O ' II
Et si l'on veut savoir combien de coups différents de 6 ;\ 1 7 points inclusivement peuvent être; faits avec 6 dés ordinaires, il faut multiplier la part de .\ par 4G656, ce cpii est h- nombre
total des coups possibles avec 6 dés ordinaires. 11 viendra 9004, ce qui est le nombre cherché.
Neuvième Problème.
Si l'on a un nombre donné de dés ou de cartes et si nous parions de jeter un nombre de points déterminé ou de tirer du jeu quelques cartes déterminées, on demande combien de fois nous devrons pouvoir jeter les dés ou tirer un certain nombre de cartes, pour que nous puissions parier un nombre donné contre i.
Règle.
Cherchez le logarithme du nombre de tous les cas qui peuvent se présenter lorsqu'on jette une fois les dés ou qu'on tire une fois le nombre donné de cartes. Retranchez-en le logarithme du nombre des cas défavorables correspondants. Ajoutez ensuite à i le nombre que nous voulons parier contre i ; cherchez le logarithme de cette somme et divisez-le par le reste susdit. Vous trouverez ainsi le nombre demandé de coups ou de traits.
Premier Exemple.
On demande en combien de coups l'on pourrait parier 1 contre I de jeter 2 six avec 2 dés ordinaires.
Le logarithme de 6 est 7781512-
" 3Ô ,, 15563025 2 Le logarithme de 2 est
Reste 122345 En divisant ce nombre par
122345. ou trouvera un nombre de t:oups un peu inférieur à 25.
Deuxième E x e m p 1 e.
On pose la môme question qu'au premier Exemple, avec cette différence que cette fois on veut parier 10 contre i. Ajoutez 10 à T, il vient 11. Le logarithme de ce nombre est 10413927. Divisez-le par 122345, nombre qui a été trouvé précédemment: il vient un nombre de coups un peu supérieur à 85, ce qui est le résultat désiré. Et si l'on veut parier looo contre 1 on trouvera 245 coups, ou ïoo contre 1, à-peu-près 146 coups.
Troisième Exemple.
Si quelqu'un veut d'un jeu de 30 cartes en tirer 9 et qu'il veut parier 3 contre 500 que parmi ces g cartes se trouveront les quatre as, on demande combien de traits il devra pouvoir faire, pour que les deux partis jouent avec des chances égales autant que possible.
Dans le ^"^™e Exemple appartenant an 3'*^'"= Problème nous avons trouvé qu'il y a 2 chances d'avoir tout de suite les 4 as et 933 de ne pas les avoir. Si l'on met 3 contre 500, cela revient
à mettre ^ - contre 1 .
935 le logarithme est 297081 10 500
503 le logarithme est 27015680 500 „ „ „ 20989700
Divisé per 9300
3 coups àpeu-près ce qui est le résultat demandé.
Dixième Problème.
On demande les conditions de perte et de gain de celui qui jette les dés dans le jeu nommé ,,Cinquenove", étant décidé qu'on cessera lorsque le jeu aura été gagné ou perdu une fois.
Les principales conditions de ce jeu sont les suivantes. Les deux joueurs font une mise et l'on jette les dés pour savoir qui jettera le premier. Supposons que ce soit A. S'il jette 5 ou 9 il perd le jeu et alors c'est le tour de B de jeter les dés. Mais s'il jette 3 ou 11 ou un nombre double il gagne le jeu et s'approprie la mise de B qui lait une nouvelle mise ; et A continue à jouer. Si A ne fait aucun des coups dont nous avons ])arlé, il n a ni gagné ni perdu; mais s'il jette 7, 6, 8, 4 ou 10 ])oints sans nombres doubles, il ne peut gagner à moins qu'il ne jette immédiatement le même nombre de points qu'il vient de jeter: car
s'il obtient des nombres de points identiques par deux coups successifs, il gagne le jeu tout aussi bien que lorsqu'il jette d'un seul coup deux nombres égaux.
La mise de chacun étant i, l'enjeu total est 2.
Chance
Chance
Chance
6 — 2 c 12 8 — ol 0
Il 6
lorsque A jette 7 du lorsqu'il jette 6 ou 8 lorsqu'il jette 4 ou 10
premier coup points du premier coup points du premier coup
On a 10 chances de gagner le jeu du premier coup, savoir 2 chances de jeter ^11, 2 chances de jeter 3 et 6 chances de jeter un nombre double.
Chances Pour jeter 3, 1 1 ou un nombre double 10
,, "7 points 6
,, ,, 6 ou 8 sans nombre double S
4 ou 10
5 ou 9
'lOOI
C'est là
la part du joueur. Il a fait une mise égale à l'unité, sa perte est donc
— ^— , c'est-à-dire environ 7 0/ Mais si l'on demande quelle est 9009 / '" 1
en tout la perte de A jusqu'au moment oi^i il perd un jeu (car
alors c'est le tour du deuxième joueur de jeter les dés), il suffit
de prendre la somme des termes d'une progression géométrique
infinie, dont le premier terme est "^ et la raison ég^ale à la moitié ' ^ 9009 ^
de la part de A, c. à d. à .
La somme de tous ces termes
est
C'est là le nombre demandé qui indique la perte du joueur A.
Onzième Problème.
Quelqu'un a un nombre donné de cartes. On a décidé quels seront les atouts. Il veut parier qu'après un nombre donné de changements, il aura un nombre donné d'atouts. Quelle sera sa chance?
Premier Exemple.
Trois personnes A, B et C jouent ,,scharwenselen" avec 36 cartes. C donne les cartes. Après que l'atout a été tourné, A seul regarde ses cartes. 11 ne possède pas un seul atout. S'il parie qu'après 2 changements (au cas où il a la main) il aura 5 atouts, quelle sera sa chance de gagner ce pari? De même s'il parie d'avoir 4 atouts, ni plus ni moins? Ou s'il parie d'avoir 3 atouts, 2 atouts, 1 atout ou aucun atout? i)
Deuxième Exemple.
Lorsqu'on a 40 cartes, 10 de chaque couleur, et qu'on veut jouer ,,scharwenselen", on demande — l'atout ayant été tourné — combien de changements il faudrait faire pour avoir 5 atouts. 2)
Douzième Problème.
On demande, lorsqu'on joue aux cartes avec d'autres personnes et qu'on a reçu quelques cartes déterminées, de calculer s'il y a avantage à jouer ou à passer.
Premier Exemple.
Trois personnes jouent ,,scharwenselen" avec 40 cartes. C donne les cartes et tourne un atout de couleur basse. A a en main le Roi et la Dame de l'atout. On demande si A, lorsqu'il a la main, peut avec avantage échanger ses cartes, ou bien s'il doit passer. Si l'on ne faisait pas quelques hypothèses et si l'on ne se résignait pas à négliger diverses circonstances, le problème serait singulièrement difficile et long à résoudre. 2)
1) Comme les règles du jeu ,,schai\veiiseleii" (en allemand ,,schar\veiizelii"; ne nous sont pas connues, nous avons cru devoir omettre les calculs de Struyck relatifs à ce jeu. Nous avons conservé cependant le premier et le sixième Exemple du Dixième Problème du Calcul des Chances au moyen de l'Algèbre. (N. d. tr.)
2) Voir la note précédente (N. d. tr.)
On voit clairement qu'on pourrait tirer des Problèmes qui précèdent une foule d'Exemples outre ceux que nous avons nommés mais parce cjue la solution de chacun d'eux est suffisamment évidente par analogie avec celle des Exemples précédents, nous nous contenterons de faire suivre ici la solution des 5 Problèmes qui M. Christian HuyGENS a jadis proposés aux amateurs, i)
I. A et B jouent l'un contre l'autre avec 2 dés, aux conditions suivantes. A sera vainqueur s'il jette 6 points, et B s'il en jette 7. A fera le premier coup. Après lui B en fera deux de suite, ensuite A en fera deux, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'un ou l'autre aura gagné. On demande le rapport des chances de gagner que A en B ont respectivement. Réponse: 10355 • 12276.
A a 5 changes de gagner, B en a 6. On peut faire 36 coups différents avec 2 dés ordinaires. Nous calculerons d'abord la valeur du premier coup de A, et ensuite celle des coups doubles que les joueurs font tour à tour.
Chances
Le premier coup de A
Reste
Chances
Le premier coup de B
Reste -^l
i) Ces cinq Pioblemes sont proposés par Huygens à la fin du traité sur le ,, Calcul dans les jeu\ de hasard". J. Bernoulli les résout dans son ,,Ars conjectandi", et P. R. de Montmort en donne également la solution dans son ,,Essay d'Analyse", 4ieme partie. (N. d. tr.)
Chances
Le second coup de B
Reste
Chances
ercoup
Le second coup de A
Reste
Le premier coup de A -"^>^
ni 1 \ 259625 r o ur d e u X c o u p s d e A
Le premier coup de B Le second coup de B
Les 2 coups de B
Et comme les nombres qui correspondent aux 2 coups que B ■et A font l'un après l'autre conservent entre eux la même projjortion jusqu'à l'infini, et qui est donc égale à la proportion des sommes des nombres correspondant aux deux premiers coups que
les joueurs font l'un après l'autre, il faut diviser ^ la partie de
l'enjeu qui reste pour les deux joueurs après le premier couj) de A. en raison de ces sommes, ce qui se fait de la manière suivante. En divisant, pour abréger le calcul, les numérateurs par 31 et les dénominateurs par 1296, on voit que ces sommes sont l'une à
1 autre comme 1 1 est a y. L-a somme de ces nombres est —.
22631 „ 31 ( I ^ 1 Ti 12276
—^ B 1 1 -/ \ la part de B sera — ^ — .
Si nous soustrayons ce nombre de l'unité, il reste — -^ — ; c'est la part
de A. La chance de gagner du joueur A est donc à celle de B comme 10355 est à 12276. Ce qu'il fallait trouver.
II. Trois joueurs A, B et C prennent 12 fiches, dont 4 blanches et 8 noires. Ils jouent aux conditions suivantes : Celui d'entre eux qui aura le premier tiré une fiche blanche sera vainqueur. A tirera le premier, puis B, ensuite C, ensuite de nouveau A, et ainsi de suite à tour de rôle. On demande les rapports des chances des trois joueurs.
On peut entendre cette proposition de deux manières. En premier lieu, on peut admettre que chaque fiche noire qu'on a tirée est rendue et ajoutée à celles qui restent, de sorte que chacun peut tirer une fiche d'entre toutes celles qui ont été données. En second lieu on peut admettre que les fiches noires qu'on a tirées ne sont pas rendues. Dans ce dernier cas on voit au neuvième coup au plus tard qui gagne le jeu, tandisque dans le premier cas le jeu peut durer jusqu'à l'infini. D'abord nous ferons la première supposition, ensuite la seconde.
Reste - Reste
Les chances de A, de B et de C garderont entre elles la même proportion depuis les 3 premiers coups jusqu'à l'infini. Il suffit donc de prendre les chances déjà calculées et de leur donner le même dénominateur.
C'est à ces nombres que leurs
chances sont proportionnelles.
Une solution analogue peut être donnée du problème suivant. A, B, C et D possèdent quelques pièces de monnaie. C'est le tour de A de les jeter: toutes celles qui présentent croix sont pour lui. B jette celles qui restent; il prend celles qui présentent croix. C, puis D, font de même. A jette de nouveau toutes celles qui restent et prend celles qui présentent croix, B fait la même chose avec celles qui restent alors, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elles ont toutes été gagnées. Quelle sera la chance de chaque joueur?
Vu que chacun gagne la moitié des pièces de monnaie qu'il jette, les parties dont les chances des joueurs se composent sont les suivantes.
Comme ces parties conservent entre elles la même proportion jusqu'à l'infini, on voit clairement que pour trouver la part de chacun, il suffit de diviser l'unité en 4 parties, ayant entre elles
les mêmes rapports que les nombres —> — > -^1 —
fait de la manière suivante :
Au premier tour
Au second tour
Au troisième tour
— etc.
etc. Cela se
Ce sont là les nombres demandés.
Mais ceux qui connaissent l'algèbre, pourraient trouver la solution de la manière suivante. Supposons que le nombre des joueurs soit
s et que le nombre r indique le rang du joueur dont on cherche la part, alors la valeur du premier coup est pour lui - la valeur
du deuxième coup ~;^\r~^ et ainsi de suite suivant une progression géométrique jusqu'à l'infini. Pour en trouver la somme, portez le premier terme ^^ au carré ce qui donne ^. • Divisez ce carré
par la différence de et de — -~> c.à.d.par , — Il viendra
pour la somme de la progression, donc pour la part d'un joueur
quelconque -^^ —
Lorsqu'on a s = 4 et r = 2, on trouve pour la part du
deuxième joueur — ; • Cette même formule peut être déduite de
notre tormule qui se trouve dans le ,, Calcul des Chances par l'Algèbre" un peu avant le premier Exemple, appartenant au troisième Problème; car si l'on y pose a= i, b = i et p = 2, on obtient la formule précédente.
Pour résoudre le Problème dans la seconde hypothèse nous opérons comme suit :
Chances
Chances
Chances
8 — ol 0
Al
Reste -
Reste
Et en continuant de la même manière on trouvera ce qui suit :
Au deuxième tour — — -
Au premier tour
Au troisième tour
A 77, B 53, C 35. Voilà lesnombres qui font connaître les proportions des chances entre elles.
Mais nous avons résolu le même Problème d'une autre façon encore, par la théorie des combinaisons. Cette solution est la suivante :
Il est certain que le premier coup a pour A la valeur —• Si
l'on considère ensuite de combien de manières 12 objets peuvent être pris 2 à 2, on trouvera le nombre 66. Pour trouver ensuite la somme des valeurs du premier coup de A et du premier coup de B, il faut calculer de combien de façons ils peuvent tirer deux fiches noires, c. à. d. de combien de façons 8 fiches noires peuvent être prises 2 à 2. On trouve que cela peut avoir lieu de 28 façons. Retranchez ce nombre de 66; il reste 38. Ils ont donc droit à
4-r ou — de l'enjeu. De cette part A doit avoir • il reste donc 66 33 ■' ^ 3
^' ' ' lême la valeur totale du coup de A,
pour
[Cherchez
de
de
et
de
comme
suit
TT
nombre total des chances 8X7= 56 nombre des chances défavorables 164 nombre des chances favorables.
Alors la valeur du coup de A, de B et ûe C est — ou
Celle du coup de A et de B est
Reste pour C
Et en continuant de la même manière on trouvera les parts de chaque joueur comme auparavant.
On voit aisément comment on peut à l'aide de cette proposition trouver par l'arithmétique l'avantage du banquier dans le jeu nommé ,, Pharaon" i): les 52 cartes constituent le nombre total des fiches, et tout se passe comme si 2 personnes seulement tiraient. Les cartes sur lesquelles on hasarde tiennent lieu des fiches blanches. La seule difficulté du problème consiste dans la peine qu'il faut prendre pour faire le calcul numérique.
III. A parie avec B que de 40 cartes, dont 10 de chaque couleur, il en tirera 4 de telle manière qu'il en aura une de chaque couleur. On trouvera ici que la chance de A est à celle de B comme 1000 est à 8139.
A peut des 10 coeurs tirer une carte de 10 manières différentes; de même pour les carreaux, les trèfles et les piques. C'est pourquoi le nombre des chances favorables au joueur A est 10+. Cherchez ensuite de combien de manières on peut de 40 cartes en prendre 4, sans avoir jamais les mêmes.
mult.
Nombre total des chances 91390 loooo nombre des chances
loooo favorables à A.
La chance de B est à celle de A comme 8139 est à 1000.
On peut arriver au même résultat en calculant la part qui revient au joueur après qu'il a tiré une ou plusieurs cartes.
i" Voir p. 104. Ou trouve aussi les règles du Pharaon dans r,,Essay d'Analyse", 2ieme partie. (N. d. tr.;
Supposons que le joueur tire les cartes l'une après l'autre. Il faut <:onsidérer que si A avait déjà tiré trois cartes différentes, il devrait des 37 cartes restantes en tirer encore une différente des trois premières. Il y en a alors encore 10 qui font gagner A, et
27 qui font gagner B. L'enjeu étant i, A a droit à — . Si A a
déjà pris 2 cartes, par exemple un carreau et un coeur, il y a en tout encore 38 cartes, parmi lesquelles 10 trèfles et 10 piques. S'il tire une de ces deux dernières couleurs, il sera dans le cas
précédent, c. à d. il aura droit à — . Il a donc 20 chances d'ob- ^ 37
tenir — et 18 chances de ne rien obtenir. Sa part est donc alors 37 ^
d'après la solution du premier Problème ^. Si A avait tiré un carreau la première fois, il resterait encore 3g cartes, parmi lesquelles il n'y aurait que g carreaux qui pourraient lui faire perdre. Il
aurait donc ^o chances d'obtenir — et g chances de ne rien
obtenir. Sa part est alors et comme il ne peut prendre une
fausse carte la première fois, c'est là aussi sa part au commencement du jeu. Celle de B sera donc . Les chances des deux
joueurs ont entre elles le rapport 1000 : 8139, ce qui s'accorde avec le résultat du calcul précédent.
I V. Ayant prix 12 fiches, dont 4 blanches et 8 noires, A parie avec B d'en tirer au hasard 7 fiches dont 3 blanches : on demande le rapport de la chance de A à celle de B.
Cherchez d'abord de combien de manières on peut de 12 fiches en prendre 7, ensuite de combien de manières on peut prendre les 8 fiches noires 4 à 4 et les 4 blanches 3 à 3.
99 14 280 chances
8 ^ de prendre 3
792 manières différentes de 70 blanches et 4 noires, prendre 7 fiches
