comptante qu'on doit payer pour obtenir une rente viagère de 100 florins par an, dont la cinquième partie est due à l'Etat, de sorte qu'il reste fl. 80. Le

taux de l'intérêt des rentes amortissables est de 2^0/0. Pour plus

de brièveté j'ai supposé que les rentes viagères ne soient payées qu'à la fin de chaque année, supposition qui ne conduit pas à des calculs fort inexacts; car une somme comptante de fl. 100,

placée à un intérêt composé de 2 % par an, vaudra fl. 268 et 10 sous au bout de 40 ans, et la même somme, placée à un intérêt composé de i ^/^ par semestre, vaudra fl. 270 et 4 sous

.au bout de 80 semestres; la différence n'est que de fl. i et 14 sous. De plus l'augmentation du capital obtenue par ce dernier place- •ment (qui est df o environ) est réduite à fort peu de chose, si en calculant les sommes comptantes d'après les valeurs finales on procède aussi par semestres. J'ai pris pour les nombres annuels des décès des nombres formant autant que possible des séries régulières, de telle sorte que de 5 à 5 ans ces nombres ■s'accordent avec les vraies valeurs. Quant aux irrégularités provenant des inégalités de ces dernières valeurs, ainsi que des différences annuelles entre les nombres de personnes appartenant à une même classe de 5 années, je les ai laissées telles qu'elles étaient, sans y apporter aucun changement qui eût régularisé la série formée par les nombres successifs que expriment les valeurs comptantes.

Pour compenser ces irrégularités, je calcule d'abord — en partant des tableau donné plus loin pour la vie et la mort des femmes et qui est basé sur le tableau des femmes que nous avons donné

plus haut — les rentes viagères pour des jeunes filles de 7 ans, puis pour des jeunes filles de 12 ans, et ainsi de suite, de 5 à 5

ans ; ce (|ui s'accordera à-peu-près avec les classes de 5 à 9 ans, de To à 14 ans, etc.; les nombres ainsi obtenus et qui forment la colonne R forment une série assez régulière. Et comme ces nombres, lorsqu'on exclut les irrégularités du premier tableau, s'accordent assez bien avec l'expérience, il s'ensuit que dans le tableau des femmes que nous donnerons plus loin, la vie des femmes n'est prise ni trop courte ni trop longue.

La colonne C donne les nombres des florins et des sous qui forment les rentes viagères que chaque personne de l'âge indiqué doit tirer annuellement de ses fl. 100, s'il n'y a pas d'impôts et qu'on reçoit 2 % par an de l'argent placé. Tous ces nombres ne sont déterminés qu'à un demi-sou près. La colonne D donne les nombres correspondants, lorsque la septième partie est due il l'Etat.

La colonne E donne le nombre d'années et de mois pendant lesquels on a droit à un payement égal à la rente viagère. Exemple: la valeur comptante des rentes viagères pour une jeune fille âgée de lo à 14 ans, est de fl. 1840. On en tire fl. 80 par an, en tenant compte de l'impôt. Or si, à cause de l'incertitude de la vie humaine, on voulait immédiatement après l'achat échanger le droit qu'on a obtenu contre celui d'une rente annuelle de fl. 80 à payer soit à l'acheteur soit à ses héritiers, on peut se demander pendant combien d'années on aurait droit à cette rente. Pour trouver la réponse j'agis comme suit. Je multiplie d'abord fl. 1840

par 2—, ce qui représente l'intérêt annuel que l'acheteur doit

recevoir pour une somme de fl. 100. Le produit est de fl. 4600. Retranchez ce nombre de 80 fois fl. 100, c. à. d. de fl. 8000 ; il reste fl. 3400. En retranchant le logarithme de ce dernier nombre de celui de 8000, on trouve un reste de 0,371611; en divisant

ceci par le logarithme de — , on obtient 34 ans et 8 mois. Mais

si l'on suppose que les rentes viagères et les intérêts doivent être payés tous les semestres, il faut diviser par le logarithme de

^x— ; le nombre des mois est alors diminué de trois. 80 '

Le tableau suivant qui se rapporte au sexe masculin a été

composé de la même manière et sert au même usage que le

tableau précédent qui se rapportait aux femmes.

Les rentes viagères pour le sexe masculin.

Payements

D'après le

égaux

En classes

tableau

Sans impôt

Avec impôt

An Moi

3e 5 à g ans

fl. 1856

fl. 1823

fl. 4:8

fl- 5

M JO à 14 ,,

,, lï

Si l'on prend 4 % pour le taux des rentes amortissables, je

trouve 5^ % en prenant la moyenne entre les rentes viagères

dues aux jeunes tilles de 5 à 9 ans et celles dues aux jeunes

filles de 9 à 14 ans; le nombre 5 se rapporte donc, peut-on dire,

à une jeune fille de 10 ans. Pour un garçon du même âge je

trouve 5|- %, en ayant égard à l'impôt. Pour un mrme nombre

de garçons et de filles, la valeur moyenne de la rente viagère est

donc de 5 % ; ce nombre n'est supérieur que de ^^ % h celui

que j'ai trouvé d'après les registres des décès de la ville de Londres. Les tableaux et les calculs précédents ne sont pas basés sur

des hypothèses, mais véritablement sur l'expérience; en effet, les nombres employés proviennent des Livres des Rentes Viagères composés par ordre du gouvernement. J'ai fait un fidèle usage de ces Livres: je pourrais montrer la copie de l'année et du jour où chacun a assuré sa vie, de l'âge de la personne assurée, et du temps précis, c. à. d. de l'année, du mois et du jour où chacune d elles est morte, excepté quelques-unes dont on n'a pu savoir la date du décès et dont on s'est contenté d'indiquer la date jusqu'où elles ont reçu leurs rentes. Je n'ai omis personne et pour le petit nombre qui vivaient encore en 1738 j'ai ajouté à l'aide du calcul des probabilités le temps pendant lequel on pouvait admettre qu'ils vivraient encore. Je dis ceci pour qu'on ne soit pas amené à penser que je veuille me mêler à la dispute entre M. JOHAN VAN DER BURG, Seigneur de Sliedrecht, et M. Wll.LEM KerSSEBOOM et que j'aie choisi mes nombres pour donner raison à l'un deux. Il m'est parfaitement égal lequel des deux a raison ; je ne cherche que la vérité et j'estime que si des personnes impartiales tiraient les chiffres des rentes viagères d'autres Livres et en d'autres pays, en considérant toutes les personnes qui ont acheté une assurance peu avant ou peu après 1672, les divisant en classes et notant les nombres d'années pendant lesquelles elles ont tiré leurs rentes, de la même manière que j'ai fait ci-dessus, elles arriveraient à un résultat à-peu-près identique. A des époques plus reculées une épidémie de peste, surtout si les assurances avaient été achetées peu avant le commencement de cette épidémie, pouvait diminuer le nombre moyen d'années pendant lesquelles les rentes étaient payées; j'estime que dans ces cas exceptionnels le profit devrait être pour l'Etat pour compenser les pertes qu'il peut avoir dans les temps où la santé est bonne.

On peut obtenir journellement à la Haye des assurances pour des personnes arbitrairement choisies, à un intérêt annuel de 6 o/qc. à. d. de 5 0/0 en tenant compte de l'impôt 1 ). Les acheteurs qui assurent des jeunes filles de 5 à 9 ans, recevront (si l'on exclut les fortes mortalités) un intérêt de 3^- «/q de l'argent qu'ils ont placé ; et un intérêt d^ 3 - ''/o lorsqu'il s'agit de garçons du

l) D'après un traité, imprimé à la Haye en 173S, p. 25.

même âge. Sur chaque assurance qui lui procure fl. 80 par an (en tenant compte de l'impôt), l'acheteur gagne fl. 362^ au comptant pour une jeune fille et fl. 254^ pour un garçon de l'âge indiqué ; outre les 2— O'o d'intérêt qu'il doit recevoir annuellement. Le gain est calculé d'après la colonne B ; il serait un peu plus grand encore si l'on voulait se servir de la colonne A.

Pour calculer les rentes viagères pour des âges déterminés, de 5 à 5 ans, — - car on peut aisément déterminer ensuite les nombres qui correspondent aux âges intermédiaires — je calcule d'après la table des hommes qui se trouve plus bas, que l'assurance achetée pour un garçon de 5 ans vaut fl. 1832; et d'après la table des femmes qui suit celle-là que l'assurance achetée pour une jeune fille du même âge vaut fl. 1928; dans les deux cas on a pris

2 ^ 0/0 pour l'intérêt des rentes amortissables. Quant aux autres

nombres, je les trouve rapidement de la façon suivante. Prenons un exemple, celui d'un homme âgé de 20 ans précis: il faut calculer la valeur de son assurance. Dans la table (pag. 221) on voit que cette valeur est de fl. 1608 pour la classe de 15 à 19 ans, et de fl. 1504 pour la classe de 20 à 24 ans. La somme est de fl. 3112, et la demi-somme de fl. 1556; c'est la valeur cherchée. J'ai fait de même dans tous les autres cas. Dans la table suivante la colonne A donne la valeur de l'assurance pour les hommes, la colonne B celle pour les femmes; la colonne C la moyenne des deux, pour des nombres égaux de personnes des deux sexes. J'y ai ajouté (colonne D) la valeur des assurances d'après la table de M. Halley, qui se rapporte aux deux sexes ; M. JeaN FRÉDÉRIC Berewout a fait des calculs exacts en partant de cette dernière table.

ans

Age Hommes Femmes Moyenne Halley

fl. 1832 fl. 1928 fl. 1880 fl. 1816