La transformation péripatéticienne des

ELEMENT A JORDANI

Sous le n"* 7878 A (fonds latin), la Bibliothèque Nationale conserve un recueil de pièces disparates touchant les

(1) Valentin Rose, Anecdota graeca et graeco-laiina, \\>'^ Heft, 1870, — VU, Zwei Bruchsiûcke griechischer Mechanik. Philon und Héron.

(2) Maximilian Curlze, Zicei Beitràge zur Geschichte der Physik (lilBLlOTHECA Mathematica, 3* Folge, Bd. 1, p. 51; 1900).

(5) Maximilian Curtze, Ueber die Handschrift, R. 4° 2 : Problemalum Euclidis explicaiio des Kônigl. Gymnasiums zu Thorn (Zeitschrift fùii Mathematik und Physik, XI ll'^'" Jahrgang, Supplément, p. 4o, J868). On peut en dire autant d'une pièce intitulée : Liber de ponderibus vel de statera

Mathématiques, l'Astronomie, la Mécanique. Parmi ces pièces, se trouve un écrit du xiii* siècle (i), sur parchemin, qui contient un long et important document relatif à la Statique. Ce document, qui commence par les mots : Incipit liber Jordani de ponderibus, se compose, en réalité, de la succession de trois textes distincts.

Le troisième de ces textes comprend une série de problèmes sur l'équilibre du canonhmi ; nous en avons longuement parlé à la fin du Chapitre V ; le second sera l'objet du prochain paragraphe ; le premier, enfin, est celui qui va nous occuper.

Un préambule assez long, où l'auteur donne un aperçu général des problèmes traités et de la méthode qui sert à les résoudre, précède la liste des axiomes pris par Jordanus comme principes de ses déductions. Treize propositions suivent ces axiomes; l'ordre de ces propositions, la forme de ces énoncés sont exactement les mêmes qu'au Liber Euclidis de pondejnbus, mais les démonstrations et les explications qui accompagnent ces énoncés sont, comme nous le verrons tout à l'heure, entièrement différentes; l'étude que nous en ferons justifiera le nom de

Jordani, signalée par M. Curize dans le Ms. Db. 86, du commencement du xive siècle, conservé à la Bibliothèque de Dresde (Maximilian Curtze. Ueber eine Handschrift der K. Bibliothek zu Dresden ; Zeitschrift fur Mathematik UNO Physik, XXVlli'e"- Jahrgang, Supplément, p. 1 ; 1885),

(I) C'est la date que lui attribue ïhurot {«) et que conlirme l'aspect de l'écriture gothique. Le catalogue de la Bibliothèque Nationale attribue le Ms. 7378 A au xive siècle ; en effet, à la suite des textes qui nous intéressent, s'en trouvent d'autres, d'une autre main, copiés sûrement au xiv^ siècle. Ainsi, au f. 52, on lit : Expliciunt canones tabularum astronomie sive tractatus de sinibus et cordis per Magistrum Johannem de Linieriis, ordinati et completi Parisiis anno ab Incarnatione Domini 1322°. De même, au f. 63 : Explicit pronosticatio Magistri Leonis Judei facta in Anno Domini 1541°. Incipit pronosticatio Magistri Johannis de Mûris super eodem. Or Chevalier (6) nous donne ces renseignements sur Jean de Murs : Musicien et Mathématicien, Docteur en Sorbonne, 1521-1345.

(a) Thurot, Recherches historiques sur le Principe d'Archimêde (Revue Archéologique, nouvelle série, t. XIX, p. 117, 1869).

(b) U. Chevalier, Bibliographie du moyen âge, col. 1215.

Commentaire péripatéticien des Elementa Jordani sous lequel nous désignerons ce traité.

Le Liber EucUdis de pondeiHbus d'une part, le Commentaire péripatéticien contenu en notre manuscrit du XIII* siècle d'autre part, ont été réunis en un seul ouvrage qui fut imprimé au xvi^ siècle. Il parut en i533, à Nuremberg, chez Joannes Petreius, sous ce titre (i) : Liber Jordani Nemorarii, viri clarissimi, de ponderibus, propo* sitiones XIII et earumdem demonstrationes , multarumque reruni rationes sane pulcherrimas complectens, nunc iifl lucem éditas, cum gratia et privilegio imperiali, Petro Apiano, mathematico Ingolstadiano, ad XXX annos concesso. MDXXXIII.

Voici comment le célèbre cartographe Peter Apian,| professeur à l'Université d'Ingolstadt, s'y est pris pour* composer ce petit livre :

Après une épître dédicatoire adressée à Léonhard vattj Eck, Vaolffeck et Randeck, il a reproduit le préambule] par lequel débute le Commentair^e péripatéticien. Viennent^ ensuite les postulats de Jordanus, puis treize propositionâl (neuf dues à Jordanus et quatre fournies par le Decanonio).% Ces propositions gardent l'ordre et la forme qu'elles:' avaient dans les traités qui les ont fournies, qu'elles' avaient conservés dans le Liber EucUdis et dans le Commentaire péripatéticien .

Chaque proposition est suivie de deux démonstrations.

La première est la reproduction pure et simple des considérations données par le CojJimeniaire péripatéticien.

La seconde, annoncée en général par ces mots : Sequitur aliud commentum, a pour squelette la démonstration donnée par le Liber EucUdis, démonstration qui est, ellemême, une amplification de la déduction primitive de

(1) Je (lois à M. Goedseels, administrateur-inspecteur de l'Observatoire royal de Belgique, d'avoir pu consulter un exemplaire de cet ouvrage, conservé à la Bibliothèque de l'Observatoire; j'adresse à M. Goedseels mes vifs remerciments pour sa très grande obligeance.

Jordanus ; Peter Apian rend ces raisonnements encore plus diffus et verbeux qu'ils ne l'étaient au Liber Eudidis ; il les surcharge de digressions géométriques ; c'est, notamment, au cours d'une de ces digressions qu'il cite par deux fois Campanus, citation qui fut attribuée à Jordanus lui-même et contribua à égarer les chronologistes à son sujet. Il y a loin de ces considérations longues et embrouillées aux raisonnements des Elementa Jordani, raisonnements dont la clarté et la sobriété révélaient, malgré de graves erreurs de principes, l'œuvre d'un véritable géomètre.

Revenons au Commentah^e péripatéticien du xiii® siècle qui a fourni à Peter Apian l'un des éléments constitutifs de son édition.

Ce commentaire commence par ces mots : " La science des poids est subordonnée tant à la géométrie qu'à la philosophie naturelle ; il est donc nécessaire qu'en cette science, certaines propositions reçoivent une preuve géométrique, d'autres une preuve philosophique ».

De suite, l'auteur se montre donc à nous comme un «sprit beaucoup plus soucieux de regarder les lois de l'équilibre et du mouvement sous leur aspect philosophique que ne l'avaient été Jordanus et l'auteur du Libe)^ Eudidis.

La lecture du Commentaire ne fait que rendre plus profonde cette première impression. A plusieurs reprises, au cours des discussions qu'il expose, l'auteur invoque les principes de la Physique d'Aristote. Ainsi, comme Jordanus, pour se rendre compte de la gravité secundum situm d'un point pesant placé sur un cercle, il suppose que le point descende le long d'un petit arc. Mais la conclusion à laquelle on parvient ainsi, valable lorsque le point est en mouvement, est-elle applicable à un point immobile ? L'auteur se formule à lui-même cette objection qui, si souvent et si longtemps, sera opposée à la méthode des déplacements virtuels. Pour y répondre, d'une manière bien obscure et bien peu concluante d'ailleurs, il regarde

le repos comme le terme du mouvement; en cet état, la nature est entièrement en acte, tandis que, pendant la durée du mouvement, elle est partiellement en puissance ; ce sont les principes mêm.es que développent, au sujet du mouvement naturel, les Physicœ auscultationes .

Mais si notre auteur est plus instruit ou plus soucieux de la Physique péripatéticienne que ne l'était Jordanus, il est certainement beaucoup moins bon géomètre et logicien beaucoup moins sûr. Aux raisonnements nets et précis du texte primitif des Elementa Jordani, il a presque toujours substitué de vagues considérations où nul ne saurait trouver trace d'un raisonnement concluant.

L'influence exercée sur Jordanus par les ^riiavotà npo- ^Iriy-ara ne nous paraît point niable ; Jordanus, cependant, a su repenser les idées qu'il tenait de cet écrit et leur imposer sa forme personnelle ; l'originalité de sa doctrine ferait même supposer qu'il n'a point eu connaissance directe et immédiate du traité d'Aristote. C'est d'une manière beaucoup plus servile que notre commentateur a suivi les Questions mécaniques; pis que cela ! il leur a redemandé une conception erronée de la gravité secundum situm que Jordanus avait eu grand soin de délaisser.

Les Questions mécaniques, en effet, n'ont point la belle ordonnance logique que l'on remarque en la plupart des écrits d'Aristote ; des opinions différentes les unes des autres, contradictoires les unes avec les autres, s'y enchevêtrent parfois de telle sorte qu'il soit malaisé de les démêler ; ce manque d'ordre est assurément l'un des meilleurs arguments que puissent invoquer les critiques qui veulent attribuer cet écrit non pas au Stagirite, mais à quelqu'un de ses disciples.

Quelle est, selon Aristote, la cause qui fait varier la gravité d'un point pesant descendant le long d'un cercle ? Si l'on s'en tient aux passages que nous avons cités au Chapitre précédent, on voit que le Philosophe regarde cette gravité comme la résultante de deux forces : la gra-

« vite naturelle et une résistance contre nature, dirigée suivant l'horizontale; ces deux forces sont entre elles comme les deux composantes du chemin parcouru par le poids sur sa trajectoire curviligne; ce qui doit donc être considéré, si l'on veut comprendre les effets de la gravité en un mouvement circulaire, c'est la longueur du chemin vertical qui correspond à un parcours donné sur le cercle, c'est Vobliquité de la trajectoire. C'est ainsi, en effet, que Jordanus a interprété la pensée d'Aristote, lorsqu'il l'a prise pour fondement de sa Statique.

Aux M-/;^avi/.à TTooêXyîuara, les passages qui comportent l'interprétation adoptée par Jordanus se trouvent entremêlés d'autres passages selon lesquels la gravité d'un point mobile sur une certaine trajectoire dépendrait non pas de Y obliquité de cette trajectoire, mais de sa courbure. Tel est, en particulier, le passage suivant :

« De deux mobiles mus par la même force dont l'un décrit une trajectoire qui s'incurve plus et l'autre moins, il est logique que celui qui parcourt la trajectoire la moins courbée se meuve plus vite que celui qui parcourt la trajectoire la plus courbée ; c'est ce qui semble arriver pour les mobiles qui se meuvent sur le plus grand et le plus petit de deux cercles décrits du même centre. Car le point décrivant le plus petit est plus près du point fixe que le point décrivant le plus grand ; aussi, comme s'il était tiré en sens contraire, c'est-à-dire vers le centre, le point décrivant le plus grand est porté plus vite que le point décrivant le plus petit. D'ailleurs, la même chose arrive à tout point décrivant un cercle ; il est porté selon la nature suivant la circonférence, et, contre la nature, de côté et vers le centre. Mais celui qui décrit le plus petit est porté d'un plus grand mouvement contre la nature. Car, par le fait qu'il est plus voisin du centre qui le retient, il en éprouve une plus grande force. »

C'est cet obscur passage qui parait avoir surtout frappé l'attention de notre commentateur; cherchant à introduire

des considérations relatives à la courbure là où, fort sagement, Jordanus n'avait introduit que des évaluations d'obliquités, il change en confusion la clarté et la préci- j sion de son prédécesseur.

La valeur scientifique de notre Commentaire pérîpatéticien est donc nulle ; son influence ne s'en exercera pas moins très longtemps, et même sur de très grands géomètres ; Tartaglia, Gui do Ubaldo, Mersenne n'y échapperont point entièrement.

3. Le Précurseur de Léonard de Vinci. Découverte de là notion de moment. Solution du problème du plan incliné

L'œuvre dont nous allons maintenant nous occuper est, au contraire, une des plus importantes qu'ait à mentionner l'histoire de la Mécanique.

Elle se trouve dans le manuscrit (i) même qui contient le Commentaire péripatéticien et elle fait suite à ce commentaire ; elle ne saurait donc être postérieure au xiii® siècle, époque où fut copié (2) ce manuscrit ; elle se j trouve également, plus correcte et illustrée de figures exactes, dans un autre manuscrit (3) du xiii* siècle, sous le même titre : Liber Jordanis de ratione ponderis ; d'ailleurs, ces copies mêmes sont probablement très postérieures à l'original ; certaines démonstrations présentent des lacunes, des passages incompréhensibles que l'on ne saurait attribuer à l'auteur même de ce traité, car celui-ci était sûrement bon géomètre.

Ce traité fut imprimé au xvi* siècle. Tartaglia en laissa, parmi ses papiers, un exemplaire qu'il avait illustré de

(1) Bibliothèque Nationale, fonds lalin, N° 7578 A.

(2) C'est la date assignée à ce Ms. par Thurot [Recherches historiques sur le Principe cCArchimède (Revue Archéologique, nouvelle série, t. XIX, p. 117, 1869)J. — D'ailleurs, l'écriture de ce Ms. est neltement du xiii» siècle.

(oj Bibliothèque Nationale, fonds latin, N» 86S0 A.

quelques figures ; il le légua au grand éditeur vénitien, Curtius Trojanus, qui était son ami, avec mission de le publier; en effet, en i565, Curtius Trojanus en fit un petit livre (i), auquel il adjoignit le Traité des poids du pseudo-Archimède et quelques déterminations expérimentales de poids spécifiques, dues à Tartaglia.

Curtius Trojanus donnait cet écrit comme le résultat de la correction apportée par Tartaglia au manuscrit primitif ; en fait, Tartaglia n'avait rien corrigé du tout. Si Ton compare le traité imprimé au texte manuscrit que nous avons eu en mains, on observe, de prime abord, une seule modification : la division en quatre livres, qui partage celui-ci, a disparu en celui-là. Quelques additions se laissent découvrir; elles sont souvent fâcheuses. Presque toujours, le texte du manuscrit a été purement et simplement reproduit par l'imprimeur, mais par un imprimeur inhabile à déchiffrer une écriture du xiii® siècle ; aussi les fautes, déjà nombreuses par le fait des copistes, arriventelles à foisonner ; pondus se change en mundus, régula est constamment remplacé par responsa. Les figures, d'ailleurs, valent le texte ; gravées par un artiste qui n'en comprenait point l'objet, marquées de lettres indistinctes qui s'accordent à peine avec les notations du raisonnement, si mal orientées que les horizontales se changent parfois en verticales, elles contribuent à augmenter encore le désordre et la confusion.

Tout concourait, en un mot, à rendre méconnaissables les idées mécaniques nouvelles qui distinguaient ce traité des Elementa Jordani.

Ces idées, nous allons les analyser ; mais une question se pose à leur sujet : Quel est le géomètre qui les a conçues ? A cette question, il ne nous est point possible de répondre. Les manuscrits qui nous les ont conservées

(1) Jordani Opusculum de ponderositate, KicoUiJdirlile^e sividio coricctum novisque figuris auclum. Venetiis, apud Curlium Trojanum, MDLXV.

les donnent comme de Jordanus. Or, le traité de Jordanu^ a été, il est vrai, le germe qui a produit l'écrit qui noug occupe ; mais celui-ci ne saurait être regardé comme un simple développement de celui-là ; rectifiant en plusieurs points ce que les Elementa Jordani contenaient d'erroné, il développe de la manière la plus heureuse les indications justes que renfermait ce petit ouvrage ; il constitue une œuvre originale et forte ; la citer sous le nom de Jordanusl de Nemore serait grossir le patrimoine, déjà si riche, d^ cet auteur en lui attribuant un bien qui n'est point le sien Ignorant d'autre part le nom de celui qui a légitimement acquis ce bien, nous le désignerons comme le Précurseur de Léonard de Vinci. Nous verrons, en effet, que les pensées de ce géomètre inconnu ont exercé sur l'œuvre mécanique du grand peintre une profonde et fécondante influence.

Le quatrième livre du traité composé par le précurseur de Léonard concerne la Dynamique bien plutôt que lai Statique ; il y est parlé surtout de l'influence qu'un milieu fluide, tel que l'air ou l'eau, exerce sur les corps qui se meuvent en son sein. On ne s'attend point, sans doute, ce qu'un mécanicien du xvi'' siècle émette des idées bienj exactes et bien profondes au sujet de ces problèmes qui, aujourd'hui encore, nous paraissent presque inabordables.! Ces idées, en tout cas, n'auraient point à figurer dans un^ étude sur les Origines de la Statique. Nous mentionne rons, cependant, quelques-unes des opinions émises pari notre auteur touchant la Dynamique, car très originales, très aisées à reconnaître, elles nous permettront de retrouver sa marque dans les écrits de ses successeurs et, particulièrement, de Léonard de Vinci.

Tout milieu gêne le mouvement d'un mobile qui le traverse (i) ; cet obstacle apporté au mouvement dépend, d'ailleurs, d'une foule de circonstances. Il dépend, en

(1) Édition de Curtius Trojanus, Quaestio XXIX.

premier lieu, de la forme du mobile (i), qui pénètre d'aulant mieux le milieu que sa figure est plus aiguë et la surface plus lisse. Il dépend, en second lieu, de la densité du fluide traversé (2) ; un milieu plus dense se laisse moins aisément traverser qu'un milieu moins dense ; l'eau résiste plus que l'air. Selon notre auteur, tout milieu est compressible ; les couches supérieures d'un fluide pressant les couches inférieures, celles-ci se trouvent être plus denses que celles-là (3) ; les couches profondes gêneront donc le mouvement plus que les couches superficielles (4).

A la proue du mobile, se trouve une portion du milieu ■comprimée et adhérente au mobile (5) ; mais d'autres portions du milieu, chassées par le mobile, se recourbent en arrière pour venir occuper l'espace qu'il laisse vide (6) ; ce mouvement courbe des parties latérales du milieu peut être comparé à la flexion de l'arc ; lorsque, en un corps, la partie moyenne est immobilisée, une impulsion exercée sur les parties extrêmes incurve aisément ce corps (7).

Aristote attribuait au mouvement du milieu la conservation du mouvement du projectile après que celui-ci a quitté son moteur. Cette opinion avait été suivie par Alexandre d'Aphrodisias, par Themistius, par Simpli- €ius, par Averroës et par saint Thomas d'Aquin. Ce que notre auteur attribue au mouvement du milieu, ce n'est pas la conservation du mouvement du projectile, mais l'accélération de ce mouvement ; c'est le mouvement de l'air qui explique l'accélération de la chute des graves, accélération déjà connue d' Aristote et de ses commentateurs et considérée par eux comme l'effet d'un accroissement de pesanteur. Citons le passage où le Précurseur de

(l) Édition de Curtius Trojanus, Quœstio XXXV. (i) Ibid., Qusesiio XXX.

(5) Ibid., Quaestio XXXIII.

(4) Ibid., Quœsiio XXXII.

(5) Ibid., Qusestio XLII.

^6) Ibid., Quae.siio \L\\\.

1) Ibid., Quaeslio XLI.

Léonard de Vinci formule cette curieuse théorie de la chute accélérée ( i ) :

« Une chose grave se meut cCautant plus rapidement quelle descend plus longtonps. Ceci est plus vrai dans l'air que dans l'eau, car l'air est propre à toutes sortes de mouvements. Donc un grave qui descend, tire, en son premier mouvement, le fluide qui se trouve derrière lui et met en mouvement le fluide qui se trouve au-dessous, à son contact immédiat ; les parties du milieu ainsi mises en mouvement meuvent celles qui les suivent, de telle sorte que celles-ci, déjà ébranlées, opposent un moindre obstacle au grave qui descend. Par le fait, il devient plus grave et donne une plus forte impulsion aux parties du milieu qui cèdent devant lui, au point que celles-ci ne sont plus simplement poussées par lui, mais qu'elles le tirent. Il arrive ainsi que la gravité du mobile est aidée par leur traction et que, réciproquement, leur mouvement est accru par cette gravité, en sorte que ce mouvement augmente continuellement la vitesse du grave, r

Cette explication de la chute accélérée des corps graves paraît avoir été inconnue des anciens ; Simplicius, qui énumère les diverses opinions de ses prédécesseurs sur ce phénomène, ne la mentionne pas ; elle fut, au contraire, favorablement accueillie par maint auteur du moyen âge ou de la Renaissance. Walter Burley (Burlseus), écrivant en la première moitié du xiv^ siècle ses commentaires sur Aristote, l'adopta dans ses commentaires au Libe?^ TI, Cap. 76 des Physicœ Auscultationes . Les quelques pensées touchant l'influence que le milieu exerce sur la chute des graves, dont nous venons de reproduire l'expression, semblent avoir été, pour Léonard de Vinci, une sorte de bréviaire, constamment médité, où il a puisé bon nombre de ses opinions au sujet de la Dynamique. Ces opinions, nous les retrouvons dans les écrits de Cardan. L'explica-

(1) Édition de Curiiiis Trojanus^ Quaeslio XXXIV.

tion que notre auteur du xin® siècle avait donnée de la chute accélérée des graves fut également acceptée par le Cardinal Gaspard Contarini, au premier livre de son De elementisy imprimé en 1548, six ans après la mort de son auteur. En lôyô, Benedictus Pererius la fit sienne en son De communibus omnium 7'erum naturalium pi-incipiis. Gassendi, enfin, l'admettait encore en 1640, dans ses Epistolœ ires de motu impi^esso a motore translata ; il l'abandonna seulement en 1645, dans une lettre adressée au P. Casrée, lettre où la théorie actuelle de la chute accélérée des graves se trouva, pour la première fois, formulée d'une manière complète.

On conçoit par là le rôle essentiel qu'a joué notre géomètre du xiii^ siècle dans le développement de la science du mouvement.

Mais ce rôle n'est point celui qui doit, en ce moment, arrêter notre attention ; notre objet est d'évaluer l'apport du précurseur de Léonard à la science de l'équilibre ; cet apport, nous Talions voir, est des plus riches.

Du traité que nous analysons, les trois premiers livres sont consacrés à la Statique ; le second livre, réservé à des problèmes qui se rattachent au De canonio, contient peu d'idées nouvelles ; le premier et le troisième nous retiendront seuls.

Le premier livre débute exactement comme les Elementa Jordani ; les mêmes axiomes se succèdent dans le même ordre. Dans les deux écrits, la première proposition énonce sous la même forme le principe fondamental de la Dynamique péripatéticienne. Mais, dès la seconde proposition (1), on voit s'affirmer l'originalité du Précurseur de Léonard.

Il s'agit d'une proposition dont nous avons analysé, au Chapitre précédent, l'énoncé et la démonstration.

Jordanus considérait un levier bc (fig. 21), mobile

(1) Liber primus, Prop. II. — Édition de Curtius Trojanus, Quaestio II.

autour du point a, et dont les bras égaux portaient des poids égaux ; ce levier était écarté de l'horizontale de telle manière que le poids h soit abaissé et le poids c élevé ; dans une telle position, le poids c devait être plus grave que le poids h, parce que la descente le long de l'arc cd est moins oblique que la descente le long de l'arc égal hg.

Le Précurseur de Léonard emprunte, il est vrai, à

Jordanus et l'énoncé et la démonstration de cette proposition ; mais il fait suivre la démonstration de quelques considérations qui en sont une réfutation concluante.

L'excès de l'obliquité de l'arc hg sur l'obliquité de l'arc cd^ dit en effet notre auteur, peut être rendu plus petit que n'importe quelle quantité ; de telle sorte que si l'on place en c un certain poids et en h un poids qui surpasse le poids c de n'importe quelle quantité fixe, le poids h descendra et fera monter le poids c.

Après avoir apporté cette correction à une erreur de Jordanus, notre auteur reproduit, sans leur apporter aucune modification essentielle, quelques-unes des propo-

sitions de son prédécesseur ; il lui emprunte, en particulier, sa belle démonstration de l'équilibre du levier droit. Il arrive enfin à ce problème (i) :

Une balance (fig. 24) a deux bras inégaux ca, cb, qui font entre eux un certain angle ; les deux points a, b, sont équidistants de la verticale qui passe par le point d'appui c ; ils portent des poids égaux ; la balance est-elle ou n'est-elle pas en équilibre ?

Jordanus avait traité ce problème ou, du moins, un cas particulier de ce problème ; il avait conclu que la balance n'était pas en équilibre dans les conditions prescrites et que le poids porté par le moindre bras cb l'emportait sur le poids pendu au grand bras ca.

Le Précurseur de Léonard donne, au contraire, au problème énoncé cette réponse correcte : La balance demeurera en équilibre. Mais il ne se contente pas de formuler cette réponse exacte ; il la justifie par une démonstration des plus remarquables.

De part et d'autre du bras ca, il trace deux rayons ex, cl, faisant avec ca des angles égaux ; de même, de part et d'autre du bras cb, il mène deux rayons ch, cm, faisant avec cb des angles égaux entre eux et égaux aux précédents.

Cela posé, il se demande si le poids a pourra l'emporter sur le poids b, et il déclare que cela ne se pourra pas ; car alors les bras ca, cb du levier viendraient respectivement en ex, cm ; le poids a, descendant de la hauteur tx, ferait monter le poids b, qui lui est égal, d'une hauteur pm, supérieure à tx. De même, le poids b ne saurait l'emporter sur le poids a, car le bras cb viendrait en ch tandis que le bras ca viendrait en cl ; et le poids b, s'abaissant de la longueur rh, élèverait le poids égal a d'une longueur ni supérieure à r/i.

Cette démonstration offre une parenté évidente avec

(l) Liber piimus, Prop. vni. — Édition de Curtius Trojanus, Quaestio

vni.

celle que Jordanus a donnée pour la loi d'équilibre du levier ; mais cette nouvelle application de la méthode des déplacements virtuels présentait certaines difficultés que la première ne rencontrait pas ; en effet, dans le cas du levier droit, l'équilibre est indifférent, en sorte que tout déplacement virtuel fini correspond à un travail de la puissance exactement égal au travail de la résistance ; dans le cas du levier coudé, l'équilibre est stable ; l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant n'a plus lieu, sauf pour les déplacements infiniment petits qu'un géo-

mètre du xiii'' siècle n'aurait su traiter ; ces difficultés, le Précurseur de Léonard de Vinci a su les surmonter de la manière la plus heureuse.

En combinant la démonstration que nous venons de rapporter avec ce principe : " Ce qui suffit à élever un certain poids à une certaine hauteur suffit aussi à élever un poids n ibis moindre à une hauteur n fois plus grande » , principe implicitement admis dans la démonstration que Jordanus avait donnée de la loi d'équilibre du levier droit, on obtient sans peine la condition d'équilibre d'un levier coudé quelconque dont les bras portent des poids quelconques.

Cette règle, le Précurseur de Léonard la connaît, en

effet, et il la démontre précisément par la voie que nous venons d'indiquer. Si, dit-il (i), une balance coudée ach (fig. 25) porte en « et ^ des poids inégaux, elle s'orientera de telle sorte que les distances ad, be, des points a et b à la verticale ch du point de suspension soient en raison inverse des poids qui sont pendus en ces mêmes points. Ces règles peuvent encore s'énoncer ainsi : L'effet d'un poids qui pend à l'extrémité d'un bras de levier incliné d'une manière quelconque est mesuré par le moment de ce poids par rapport à la verticale du point d'appui.

Cette manière d'envisager les problèmes dont nous venons de parler n'échappe point à notre auteur. •< Si, dit-il (2), on soulève un fardeau, et si l'on connaît la longueur de son support, on peut, en toute position, déterminer ce que pèse ce fardeau... Le poids de ce fardeau porté en e par le support be (fig. 26), sera au poids porté en /'par fb comme cl est à fr ou comme pb est à xb... Le poids placé

(1) Liber terlius, Propositionns I cl II. — Édition de Curtius Trojanus, Quyesiiones XXIIl et XXIV.

(2) Liber iciiius, l'roposiiio V. — Édition de Curtius Trojanus, Qiiîe<lio XXVII En ceUe pro|)Osilion, le copiste a introduit des erreurs qui, parfois, rendent méconnaissable la pensée de l'auteur.

en e à l'extrémité du levier be pèsera comme s'il était en u sur le levier bf. «

Ainsi se trouve complétée et mise sous forme quantitative la loi que Jordanus avait énoncée et qui désignait la ^vSiN'\ié\ secundum situm comme diminuant au fur et à mesure que le bras de levier se rapproche de la verticale.

Cette notion acquise, il est aisé de reconnaître qu'une balance est en équilibre stable lorsqa'en joignant le point d'appui aux points de suspension des poids, on forme un angle dont le sommet est dirigé vers le haut ; notre auteur a sûrement aperçu cette vérité (i). Si le même angle est tourné vers le bas, le seul état d'équilibre dont la balance soit susceptible est un état d'équilibre instable ; le Précurseur de Léonard formule nettement cette proposition (2) qui contredit une affirmation des Quœsiioyjes mechanicœ ; Aristote, en eifet, avait prétendu qu'un tel état d'équilibre était indifférent.

La loi d'équilibre du levier coudé, obtenue par une ingénieuse application du principe des déplacements virtuels, la notion de moment clairement évaluée, ce sont là des découvertes qui suffiraient à assurer au Précurseur de Léonard une place de choix parmi les créateurs de la Statique. Mais elles n'épuisent pas la liste des trouvailles dont il a enrichi la Mécanique ; cette science lui doit encore d'avoir résolu le problème du plan incliné.

Un seul géomètre de l'antiquité, Pappus, s'était occupé de ce problème ; il en avait donné une solution, inexacte d'ailleurs, dont nous aurons à parler au prochain Chapitre ; cette solution ne semble pas avoir été connue des mécaniciens du moyen âge ; elle n'a exercé sur leurs recherches aucune influence.

Il est surprenant que Jordanus de Nemore n'ait pas

(1) l.iber primus, Pro|.osilio Vlll. — Édition de Curtius Trojanus, QuaesUo VIII.

(2) Liber primus, Proposilio VIII, et Liber lertius, Proposilio III. — Édition de Curtius Trojanus, Quaesliones VIII ei XXV.

songé à reprendre le problème du plan incliné ; en aucune question, la notion de gravitas secundum situm ne pouvait être d'une application plus simple et plus obvie ; les mouvements circulaires, seuls considérés par ce grand géomètre, se prêtaient beaucoup moins aisément à la considération de cette gravité.

Si Jordanus avait songé a traiter par ses principes le problème du plan incliné ; si, non content d'affirmer que la gravité secundum situm est d'autant plus grande qu'un trajet donné, compté sur la trajectoire, prend davantage du direct, il avait admis que la gravité secundum situm,

[est proportionnelle à la longueur de ce direct pris par une Ichute oblique de longueur donnée, il eût, du premier coup, [triomphé là où Pappus avait échoué. Encore une fois, fcette application s'offrait si naturellement aux postulats [des Elementa Jordani super demonstrationem ponderis [que l'on est surpris de voir l'auteur de ce traité laisser

autrui l'honneur de la faire.

Cet honneur était réservé au Précurseur de Léonard.

Celui-ci remarque d'abord (1) que la gravité secundum

(1) Liber primus, Proposilio IX. — Édition de Curtius Trojanus. tuaesiio IX.

situm d'un poids qui repose sur un plan incliné est la même quelle que soit la position de ce poids sur le plan ; puis il aborde la comparaison des valeurs que prend cette gravité sur des plans diversement inclinés. Traduisons in extenso, d'après le texte manuscrit du xiii® siècle, l'énoncé et la démonstration de cette proposition capitale ( 1 ) :

« Si deux poids descendent par des chemins diversement inclinés, et que les poids soient directement proportionnels aux déclinaisons, ces deux poids se^^ont de même vertu dans leur descente.

" Soit ah (fig. 27) une horizontale, et soit hd une verticale ; supposons que, de part et d'autre de celle-ci, descendent deux obliques da, de, et que de soit d'une plus grande obliquité relative ; par rapport des obliquités, j'entends le rapport des déclinaisons, non le rapport des angles, c'est-à dire le rapport des longueurs des lignes comptées jusqu'à leur intersection avec l'horizontale, de telle sorte qu'elles prennent semblablement du direct.

« En second lieu, soient e le poids placé sur de, h le poids placé sur da, et supposons que e soit à h comme de est à da. Je dis que, dans une telle situation, ces deux poids auront même vertu.

r> Soit, en effet, dk une ligne ayant même obliquité que de et, sur cette ligne, un poids g égal à e.

T Que le poids e descende en l si cela est possible, et qu'il tire (2) le poids h en m ; prenons gn égal à hm et, par conséquent, à el. Par les points g, h, faisons passer une perpendiculaire à db ; soit ghy cette ligne. Du point l, abaissons sur db la perpendiculaire It. Puis abaissons nr, mx perpendiculaires sur ghy, et ez perpendiculaire sur et. Le rapport de nr à ng est celui de dy à dg et aussi

(1) Liber primus, Proposilio IX. — Édition de Curtius Trojanus, Qusestio IX.

(2) Il est clair que l'auteur imagine les deux poids reliés par un fil qui, en d, passe sur une poulie.

celui de db à dk ; de même, le rapport de mx à mh est celui de db k da. Donc mx est à nr comme dk est à da, c'est-à-dire comme le poids g est au poids h. Mais comme e ne pourrait pas hisser g en n, il ne pourra pas non plus hissera en m. Les poids demeureront donc en équilibre. •' La démonstration est calquée sur celle que Jordanus a donnée de la loi d'équilibre du levier ; elle met en jeu le même postulat implicite : Ce qui peut élever le poids P à

la hauteur H, peut aussi élever le poids --r- à la hauteur

). H. Après avoir donné à Jordanus une preuve convaincante de la loi d'équilibre du levier droit, ce postulat a permis au Précurseur de Léonard de Vinci de résoudre les deux problèmes du levier coudé et du plan incliné. La fécondité de ce principe se manifeste donc clairement dès le xiii^ siècle ; jusqu'à nos jours, elle ne cessera plus de produire ses conséquences. Ce principe est la véritable origine de la méthode des variations virtuelles dont l'ampleur et la puissance font l'admiration des physiciens modernes. Né des méditations de Jordanus et du Précurseur de Léonard, il se développera en l'œuvre de Léonard, de Guido Ubaldo, de Galilée, de Roberval, de Descartes, de Jean Bernoulli, pour prendre son plein épanouissement dans les écrits de Lagrange et de J. Willard Gibbs.

Mais avant que nous puissions apprécier exactement l'influence exercée par le Précurseur de Léonard sur les recherches mécaniques du grand peintre, il nous faut encore analyser un dernier traité issu de l'École de Jordanus.