Pour avoir g nombres égaux i
Troisième Exe m p 1 e.
On demande de trouver la chance de gagner d'une personne qui parie de jeter i. 2, 3, 4, 5, 6 avec 6 dés ordinaires, pourvu qu'il lui soit permis de retourner un des dés en sa faveur.
Le quatrième Problème tait voir qu'on peut faire 46656 coups avec 6 dés. Parmi ceux-ci il y en a 720 qui peuvent lui donner I, 2, 3, 4, 5, 6 sans qu'elle retourne un dé; en effet, d'après ce qui précède, il faut multiplier l'un par l'autre les nombres i, 2, 3, 4, 5, 6, ce qui donne 720. Or il est certain qu'elle gagne aussi si elle ne jette pas plus de 2 nombres égaux. Si nous prenons les 2 six, les autres coups doivent être composés de i, 2, 3, 4, de I. 2, 3, 5. de 2, 3, 4. 5. de i, 3, 4. 5, ou de i, 2, 4, 5. L'ordre de 4 chiffres peut être changé 24 fois; c'est donc de 120 manières que l'on peut jeter les mêmes six chaque fois avec d'autres nombres. Il y a 6 six sur les dés; on peut les combiner 2 à 2 de 15 façons différentes. En multipliant 15 par 120, on trouve 1800 pour le nombre des coups possibles composés de 2 six et de 4 autres nombres inégaux ; et comme la même chose est vrai pour les nombres i, 2, 3, 4 et 5, il faut multiplier 1800 par 6, ce qui donne 10800. En y ajoutant le nombre 720 obtenu précédemment, on trouve 1 1520 pour le nombre total des coups qui peuvent faire gagner la personne qui a fait le pari; en retranchant ce nombre de 46656, on trouve un reste de 35136 chances qui lui sont contraires; en divisant les deux nombres par 576, on voit qu'elle a 20 chances de gagner contre 61 chances de perdre.
D'après les Tables.
Avec 6 dés on a le nombre de coups suivant :
Pour avoir 6 nombres inégaux (nom- Coups. bres indéterminés) 720
Pour avoir 2 nombres égaux et 4 nombres inégaux (nombres indéterminés) 10800
I1520 comme auparavant.
Sixième Problème.
Etant donné un certain nombre de dés et supposant que nous soyons convenus de payer une certaine somme chaque fois qu'une face déterminée d'un des dés se présente, on demande combien les adversaires devront nous payer à leur tour lorsqu' aucune des faces déterminées ne se présentera, pour que les chances des deux groupes de joueurs soient égales.
Premier Exemple.
Supposons que nous ayons 6 dés ordinaires et que nous soyons convenus de payer un sou à nos adversaires pour chaque coup où entre un six. On demande, combien de sous les adversaires devront pour égaliser les chances nous payer chaque fois qu'aucun six ne se présente.
Avec un dé on peut faire 5 coups où le 6 n'entre pas, on peut en faire 25 avec deux dés, 125 avec 3 dés, 625 avec 4 dés, 3125 avec 5 dés, et 15025 avec 6 dés, comme cela résulte de la solution du c[uatrième Problème, et de même pour chaque nouveau dé il faut multiplier par 5 le nombre précédent. Or un 6 peut se présenter avec toutes les combinaisons ne contenant pas de 6 que l'on peut avoir avec 5 dés. Et comme ce 6 unique peut être tiré de tous les six de 6 manières, il faut multiplier 3125 par 6, ce qui donne 18750 pour le nombre des coups qui contiennent un seul 6. Pour trouver ensuite le nombre des coups qui contiennent 2 six, il faut considérer de combien de manières on peut des 6 six en prendre 2, ce qui peut se faire de 15 manières. En multipliant ce nombre par 625 ce qui est le nombre des comljinaisons ne contenant pas de six que l'on peut avoir avec les 4 dés qui restent, on trouve 9375, qui est donc le nombre
des coups qui donnent 2 six; et en continuant de la même manière on trouvera ce qui suit
ans six
Combinaisons
des
six
Coups
Six
ro ^
> de
>. six
L iJ
46656 sous.
Il y a 15625 coups qui ne donnent aucun 6, et nous de notre côté devrions payer en tout 46656 sous, de sorte que l'on devra nous rendre à-peu-près trois sous lorsque nous n'aurons jeté aucun 6. Mais pour faire le calcul plus aisément, on peut se servir de la règle suivante.
Multipliez 5 par lui-même un nombre de fois égal à celui des dés. Vous aurez alors le nombre des coups qui ne donnent pas de six. Multipliez 6, c. à d. le nombre des côtés de chaque dé, par lui-même un nombre de fois égal à celui des dés diminué de l'unité. En multipliant alors le résultat par le nombre des dés. on a le nombre total des coups qu'on peut faire avec les dés. 1) En divisant ce produit par le nombre des coups qui ne donnent pas de six, on trouve, en admettant que nous payons un sou pour chaque six, combien de sous nous devrons recevoir lorsque nous n'aurons jeté aucun six.
i) I^'autexir veut dire qu'on trouve ainsi le nombre total des six riu'on obtient par tous les coups différents que l'on peut faire avec les dés. (N. d, tr.)
Deuxième E x e ni p 1 e.
A l'aide de l'Exemple précédent on peut aisément résoudre le problème suivant. Monsieur Jean Law proposait à quelqu'un de jeter six dés un nombre illimité de fois. Lorsqu'il jetterait 6 six, M. Law lui donnerait looo pistoles en or; mais chaque fois que 4 nombres égaux ou plus de 4 nombres égaux se présenteraient» cette personne lui payerait 2 pistoles. Quel avantage M. Law y voyait-il ?
On voit par ce qui précède qu'on peut faire avec les dés 375 coups de 4 six, 30 coups de 5, et i de 6 six, cela fait en tout 406 coups, ce qui, multiplié par 6, donne 2436. Parmi ceux-ci il n'y en a qu'un seul qui fasse gagner les 1000 pistoles, mais il y en a 2435 qui font perdre 2 pistoles, de sorte qui M. Law aurait un avantage considérable.
Septième Problème.
On parie de jeter du premier coup avec un nombre donné de dés qui ont des faces blanches et des faces noires, un nombre de faces blanches au moins égal à un nombre donné. Quelle chance a-t-on de gagner le pari?
Supposons que nous ayons 6 dés, possédant chacun 5 faces, à savoir 3 faces blanches et 2 noires. A parie de jeter du premier coup au moins 4 faces blanches et B de jeter au moins 3 faces noires. Quelles chances ont-ils de gagner leurs paris?
Pour trouver le nombre de coups qui ne donnent aucune face blanche, on peut observer que s'il y avait deux dés, les deux faces noires du premier dé pourraient se présenter ensemble avec chacune des faces noires du deuxième dé, ce qui fait 4 combinaisons de deux noires. On en trouve de même tS pour 3 dés et 64 pour 6 dés. Pour trouver tous les coups qui donnent une face blanche et les autres noires, il faut avoir égard à ce que le nombre total des combinaisons de cinq faces noires que l'on peut jeter avec 5 des est 32. En multipliant ce nombre par 6, vu qu'on peut former 6 combinaisons de 6 dés 5 à 5 ou i à i , on obtient 192. Et en multipliant de nouveau par 3, parceq ue la face blanche peut être jetée de 3 manières différentes, on trouvera 576, ce qui représente
le nombre de coups différents qui donnent une blanche et 5 noires. Pour trou\er ensuite le nombre de coups qui donnent 2 blanches et 4 noires, il faut remarquer que les deux blanches peuvent être jetées de 9 façons différentes (avec 2 dés) et les 4 noires de 10 façons différentes (avec 4 dés). Or des o dés on peut en prendre 2 de 15 manières d'après le troisième Problème. En multipliant ce nombre par g et par 16, on trouve 21 Go, ce qui représente le nombre total des coups qui peuvent donner 2 blanches et 4 noires. De la même manière on fait le calcul pour 3 blanches et 3 noires.
Nombre de manières dont on peut jeter les faces noires. 1)
!et les faces
Nombre
de chances.
blanches. 2) f 64^!
fo^
po
■=! -.t';^^ ^ • «I T !> blanches 1 2100 r avoir ! 2 r
^432oj
Lorsqu'on ne jette pas plus de 3 blanches, B gagne. Le nombre de coups possibles avec les 6 dés est 5^ ou 15625. Parmi ceux-ci il y en a 7120 qui font gagner B, et 8505 qui font gagner A. La chance de A est donc à celle de B comme 1701 est à 1424.
Deuxième Exemple.
Il s'ensuit de cette théorie que si quelqu'un possède 8 pièces de monnaie et qu'il veut parier qu'en les jetant il aura croix pas moins de 5 et pas plus de 7 fois, il peut mettre 23 contre 41. Car ce problème est analogue à celui où l'on a des dés ayant deux faces chacun ; les 8 pièces de monnaie peuvent donc tomber de 2^ ou 256 manières, et il n'y a qu'une seule manière dont elles peuvent toutes donner croix et 8 manières dont elles peuvent donner 7 croix et 1 pile. Pour savoir ensuite de combien de façons on peut avoir six croix et 2 piles, il faut examiner de combien de manières on peut de 8 objets en prendre 2, ce qui peut se faire de 28 façons, et en continuant de la sorte on trouvera ce qui suit.
I; Lisez: blanches. :'N. d. tr.
2) Lisez: noires. (N. cl. U'.;
Nombres engendrés par la racine 8. i)
Chances
<j 70 i» pour jeter <
Croix
fois
ou 23 contre 41. C'est là le résultat demandé.
Mais si l'on prenait un grand nombre de pièces de monnaie, un très-grand travail serait nécessaire pour trouver les génitures correspondantes. Cependant on peut se servir dans ce cas de l'algèbre et des logarithmes. On peut consulter à ce sujet le .dernier problème de ,,1'Art de faire des Conjectures", ou bien la lettre de M. NICOLAS Bernoulli écrite à l'auteur de ,, l'Analyse", le 23 Janvier 1713. 2)
Troisième Exemple.
On m'a raconté que quelqu'un avait reçu un llorin à condition de payer à son tour 20000 florins, lorsque celui qui jouait Fasscdix avec lui, aurait gagné 20 fois de suite. Or, il arriva que celui qui avait donné le florin jeta 18 fois l'une après l'autre un nombre supérieur à 10. Son adversaire lui offrit alors 18000 florins, mais il n'accepta pas cet offre avantageux et \oulant continuer à tenter la tortune.
I^ L'auteur les appelle ,,génitures de la racine 8". Il entend donc par „génilures
, , . ,, , . iii'ii-i) n (n— i) fn— 2) n (n— i) l'n— j) (n- 3) ^ de la racine n les expressions i, n, , , ; iic.
(N. d. tr).
2 Cette lettre est imprimée dans le Recueil de Lettres, publié par .M. de .Moniinurl
dans la deuxième édition 1713 de son ,,Essay d'.\nalyse". (S. d. Ir.
il perdit la dix-neuvième fois, de sorte qu'au lieu de recevoir îSooo florins, il dut se contenter de ne rien recevoir.
Si l'on veut calculer combien de chances contre une il y a de jeter 20 fois l'une après l'autre un nombre supérieur à 10 dans le jeu de Passedix, il faut savoir que le Passedix est un jeu où il est également probable de jeter un nombre supérieur à 10 ou un nombre inférieur à 10. C'est donc la même chose que si quelqu'un a une pièce de monnaie et qu'il parie de jeter croix 20 fois l'une après l'autre ; et c'est encore la même chose que s'il jette 20 pièces de monnaie, avec la condition qu'il gagnera si elles donnent toutes croix. Nous avons dit plus haut que la somme des génitures d'une racine égale au nombre des pièces de monnaie exprime le nombre de manières différentes dont peuvent tomber ces pièces de monnaie. La somme de toutes les génitures de la racine 20 est 2^° ou 1048576. Parmi ce nombre de cas il n'y en a qu'un où l'on jette 20 croix. Il y a donc 1048575 chances contre 1 de jeter 20 fois l'une après l'autre un nombre supérieur à 10, et 2^^- — i ou 262143 contre i d'obtenir un pareil nombre 18 fois l'une après l'autre.
Quatrième Exemple.
On parie de jeter trois fois de suite avec deux dés ordinaires un nombre supérieur à 8. Quelle chance a-t-on de gagner?
Avec 2 dés ordinaires on peut faire 36 coups. Parmi ceux-ci ceux qui donnent plus de 8 points sont les suivants: un coup de 12, deux coups de 11, 3 coups de 10 et 4 coups de g points. Si l'on suppose que celui qui fait le pari recevra l'unité s'il vient à gagner, alors, s'il a jeté déjà deux fois un nombre supérieur à 8, il a 10 chances de recevoir l'unité et les 26 autres de ne rien
recevoir. Cela a pour lui une valeur de . S'il n'a jeté qu'une
seule fois un nombre supérieur à 8» il a 10 chances d'avoir -„ et
les autres 26 de ne rien avoir. Ceci a pour lui une valeur
de - -. De même au moment où il jette la première lois, il a 10 324 -' 1
chances d'avoir et les autres 26 de ne rien avoir. Sa part est
donc ^^ . On voit par là qu'il existe une règle aisée pour trouver
la part de celui qui parie de jeter un certain nombre de fois l'une après l'autre un nombre de points supérieur à un nombre donné.
C'est la suivante. Formez une fraction, dont le numérateur indique le nombre de coups possibles avec les dés donnant un nombre supérieur au nombre donné, et le dénominateur le nombre total des coups possibles avec les dés. Multipliez le numérateur et le dénominateur par eux-mêmes autant de fois qu'on a parié de jeter l'une après l'autre un nombre supérieur au nombre donné. Le résultat est la part demandée, de sorte que dans cet Exemple la
part de celui qui a fait le pari est ou c.à.d. „ comme
auparavant.
C i n q u i è m e Exemple.
Deux personnes A et B jouent un jeu où l'on se propose d'effacer quelques traits. Supposons que A ait 4 traits à efïacer et B 3, qu'ils se servent de deux dés ordinaires et que A efface un trait lorsqu'on jette i o et B lorsqu'on jette 11. Quelle chance de gagner aura chacun d'eux?
Cet Exemple ne diffère pas du premier Exemple de ce Problème car il y a 3 chances de jeter le nombre 10, et 2 chances de jeter le nombre 11. Les conditions ne changent pas si, au lieu de jeter avec 2 dés, on jette avec: un seul dé avant 5 faces, 3 blanches et 2 noires, et que A efface un trait lorsqu'on jette une face blanche et B lorsqu'on jette une face noire ; on voit que, dans ce dernier cas, le jeu sera terminé en 6 coups tout au plus, vu qu'alors 6 traits seront déjà effacés. En prenant G dés à 5 faces, on peut terminer le jeu tout-de-suite sans nuire aux intérêts de personne, à condition que A gagne lorsque plus de trois faces blanches se présenteront, et B lorsqu'on jettera jjIus de deux noires, ce qui est la même chose. Car lorsqu'il y a 4 blanches. A gagne ; et en ce cas, B ne peut gagner, vu que le nombre des noires ne peut être supérieur à 2. La solution de la question et d'autres questions analogues est donc la même t|ue dans le premier Exemple appartenant au Problème considéré. Mais nous développerons ceci encore d'une autre façon, savoir par la
Règle.
Pour trouver la i)art de A, construisez une progression géométrique qui commence par l'unité, dont la raison est la sommc> des chances, et le nombre des termes égal au nombre di-s traits du joueur B. Multipliez celle-ci par une deuxième progression géométrique qui commence également par l'unité et dont la raison est
la chance qu'a le joueur B de pouvoir effacer un trait. Il faut multiplier le premier terme de la première progression par le dernier terme de la deuxième, etc. Nous donnons aux produits le nom de multiplicateurs. Construisez alors une progression arithmétique qui commence par le nombre des traits de A, divisez-la par une progression arithmétique contenant le même nombre de termes, commençant par l'unité et dont la raison est i. Le nombre des termes de ces deux progressions doit être égal à celui des traits de B moins un. Multipliez tous ces quotients l'un par l'autre, et après avoir multiplié chacun des produits ainsi obtenus i) avec un des multiplicateurs susdits, pris en ordre inverse, ajoutez ces produits et multipliez cette somme par le nombre des chances de A, ce nombre étant multiplié par lui-même un nombre de fois égal à celui des traits de A. Vous aurez alors le résultat demandé. Si l'on substitue B à A dans la règle précédente, on trouve la part de B. On peut aussi agir comme suit: multipliez la somme des chances par elle-même un nombre de fois égal à la somme des traits de A et de B diminuée de l'unité. Retranchez-en les chances de A, vous aurez alors celles de B.
Multiplié
par 3^
ou
Le nombre total des chances est 5^ ou 15625
soustraction
Sixième Exemple.
Lorsque le problème est le même que précédemment, excepté en ce que A peut effacer un trait lorsqu'on jette 8 points et B lorsqu'on en jette 5, de sorte que les chances des deux joueurs sont égales, on opère comme suit
i) Comme on le voit par l'exemple numérique, il faut multiplier le premier quotient par l'unité, et regarder l'unité comme le premier des produits obtenus par la multiplication successive des quotients (N. d. tr.)
lO I ^ 10
Nombre total des chances 2*5 ou 6'4
C.à.d. la chance de A est à celle de B comme ii est à 21. C'est là le résultat demandé.
Septième Exemple.
Cet Exemple est tiré de 1',, Analyse", nouvelle impression, p. 260.
A et B désirent l'un et l'autre occuper un poste dont on disposera par majorité de voix. Douze personnes ont le droit de voter. A sait que parmi ces 12 personnes il y en a 3 qui voteront pour lui, et 2 qui voteront pour B; et qu'il a la même chance que B d'obtenir les 7 voix qui restent. Au temps où l'élection aura lieu on vient dire à A que 3 des 12 personnes qui doivent voter sont tombées malades et ne viendront pas, sans dire toutefois si parmi les malades se trouvent des électeurs qu'il savait être disposés à voter pour lui ou des électeurs appartenant au groupe des 7, dont il peut espérer avec autant de raison que B qu'ils voteront pour lui. Tout ceci étant posé, on demande quelle est la chance de A d'obtenir le poste. On trouvera aisément par ce qui précède que l'espoir qu'il a d'être élu est égal à 109:67, ce qui est un peu plus de 3:2. On pourrait aussi demander quelle serait la chance de A, si parmi les malades il s'en trouvait un qui aurait voté pour B, ou si A trouvait moyen de faire changer d'avis quelques-uns de ceux qui avaient l'intention de voter pour B. Dans ce dernier cas on pourrait demander combien d'argent il peut raisonnablement dépenser à cet effet, étant donnée la valeur du poste.
Huitième Problème.
Si l'on a un nombre donné de dés et qu'on parie de ne pas dépasser, du premier coup, un nombre donné de points, ciuelie chance aura-t-on de gagner le pari?
Premier Exemple.
A a 6 dés ordinaires, et veut parier avec B qu'il jettera du premier coup un nombre inférieur à i8. On demande quelle chance il a de gagner le pari. On peut aisément résoudre ce problème par la formule algébrique, mais nous suivrons ici une autre voie. Nous supposerons qu'on jette deux dés trois fois l'une après l'autre: la somme totale des points devra être inférieure à i8 pour que A gagne le pari. Au cas où les deux premiers dés donnent 2 points, le reste peut être comme suit:
Les points obtenus du Chances
deuxième coup. correspondantes. La part de A, lorsque l'enjeu est i.
35 lï
En ajoutant les derniers nombres on trouve 23 -, et en divi-
''87 sant par 36 on obtient ^ . ce qui est la part à laquelle A a droit
si du premier coup il jette 2 points avec les 2 dés. De même,
lorsqu'il jette 3 points du premier coup, on obtient , lorsqu il
jette 4 points, l"^^, 5 points ^^, 6 points J^|, 7 points ^-°|, 8
points —, 9 points ''-„-, 10 points ^^. 11 points -;^^, et 12 points
— z. Ces fractions ont été trouvées de la manière indiquée ci- 1296 ^
dessus ; les dernières sont plus aisées à trouver que les premières.
Pour faire voir cela, nous développerons ici le calcul de la chance qu'il a lorsqu'il jette 12 points du premier coup.
Ueuxième coup. Chances.
Etc. jusqu'à 12 3 etc.
En ajoutant — et --^, on trouve -,, et en divisant cela par 30, -' 12 ib 36 i ^
-^ 7, comme plus haut. Opérez alors comme suit:
,a part
de A.
La première
fois.
Chances.
I multiplié par
l'arts.
'^^- il vient ^-^' 432 432
loS
bn aioutant les 12 derniers nombres ou trouvera ou
En divisant ce nombre par la somme de tous les coups possibles avec 2 dés, savoir par -^6, on obtiendra — >-/-; c'est la i)arl de A.
