Les écriis attribués à Euclide

Les idées dont nous nous proposons de suivre l'évolution compliquée sont issues, en partie, de la science grecque ; non seulement nous aurons à démêler l'influence exercée au moyen âge, sur Jordanus de Nemore, par certains passages des Mvi/avi>ià 7ipoê>.y;paTa d'Aristote, mais encore il nous faut rechercher l'origine de quelques-unes de ces idées en un fragment attribué à Euclide.

Bien que l'antiquité grecque n'attribue à Euclide aucun écrit sur la Mécanique, le nom de ce grand géomètre revient fréquemment dans les livres des auteurs arabes qui ont écrit sur la Statique, et trois fragments relatifs à la Mécanique sont donnés comme de lui.

Le premier de ces fragments ne semble pas avoir été connu, au moyen âge, par les géomètres occidentaux ; il a été signalé, en i85 1 , par le D'" Woepcke, qui l'a traduit de l'arabe et publié dans le Journal Asiatique (i) sous le titre : Le livre oC Euclide su?' la balance. Le texte de ce traité se trouve dans le manuscrit n° 952.2 du Supplément arabe de la Bibliothèque Nationale, manuscrit composé à Chîrâz en l'an 358 de l'hégire (970 de notre ère).

" Dans un autre exemplaire, dit le D'" Woepcke, j'ai

( t ) D' Woepcke, Notice sur des traductions arabes de deux ouvrages perdus d' Euclide (Journal Asiatique, 4« série, t. XVIll, p. 217 ; 18S1).

trouvé ce livre attribué aux Beni Moûçâ, collationiié avec l'exemplaire d'Aboûl Hoçaïn Alsoûfî. Cette circonstance s'expliquerait par la supposition que les Benî Moûçâ auraient traduit ou revu ce traité, et qu'un copiste aurait omis le nom de l'auteur original. « A l'appui de l'opinion qui attribuerait ce traité à Euclide, le D'' Woepcke signale la mention qui est faite de démonstrations d'Euclide sur le levier dans un certain traité De canonio que renferme un manuscrit de la Bibliothèque Nationale. Mais, au § 3, nous aurons à revenir sur le traité De canonio et sur la mention qu'il renferme ; nous verrons que cette mention a trait non point à l'écrit traduit par le D"" Woepcke, mais à un autre écrit également donné comme d'Euclide.

A rencontre de l'opinion du D"" Woepcke, M. Maximilian Curtze (i) n'hésite pas à regarder le traité de la balance comme un traité arabe dû à quelqu'un des fils de Mûzâ ibn Schâkir, à l'un des trois frères Muhammed, Ahmed et Alhasan, dont le livre de géométrie fut si célèbre au moyen âge : M. Heiberg (2) se range à cet avis. M. Curtze rappelle en effet, d'après M. Steinschneider (3), que l'un des trois frères, l'un des Benî Moûçâ, avait écrit un livre sur la balance ; ce livre aurait été ensuite développé par Thâbit ibn Kurrah et l'écrit de Thâbit ibn Kurrah, que nous possédons, ne serait qu'une amplification de l'écrit publié par M. Woepcke.

Mais toute cette argumentation nous semble caduque. Nous aurons à parler longuement, au § 2, du livre de Thâbit ibn Kurrah ; nous verrons, par le témoignage très explicite de l'auteur, que son écrit n'est point l'amplifica-

(1) Maximilian Curtze, Bas angebliche Werk des Euklides ûber die Waage (Zeitschrift FiiR Mathematik und Phvsik, XIXe»- Jahrgang, 1874, I>. 263)

(i) Heiberg, Litterargeschichtliche Studien ûber Euhlid, Leipzig, 1882, p. 11.

(3) Sleinschneider, Intorno al Liber Karastonis. Lettera a D. Baldassare Boncompagni (Annali di Matematica, t. V. p. S4 ; 1863).

tion d'un traité arabe, mais le commentaire d'un ouvrage grec ; d'ailleurs, les problèmes traités dans l'ouvrage de Thâbit sont, pour la plupart, étrangers au Livre sur la balance; si le problème de l'équilibre du levier y est traité, comme il l'est dans l'écrit que le D'" Woepcke attribue à Euclide, il y est résolu par une tout autre méthode, par la méthode d'Aristote.

Une autre raison peut être invoquée pour prouver que l'écrit en question est d'origine grecque.

M. Hultsch a fait cette remarque curieuse que les traités arabes traduits du grec gardent, en quelque sorte, l'estampille de leur origine dans la suite des lettres qui servent à noter les divers points des figures ou les diverses grandeurs dont on raisonne ; ces lettres se succèdent toujours ainsi :

a, h, c ou g, d, e, z, h, t,

reproduisant l'ordre de l'alphabet grec :

Or, cette sorte de marque de fabrique se retrouve dans les figures du traité publié par M. Woepcke et nous assure que ce traité représente un fragment de la science hellène.

Il n'en résulte pas que ce fragment puisse, au moins dans son état actuel, être attribué à Euclide ; des quatre propositions qui le composent, les deux premières sont établies par une suite de considérations où les contradictions se pressent, où il est impossible d'apercevoir trace de rai^îonnement concluant ; on ne saurait, sans injure, regarder cet entassement de paralogismes comme issu du génie logique auquel nous devons les Éléments.

Il semble qu'il faille voir, dans le traité qui nous occupe, l'œuvre d'un bon géomètre, défigurée par quelque commentateur maladroit; celui-ci aurait voulu démontrer

deux postulats indémontrables et en aurait fait les d^ux théorèmes illogiques que nous avons mentionnés. Ces additions malencontreuses seraient elles-mêmes non d'origine arabe, mais de source grecque, à en juger par l'ordre des lettres employées dans les figures.

Débarrassé de ces démonstrations parasites et vicieuses, le traité débuterait par quatre axiomes ; les deux premiers, qui y sont effectivement énoncés, sont les suivants :

«* Axiome L Lorsque deux poids égaux sont suspendus aux deux extrémités d'un fléau droit, d'épaisseur uniforme, et que le fléau à son tour est suspendu, par le point qui se trouve au milieu entre les deux poids, à un arbre de balance, le fléau demeure parallèle au plan de l'horizon.

y> Axiome IL Lorsque deux poids égaux ou inégaux sont appliqués aux deux extrémités d'un fléau, celui-ci étant suspendu à un arbre de balance, en un de ses points, de telle sorte que les deux poids maintiennent le fléau parallèle à l'horizon ; qu'ensuite l'un des deux poids soit laissé à sa place à l'extrémité du fléau ; que l'on mène de l'autre extrémité du fléau une droite, formant avec celui-ci un angle droit, de tel côté que l'on voudia ; et qu'on suspende l'autre poids en un point quelconque de cette droite; le fléau restera parallèle au plan de l'horizon.

n C'est pourquoi le poids n'est pas changé si l'on raccourcit les cordons de l'un des deux bassins et si l'on prolonge ceux de l'autre bassin. »

Les pseudo-démonstrations des propositions I, II et III impliquent les deux axiomes suivants :

« Axiome 111. Si des poids maintiennent un fléau de balance parallèle à l'horizon et si l'on suspend un nouveau poids quelconque au point de suspension du fléau, celui-ci demeure parallèle à l'horizon.

r, Axiome IV. Si des poids en nombre quelconque maintiennent un fléau de balance parallèle à l'horizon ; si Z, D, sont deux de ces poids suspendus à un même bras du fléau; si l'on éloigne le poids Z du point de suspension de la

balance d'une certaine longueur et si Ton rapproche le poids D du point de suspension de la même longueur, le fléau demeure parallèle à l'horizon. «

Cet axiome, qui rend logique la démonstration de la proposition III, conduit l'auteur à la notion de puissance de poids, notion que nous nommerions aujourd'hui le moment du poids par rapport au point de suspension ; elle lui montre que cette puissance diminue par degrés égaux lorsqu'on diminue de segments égaux la distance du poids au point de suspension du fléau.

Ces axiomes donnent, en la proposition IV, une élégante démonstration de la loi du levior ; résumons en quelques lignes cette démonstration :

Imaginons un levier AB dont le point d'appui est C

(fig. 15) et supposons le bras de levier CB triple du bras de levier AC. Un poids P est suspendu en B ; quel poids faut-ii suspendre en A pour lui faire équilibre ?

Prolongeons CA d'une longueur AD telle que Cï) = AB ; AD sera double de CA. En D, suspendons un poids égal à P, et en C deux autres poids égaux à P. D'après nos trois premiers axiomes, le fléau sera en équilibre.

D'après notre quatrième axiome, nous pouvons amener au milieu E de AD le poids qui était en D, et amener en A l'un des deux poids qui étaient en C ; le fléau demeurera ])arallèle à l'horizon ; il demeurera encore parallèle à l'horizon si l'on amène en A le poids déjà amené en E et le second des poids suspendus en C ; le fléau sera donc

parallèle à l'horizon si l'on suspend en B un poids P et en A un poids triple de P.

Cette démonstration, qu'il est aisé de généraliser, conduit à la loi bien connue de l'équilibre du levier.

Il nous paraît donc que, sous des maquillages et des altérations qui remontent sans doute à l'antiquité grecque, le fragment exhumé par le D"" Woepcke laisse deviner une intéressante relique de la science hellénique ; l'auteur s'est proposé de démontrer la loi de l'équilibre du levier non pas à partir d'un principe général de Dynamique, comme le fait Aristote, mais au moyen de postulats auxquels leur simplicité et l'expérience de chaque jour confèrent une sorte d'évidence ; sa méthode est donc celle dont Euclide a donné, dans ses Éléments de géométrie, d'inoubliables modèles, celle qu'Archiraède a adoptée lorsqu'il a voulu traiter de la Statique ou de l'Hydrostatique ; mais l'application qu'il a faite de cette méthode est très inférieure à celle qu'Archimède en a donnée en démontrant la même loi de l'équilibre du levier. Il ne serait donc pas impossible que l'écrit sur la balance, dont nous ne possédons plus qu'une réplique étrangement déformée, fût antérieur à Archimède et contemporain d'Euclide.

C'est d'un autre texte, également attribué à Euclide, que nous allons maintenant nous occuper.

Ce fragment est connu depuis fort longtemps. Herwagen (Herwagius) en inséra une traduction latine dans l'édition des oeuvres d'Euclide qu'il donna à Bâle en i SSy ; cette traduction fut reproduite exactement dans les éditions des mêmes œuvres données à Bâle en 1546 et i558 ; Gregory l'a insérée, avec une correction tacite, dans l'édition d'Euclide qu'il publia à Oxford en 1747. En 1 565, Forcadel publia à Paris le Livide des Poids, faussement attribué à Archimède ; il inséra, à la suite de cet ouvrage, une traduction française du texte latin donné par Herwagen.

Au sujet de l'origine de ce fragment, qu'il intitule De

ponderoso et levi, Herwagen ( i ) ne donne que ce renseignement sommaire : « Dans le temps même que cette œuvre touchait à sa iSn, quelqu'un m'apporta un petit livre ou plutôt un fragment (car il parai t mutilé) De levi et ponderoso ; je l'ai ajouté.., "

En ces dernières années, M. Maximilien Curtze a découvert à Dresde, dans le Manuscrit catalogué Db. 86, une copie latine du petit traité attribué à Euclide ; il l'a publiée (2) en reproduisant en regard le texte, légèrement différent, qu'avait donné Herwagen.

Cette publication ne peut laisser de doute sur l'origine grecque du fragment ; les lettres qui servent à désigner les grandeurs dont on raisonne se succèdent dans l'ordre a, b, g, d, e, z, h, t, parfois légèrement troublé par le copiste, qui a lu, par exemple, r au lieu de z.

Le titre exact du fragment manuscrit est : Liber Euclidis de gravi et levi et de co7nparatione coo^porum ad invicem. Sans analogie avec le Livre de la balance, exhumé par le D*" Woepcke, ce Livre du grave et du léger est consacré au principe fondamental de la Dynamique aristotélicienne dont il donne le commentaire le plus précis que nous possédions. Il procède, en effet, à la manière d'Euclide, par définitions et théorèmes.

Parmi ces définitions, citons celles-ci, où l'empreinte péripatéticienne est profondément marquée :

« On nomme corps égaux en vertu (virtus) ceux qui parcourent des espaces égaux en des temps égaux au sein du même air ou de la même eau.

r. Ceux qui parcourent des espaces égaux en des temps différents sont dits différents en vertu ^fortitudo).

^ Et celui qui a le plus de vertu (virtus) est celui qui a mis le moins de temps. "

Les mots virtus, fojHitudo ont visiblement ici le même

( ) Cf. Heibcrg, Litterargeschichtliche Sludîen ûher Euklid, p. lO. (2' Maximilian Curtze, Zioei Beitrdge zur Geschichte der Physik

{BiBMOTHECA MATHEMATICA, 5'e Folge, M. I, p. 31 ; 1900).

sons que les mots èwccuLc, i^yyz employés, en des circonstances analogues, par Aristote (i).

Que l'on ne s'étonne pas de voir l'auteur du Livide du grave et du léger tenir compte, en ses définitions, de l'influence du milieu, et que l'on n'y voie pas une marque nécessaire des découvertes d'Archimède ; la Physique Aristotélicienne, en effet, admettait, elle aussi, que le milieu influe sur la vitesse de chute des corps ; cette vitesse est d'autant plus grande que le milieu est moins dense ; dans le vide, elle deviendrait infinie ; et de là, le Stagirite tirait un des principaux arguments contre la possibilité du vide. Oe n'est point à dire, d'ailleurs, que l'on ne puisse citer des arguments en faveur de l'opinion qui placerait après Archimède la composition du De ponderoso et levi. Les manuscrits du moyen âge renferment un élégant petit traité sur la détermination des poids spécifiques ; notre Bibliothèque Nationale en possède, en son fonds latin, au moins trois copies, insérées aux Mss. 721!), 7377 B et io252;CurtiusTrojanus l'a imprimé, d'une manière très fautive d'ailleurs, à la suite du Jordani opusculum de ponderositate qu'il édita, à Venise, en i565. Ce traité, parfois attribué à Archimède, lui est sûrement postérieur. Or, la parenté de ce petit traité avec le De ponderoso et levi est des plus claires. Le traité du pseudo- Archimède reprend, à ses débuts, quelques-unes des définitions du De j)onderoso et levi; peut-être, primitivement, se trouvait-il simplement faire suite à ce dernier. Il ne paraît point douteux, en tous cas, que ces deux écrits soient de la même Ecole ; s'ils ne sont pas exactement de la même époque, le traité du psoudo-Archimède serait l'œuvre d'un continuateur du De ponderoso ; ce n'est point sans raison qu'en i565, l'abbé Forcadel réunissait ces deux fragments, qu'il publiait en français, à Paris, comme représentant le Livre des Poids d'Archimède.

(I) Aristote, <I>uo'u>3ç à)cpoâa'£coç , H, £.

L'auteur du Livre du grave et du léger définit ce qu'il nomme corps de même genre ^ ce que nous appellerions aujourd'hui corps de même poids spécifique :

" On nomme corps de même genre ceux qui, pris sous des volumes égaux, ont une même vertu.

» Si des corps de même volume sont de vertus différentes par rapport au même air ou à la même eau, ils sont dits de genres différents.

^ Et celui qui a le plus de vertu est dit le plus dense (solidius). r>

Mais les propriétés qui se rattachent pour l'auteur grec à cette notion de corps de même genre sont bien différentes de celles que nous attribuons aujourd'hui aux corps de même poids spécifique ; il démontre, en effet (pro])0sitions II et III), que des corps de même genre ont des vertus proportionnelles à leurs grandeurs ; c'est-à-dire, selon ses propres définitions, que leurs vitesses de chute sont proportionnelles à leurs volumes. Une telle loi, contraire à celle que l'on admet depuis Benedetti et Galilée, est, au contraire, une des lois essentielles de la Physique d'Aristote. L'auteur grec, d'ailleurs, dans la démonstration qu'il en donne, admet implicitement ce postulat : Quand on réunit deux graves en un seul, leurs vitesses dji chute s ajoutent ; ce fut le titre de gloire de J.-B. Benedetti de ruiner la confiance accordée à ce postulat par toute l'antiquité.

Réduit à ce qu'ont publié Herwagen et M. M. Curtze, le Liber de gravi et levi se présente comme l'exposé le plus précis que nous possédions des principes de la Dynamique d'Aristote ; il n'aurait aucunement trait à la science de l'équilibre qui nous occupe seule en ce moment ; mais Herwagen nous a déjà averti que cet écrit semblait être un fragment mutilé ; ne pourrait-on retrouver quelque trace des propositions qui, sans doute, lui faisaient suite en l'ouvrage original l

Un manuscrit conservé à la Bibliothèque Nationale (0» oi qui paraît être du xvi® siècle, contient, sous ce titre : Incipit liher Eaclidis de ponderibus et levitatibas corpo?'um ad invicem, une réplique de l'écrit qui nous occupe ; le > opiste a inscrit, à la an, cette nientioti : Eœplicil, quia plus non invenitur, où se retrouve l'affirmation que le Livre du léger et du grave est un fragment mutilé.

Ce nouveau texte renferme, avec des variantes insignitiantes, presque tout ce qu'a publié M. M. Curtze ; mais un autre morceau s'y vient enchâsser de la manière la plus étrange. A peine la démonstration de la proposition que M. Curtze note comme la quatrième est-elle ébauchée ([ue l'on voit le texte devenir incompréhensible ; les mots n'ont plus aucun rapport avec ceux qui précèdent ; bientôt, on reconnaît que la démonstration, dont la suite fait défaut, s'est soudée à la dernière partie de l'énoncé d'une proposition nouvelle.

Cette proposition, que nous allons désigner par la lettre B, nous dirons tout à l'heure par quel heureux concouis de circonstances nous en avons pu retrouver le lexie inLégral. Noire fragment en contient la brève démonstration, que suivent les énoncés et les démonstrations très sommaires de trois autres propositions, également nouvelles ; nous les nommerons, en les prenant dans l'ordre où les présente notre manuscrit, les propositions C, A et D. Enfin le tout se termine par la quatrième et dernière proposition du fragment publié par M. Curtze.

Les propositions A, B, C, D, rangées dans cet ordn^ composent au Livre du grave et du léger une suite très logique, et d'une haute importarice pour l'histoiie de la Statique (2).

La proposition A peut s'énoncer ainsi : Un fléau de balance étant primitivement parallèle à r horizon, si ses deux

(l) Bibliothèque Nationale, M?. iu'260 (fonds latin). ■i) Nous espérons pouvoir prochainement publier le texte de ces propositions, ainsi que les divers textes inédits dont il est question dans ce Chapitre.

extrémités tournent en même temps, leurs vertus sei''ont en même rapport que les chemins qu'elles décrivent.

Celte proposition, où le mot vertu [virtus] se retrouve avec un sens voisin de celui qu'il a pris au Livre du gravé et du léger, est accompagnée d'un très court commentaire^ Sa parenté avec la démonstration de la loi du levier qu'a donnée Aristote dans ses My]/avi/à TipoclYiaaTa. n'est poini douteuse. Mais, à les considérer attentivement, on voit que les deux démonstrations sont, pour ainsi dire, inverses l'une de l'autre ; Aristote admet en principe que la vertu d'un poids pendu à un levier est proportionnelle à la vitesse avec laquelle se meut ce poids lorsqu'on faittournei le levier et, de ce principe, il tire la condition d'équi libre de deux poids suspendus à des distances différentes du point d'appui. Notre auteur procède tout différemment; ce qui était pour Aristote un premier principe devient poui lui une proposition qui fait l'objet d'une démonstration En cette démonstration, d'ailleurs, il se borne à prouve^ que les chemins parcourus par les extrémités sont entr( eux comme les bras du levier. La démonstration ne devien' concluante que si l'on suppose précédemment établie h proportionnalité entre la vertu d'un poids suspendu à ur levier et la distance de ce poids au point d'appui.

Notre proposition A devait donc être précédée d( l'évaluation de cette vei^tu d'un poids suspendu à un fléau d( balance, de l'établissement de la loi d'équilibre du levier Sa rédaction même nous avertit qu'une lacune la précèd^ et nous indique la nature des considérations qui pour raient combler cette lacune. Or, voici qu'un rapproche ment s'impose ; cette lacune serait très exactement remplie par le Livo^e de la balance qu'a exhumé le D"" Woepcke débarrassé des démonstrations fausses qui sont venuei l'altérer, ce livre nous fournirait l'établissement direct d< la règle du levier, la preuve qu'un poids suspendu à ud fléau de balance a une vertu ou une puissance de poidi proportionnelle à sa distance au point de suspension. La

soudure semble se faire de la manière la plus naturelle entre notre proposition A et le Livide de la balance publié par le D*" Woepcke.

L'examen de la proposition B ne fait que confirmer l'opinion qui rapproche ces fragments.

Cette proposition est énoncée sous la forme d'un problème, visiblement suggéré par l'emploi de la balance romaine : On prend un cylindre homogène ; on le divise en deux pao'ties inégales et on le suspend par le point de division ; quel poids faut-il suspendre à t extrémité du bras le plus court pour établir V équilibre ?

A partir du point de suspension, dit notre auteur, supprimons du grand bras une longueur égale au petit bras ; soit ab ce qui reste ; le poids cherché sera au poids du segment ab dans le rapport où la distance entre le milieu du segment ab et le point de suspension est au petit bras du fléau.

Pour justifier cette solution exacte, l'auteur se borne à cette courte remarque : " Car si l'on réunit en une seule masse la matière ab et si on la place au point milieu du lieu qu'elle occupait, le fléau demeure en équilibre comme précédemment. »

La démonstration implique donc ce principe : Un cylindre homogène, étendu selon un bras du levier, pèse comme un poids égal qui serait suspendu à ce bras et qui s'attacherait au point situé au centre du cylindre.

C'est visiblement pour justifier ce principe essentiel que l'auteur de notre fragment établit la proposition C.

Un bras de fléau, dit cette proposition, porte quatre poids égau^ et équidistants ; ils équivalent à un poids unique, égal à leur somme, et suspendu au point milieu de ï intervalle quils occupent.

Une ligne indique comment la dénionstratit>n de cette proposition peut se tirer de la loi d'équilibre du levier.

De la proposition C, ainsi établie, au principe dont se réclamait la proposition B, on devine comment notre

auteur établissait la transition ; il décomposait sans doute le cylindre en un grand nombre de petites tranches égales et admettait pour chacune de ces tranches ce qu'il voulait prouver du cylindre entier.

Ce procédé, d'ailleurs peu rigoureux, est celui que nous verrons constamment employé par les géomètres qui ont traité ces mêmes problèmes ; qu'il soit bien celui que notre auteur suivait implicitement, la démonstration de la proposition D ne permet guère d'en douter.

Voici cette proposition : Le fait que le fléau à'une balance est un cylindre pesant ne change rien à V allure des poids.

En effet, dit à peu près le texte, le poids d'un certain segment de la colonne sera proportionnel à la longueur de l'axe de ce segment ; si donc on divise le fléau en segments égaux, à un poids pris sur un bras correspondra, sur l'autre bras, un poids égal situé à la même distance du point de suspension.

L'analyse de nos quatre propositions montre assez quell(i en est l'importance pour l'histoire de la Mécanique ; il y avait donc intérêt <à découvrir d'autres textes qui contrôlassent le premier et qui nous permissent d'en combler les lacunes.

Sous le n° 3642 (ancien 1 258), la Bibliothèque Mazarine garde un manuscrit du xiii® siècle ou, plutôt, une réunion de plusieurs manuscrits d'écritures et de formats différents.

Le premier de ces manuscrits, qui devait constituer une collection des plus précieuses, mais qui, malheureusement, est aujourd'hui fort incomplet, débute par ce titre :

Liber Arsamidis philosophi. — Astrologitim Robi. — rianispherium Tholo^nei. — lÂber Thebit. — Ëlementa Jordanis. — Liber Euclidis. — Divinationes .

A la suite, une longue table des matières nous donne la liste des nombreux traités que renfermait le recueil ; elle commence par ces mots :

In isto volumine lihri subscripti continentur, cum capitulis eorumdem et figuris.

Copions-en seulement le fragment suivant, relatif aux ouvrages qui vont nous occuper :

Incipiunt elemcnta Jordani super demonsti^ationem ponde?-is, cum cartulis et figuris.

Incipiunt eœccrpia de lib?^o Thcbiih de ponderibus. — Incipit liber Euclidis de ponderibus secundum terminorum circumferentiani .

Divinationes .

De compoto.

Le titre même de ce « Livre d'Euclide sur les poids selon la circonférence décrite par les extrémités « semble une allusion fort nette à notre proposition A, partant à la pièce qui nous intéresse. Malheureusement, les feuillets qui devaient renfermer ce Liber Euclidis ont disparu. Au recto du douzième feuillet se trouve le titre, annoncé dans la table : Incipiunt etementa Jordanis super demonstrationem ponderis ; l'ouvrage ainsi annoncé continue au vers-o du même feuillet et n'est point encore terminé au bas de la page; mais, brusquement, au feuillet i3, nous nous trouvons au milieu du traité De com^wto.

Fort heureusement, nous avons pu trouver une copie des pièces qui font défaut au manuscrit de la Bibliothèque Mazarine; cette' copie est insérée dans un manuscrit conservé aujourd'hui à la Bibliothèque Nationale (i), autrefois propriété de la Sorbonne, à laquelle il avait été donné par « Magister Franciscus Guillebon, Parrhisinus, Socius Sorbonicus et Doctor Theologus «. Comme le manuscrit de la Bibliothèque Mazarine, ce recueil s'ouvre par le Liber Arsamidis philosophi de mensura circuli ; à la fin de ce traité se trouve cette mention : Explicit liber Arsamidis. Scriptum 1519 ; de même, les Elementa Jordanis qui figurent au même recueil se terminent par cette autre

(1) Bibliothèque Nationale, Ms. 166i9 (fonds lalin).

mention : Finis. 1519. 2 S"' Maii ; ces indications nous donnent la date de la collection scientifique dont Maître François Guillebon fut le détenteur.

A la suite du traité d'Archimède sur la mesure du cercle, le recueil contient trois opuscules ainsi intitules :

Incipiunt elementa Jordani super demonstratione ponderum .

Incipit excerptum. de lïbro Thebit de ponderibus.

Tncipit liber Euclidis de ponderibus secunduin terminorum circu7nferen/.iam.

Le libellé de ces titres, l'ordre dans lequel ils se succèdent sujSSsent déjà à suggérer l'idée que le recueil copié au xvi^ siècle et donné à la Sorbonne par Maître François Guillebon, reproduit textuellement une partie de la collection, formée au xiii" siècle, dont la Bibliothèque Mazarine conserve les débris ; mais de cette idée, on peut donner une preuve absolument convaincante.

Le scribe auquel nous devons la collection de la Bibliothèque Mazarine maniait habilement la plume et le pinceau ; il excellait à enjoliver les majuscules et, au moment de commencer la copie des Elementa Jordani, il égayait la mai-ge du parchemin d'une amusante figurine, esquissée en quelques traits pleins de verve ; mais les raisonnements géométriques qu'il devait reproduire en élégants caractères étaient sûrement pour lui d'insondables mystères. Si un feuillet manquait au texte original, le copiste continuait son œuvre, soudant l'un à l'autre deux morceaux disparates dont l'incohérence ne le choquait nullement. Ainsi fit-il en rédigeant les Elementa Jordani. Au milieu d'une démonstration appartenant à ce traité, le sens brusquement prend fin ; à un commencement de phrase appartenant aux Elementa est venue se souder la suite d'un raisonnement pris au traité De canonio, dont il sera question au § 3.

Or, cette étrange couture entre deux lambeaux incohérents, le scribe — il devait être allemand, à en juger par

son écriture — duquel Maître François Guillebon tenait son recueil l'avait servilement reproduite ; tels ces tailleurs chinois qui, copiant un vieux vêtement donné pour modèle, ont bien soin d'en répéter les déchirures et les taches sur le vêtement neuf. Erreur singulière, qui devait rendre bien inutile aux géomètres un écrit aussi étrangement composé; mais erreur heureuse, car elle nous assure que nous possédons une réplique servilement fidèle des feuillets manquant au Codex Mazarineus.

Le Liber Buclidis de ponderibus secundum ierminorwn circumferentiam porte ce sous-titre : Liber Euclidis de ponderoso et levi et comparatione corporum, ad invicem^ suivi de l'opuscule donné par de Herwagen, et republié par M. Curtze ; mais on n'y trouve pas les quatre propositions que le titre semblait nous promettre. Ces quatre propositions en ont été détachées et ce sont elles qui sont nommées Eœcerptum de libro Thebitde ponderibus. L'erreur n'a cien qui ne soit fort naturel. Le livre de Thâbit ibn Kurrah, dont traitera le prochain §, est une sorte de commentaire arabe de nos quatre propositions ; celles-ci pouvaient donc être prises pour un extrait de ce commentaire. La collection de Maître François Guillebon ne nous en donne pas moins le texte complet de ces quatre propositions, rangées dans l'ordre B, G, A, D où nous les avions déjà trouvées.

Nous avons, d'ailleurs, trouvé derechef ces propositions, ou du moins les trois premières, dans un manuscrit (i), d'origine italienne, qui paraît être de la fin du XV® siècle. Une des pièces contenues dans ce manuscrit commence par ces mots : Incipit liber de ponderoso et levi qui semblent annoncer le fragment connu depuis Herwagen; en réalité, ce fragment est remplacé par le Liber de ponderibus de Jordan us de Nemore ; mais, à la suite de ce dernier ouvrage, on a inséré nos propositions B, G, A.

(1) Bibliothèque Nationale, n» H 2i7 (fonds latin).

En résumé, les textes, attribués à Euclide, que nous venons d'examiner, paraissent nous fournir trois fragments, plus ou moins bien conservés, de la science mécanique des Grecs.

Le premier de ces fragments est le Liber de ponderoso et levi ; conservé, semble-t-il, dans son intégrité, il expose avec une grande netteté le principe fondamental de la Dynamique péripatéticienne.

Le dernier se compose des quatre propositions que nous venons de signaler ; leurs démonstrations écourtées , l'ordre dans lequel elles se présentent et qui ne paraît point logique nous signalent de graves mutilations ; nous pouvons cependant y reconnaître un heureux essai pour relier la loi du levier à la Dynamique péripatéticienne, pour tenir compte du poids du levier et pour donner une théorie de la balance romaine.

Pour relier l'un à l'autre ces deux écrits, une théorie directe du levier semble nécessaire ; le Liv7^e de la balance exhumé par le D" Woepcke est peut-être l'écrit qui soudait l'un à l'autre les deux fragments précédents ; mais cet écrit, par de maladroites retouches, a été rendu presque méconnaissable.

Les débris dont nous venons de retracer les formes ébréchées et usées pouvaient donc s'agencer de manière à former une sorte de traité ; en ce traité se réunissaient la méthode d'Aristote et la méthode d'Archimède ; en outre, on y indiquait la solution d'un problème délaissé par le | grand géomètre de Syracuse, le problème de la balance romaine. Ce traité était- il l'œuvre d'un seul géomètre, ou de plusieurs mathématiciens distincts? Parmi ceux-ci doiton faire figurer l'auteur des Eléments? Questions difficiles à résoudre, mais au sujet desquelles nous relèverons bientôt quelques légères indications.

Montucla a écrit (i) : * Nous ne dirons rien du livre

(1) Montucla, Histoire des Mathématiques, Paris, an Vil, 1. 1, p. 217.

De levi et ponderoso qu'on attribue aussi à Euclide. On ne peut comparer ce qu'il contient qu'au bégayoment d'une Physique naissante. « Ce jugement donnerait une idée bien fausse de l'importance qu'il convient d'attribuer à l'œuvre dont nous venons de relever les vestiges. Nous allons voir que cette œuvre a exercé une profonde influence d'abord sur la science arabe, puis sur la science de l'Occident.