U II

Quatrième Problème.

On demande le nombre de coups différents qu'on peut faire avec un nombre donné de dés.

Par , .coups différents"' nous entendons ici non pas seulement les coups qui donnent des nombres différents de points: nous voulons considérer toutes les diverses manières dont les côtés des dés peuvent être combinés entre eux.

D'abord, de deux dés ordinaires que nous nommerons A et B, le T. le 2, le 3, le 4, le 5 et le 6 de A peuvent chacun être jetés en même temps que le i de B, de la même manière le i, le 2, le 3, le 4, le 5, et le 6 de A peuvent se combiner avec le 2 de B, etc. On trouve donc en tout 36 coups; de même 216 coups pour trois dés, et 1296 coups pour 4 dés, d'où l'on tire la règle générale, quel que soit le nombre donné de dés, et quel que soit celui de leurs côtés. Pour trouver tous les coups différents, le nombre des côtés du dé doit être multiplié par lui-même un nombre de fois égal à celui des dés. C'est ainsi qu'on obtient le nombre demandé.

On m'a demandé s'il n'est pas également probable de jeter du premier coup 9 six avec 9 dés ordinaires, ou de tirer aveuglément d'un sac qui contient 54 boules, à savoir 9 marquées 6, 9 marquées 5, 9 marquées 4, 9 marquées 3, 9 marquées 2 et 9 marquées i, d'en tirer, dis-jc, du premier coup les g boules marquées 6. A j^remière vue les deux cas paraissent à-peu-près identiques, mais en réalité il est plus de 500 fois plus facile de jeter du premier coup les 9 six, que de tirer du sac les 9 boules marquées 6. Car le nombre de coups possibles avec les neuf dés est 6" ou t 00 7 7696, et par le Problème précédent on trouve que les combinaisons de 54 boules 9 à 9 sont au nombre de 5317936260, de sorte qu'il y a 1 chance contre 10077695 de jeter du premier coup les neuf 6 ; mais la probabilité de tirer les 9 boules du sac est t : 5317936259. On aperçoit nettement la raison qui fait que les dés peuvent être

combinés entre eux d'un moindre nombre de manières : le i du premier dé ne peut être jeté en même temps que le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6 du même dé, mais les boules peuvent être combinées entre elles de toutes les manières.

Cinquième Problème.

On demande de combien de manières on peut avec un nombre donné de dés jeter des nombres donnés de faces pareilles, à savoir les unes une fois, les autres deux fois, d'autres encore trois fois, etc., soit qu'on détermine d'avance quelles seront les faces qui se présenteront le nombre donné de fois, soit qu'on laisse cela indéterminé ; et quelle est la chance d'une personne qui parie de jeter du premier coup les nombres donnés de faces pareilles.

Premier Exemple.

Supposons qu'on ait 9 dés ordinaires et qu'on parie de jeter tout-de- suite 3 six, 2 cinqs, i quatre, i trois, i deux et i as; il faut donc examiner de combien de manières on peut des 9 six prendre les 3 six demandés. A l'aide du troisième Problème on trouve que cela peut se faire de 84 façons. Restent alors encore 6 dés. Considérant de combien de façons on peut des 6 cinqs qui s'y trouvent en obtenir 2, on trouve que cela peut se faire de 15 manières. Après cela on a encore 4 dés; on peut avec eux obtenir un quatre de 4 façons. Avec les trois dés qui restent on peut jeter un 3 de 3 manières; ensuite avec les 2 dés qui restent un 2 de deux manières ; et enfin le dernier dé ne peut donner le résultat demandé que d'une seule manière. Le nombre total des coups possibles avec les 9 dés est d'après le troisième Problème 69 ou 10077696. La partie de l'enjeu auquel la personne qui a parié a droit est donc

— ou ou — T~.

Le numérateur de la deuxième fraction donne le nombre des manières différentes dont on peut jeter les nombres de points proposés.

Deuxième Exemple.

Mais si l'on s'était proposé de jeter avec 9 dés, sans rien spécifier, 3 nombres de points égaux entre eux. deux autres

nombres égaux entre eux, et quatre autres nombres différents l'un de l'autre, on voit clairement que le nombre 84 qui figure dans l'Exemple précédent, doit encore être multiplié par 6, parce que 3 nombres égaux peuvent être obtenus en jetant trois as, trois deux, etc. jusqu' à trois six; et quel que soit le nombre de points qu'on obtient ainsi trois fois, on a encore, pour le nombre de points qu'il faut obtenir deux fois, le choix entre les 5 autres nombres que les 6 dés restants peuvent donner; c'est pourquoi le nombre 15 doit être multiplié par 5. Quant aux nombres inégaux, ils ne peuvent pas être variés comme les nombres doubles ou triples; car soit qu'on parie de jeter 4, 3, 2, i, soit qu'on veuille obtenir les nombres 5, G, 1,2 etc. avec 4 dés, cela revient au même, de sorte que les chances de gagner que l'on a alors sont au nombre de 84 X 6 X 15 X 5X4X3X2X1 ou de 907200.

La part de la personne qui a parié est donc alors -— .

On voit aisément comment on peut construire d'après la méthode précédente des tables où l'on peut trouver le nombre de tous les coups possibles, tant pour le cas où les nombres de points qu'il faut jeter sont déterminés que pour celui où ces nombres sont indéterminés. Voici ces tables pour 2 dés, etc. jusqu' à g dés.

Pour 2 dés.

(/oups déterminés. Indéterminé.s.