Le LIBER CHARA-STONis, publié par Thâbit ibn Kurrah

La plupart des bibliothèques ( i ) possèdent un ouvrage manuscrit intitulé : Libei^ Charastonis , editus a Tebit fîlio Corœ.

Le nom de l'éditeur, ou mieux du commentateur, est celui d'un des géomètres arabes les plus illustres. Grâce à Wùstenfeld (2), nous possédons sur sa vie un certain nombre de détails précis.

Thâbit ibn Kurrah ibn Marwân ibn Kârâya ibn Ibrahim ibn Mariscos ibn Salamanos (Abu al Hasan) al Harranî naquit en 836 à Harrân, en Mésopotamie. Il fut

(1) J'ai pu trouver cet écrit dans cinq recueils appartenant au fonds latin de la Bibliothèque Nationale, savoir les Mss. 7310, 7577 B, 7434, 8680 A, 10260. Steinschneider (a) en a trouvé un exemplaire dans le Ms. n° 184 de la Bibliothèque du couvent Si-Marc de Florence et en a publié le commencement et la fin. M. Maximiiien Curtze (h) a signalé la présence du même écrit dans deux Mss. de la Bibliothèque Vaticane, le Ms.Regina Suecorum 1235 et le Ms. 2975. 11 l'a retrouvé dans le Ms. R. 4» 2 de la Bibliothèque de gymnase de Thorn; d'après ce dernier exemplaire, il a publié les énoncés des théorèmes. Nous nous proposons de donner une édition du traité complet.

(a) steinschneider, Intorno al Liber Karastonis. Lettera a D. Baldnssare Boncompagni (Annali di Matematica, t. V, 1863, p. 34).

(b) Maximilian Curize, XJeber die Handschrift R. 4° 2 : Problemaium, Euclidis expUcatio des Kônigl. Gymnasial Bibliothek zu Thorn (Zeitschrift fur Mathematik und Physik, xiii'»"" Jahrgang. Supplément, p. 45, 1868).

i2) Wùstenfeld, Geschichte der Arabischen Aerzte und Naturforscher. Sr. 29, n» 71 ; Gôtiingen, 1840. — Cf. Moritz Cantor, Vorlesungen ûber Geschichte der Mathematik, Bd. ), p. 603 ; Leipzig, 1880.

d'abord changeur, puis se consacra à la science. Il acquit, à Bagdad, une grande réputation de mathématicien et d'astronome, en même temps qu'il s'adonnait à l'étude de la langue grecque, dont il parvint à faire usage aussi aisément que de l'arabe et du syrien. Cette parfaite entente du grec lui permit de traduire et de commenter les œuvres des princes de la science hellène, d'Apollonius de Perga, d'Euclide, d'Archimède, de Ptolémée et de Théodose. Il produisit également un grand nombre d'œuvres originales en Arithmétique, en Géométrie, en Astronomie et en Astrologie. Au bout d'un certain temps, il revint à Harrân, sa ville natale ; là, des épreuves l'attendaient ; il appartenait, en effet, à la secte des Sabians ; mais, comme il prétendait s'affranchir de certaines doctrines ou de certaines pratiques, il fut excommunié. Il revint alors à Bagdad, qu'il ne quitta plus. Le Khalife Almu'tadid (892-902) l'avait en grande considération et l'honorait de son commerce le plus intime. Tâbit ibn Kurrah mourut à Bagdad en 90 1 .

Nous sommes donc exactement renseignés sur l'auteur du commentaire qui va nous occuper ; le traducteur même nous est probablement connu. Selon le prince Boncompagni(i), Gérard de Crémone (1114-1187) avait traduit de l'arabe en latin un Liher Carastonis. Steinschneider (2) a fort justement pensé que cette traduction était celle dont nous possédons de si nombreux exemplaires.

Mais si nous connaissons avec certitude l'auteur de notre commentaire et avec probabilité le traducteur de cet écrit, notre embarras devient extrême lorsqu'il s'agit d'en interpréter le titre. Comment devons-nous traduire Liber Charastonis ? Faut-il écrire le livre de Charaston ou le livre *de la balance ? Charasto est-il le nom d'un géomètre grec ou le nom arabe de la statera des latins, de notre balance

(1) B. Boncompagni, Délia vita e délie opère di Gherardo Cremonese^ Rome, 18SI.

(2j Steinschneider, loc. cit.

romaine ? Les deux opinions ont eu leurs tenants et le choix est malaisé.

Les copistes qui ont reproduit la version attribuée à Gérard de Crémone ont tous pris Charasto, Carasto, Katiisto ou Baracto (car toutes ces orthographes se rencontrent, parfois mêlées en une même copie) pour le nom d'un auteur. L'initiale majuscule du nom ne le marque pas moins que la forme de la phrase qui annonce le commencement ou la fin du livre : Incipit liber Karastoni de ponderibus, dit le Ms. lo 260 (latin) de la Bibliothèque Nationale.

Parfois même, le copiste a cherché à deviner quel pouvait être ce géomètre ; ainsi, la Bibliothèque Nationale conserve, sous le n° ySio (latin), un manuscrit qui porte la date de 1 604 ; ce manuscrit, dont les pièces paraissent avoir été copiées sur les pièces semblables contenues au Ms. 10 260, renferme, en particulier, le Liber Char astonis. Le scribe auquel nous devons ce recueil avait d'abord libellé le titre de la manière suivante : Incipit liber Baractonis de ponderibus ; puis, ne connaissant aucun géomètre grec qui répondît au nom ainsi déformé, il biffa Baractonis pour y substituer Eratosthenis , laissant ensuite Baracto, Carasto, Karasto et Charasto se partager ses préférences au cours du texte. Ces orthographes diverses ont d'ailleurs frappé un annotateur qui, au verso du premier feuillet, a écrit ces mots : « Eratosthenis , sic legitur in titulo. Verum, initio libri, auctor ex quo translatus est nominatur aliter et, versus finem, diserte dicitur Charaston. " L'annotateur considérait donc Charaston comme l'auteur dont Thâbit ibn Kurrah avait commenté l'œuvre.

Cette opinion a encore été partagée par des bibliographes modernes ; Heilbronner (1), en un de ses Index , fait figurer Carasto comme un nom d'auteur, et Hammer, dans son histoire de la littérature arabe, interprète de

(1) Heilbronner, Historia Matheseos universae, Lipsiae, 1742 ; Index IIU

même les mots Kitâh el Karstûn que les traducteurs latins ont rendus par Libej^ Karastonis.

Cette opinion, selon M. Steinschneider (i). serait fort analogue à l'erreur du singe qui prenait le Pirée pour un nom d'homme ; Karastûn ne serait qu'une altération du mot âraibe Karstûn; selon Fleicher,cité par Steinschneider, ce mot peu usité, et venu, peut-être, par l'intermédiaire du syriaque, du mot grec x^'P, main, signifierait la balance romaine; Kitâb el Karstûn, libe?' Karastonis, devrait se traduire non le livre de Charaston, mais le livre de la romaine.

li'interprétation du mot Karaston, proposée par M. Steinschneider. a été adoptée par M. Heiberg (2) et par M. Maximilien Curtze (3). Selon ce dernier auteur, le Traité de la balance exhumé par M. Woepcke et attribué par lui à Euclide, landis que certains manuscrits en font une oeuvre des trois frères, serait identique au Kitâb el Karstûn composé par les Benî Moûçâ, et dont M. Steinschneider signale l'existence d'après Casiri et d'après Hammer ; en outre, la comparaison du Liber Karastonis de Thâbit avec le Traité de la balance traduit par D"" Woepcke montrerait, dans le premier de ces deux ouvrages, un simple développement du second.

La lecture du Liber Karastonis serait peut-être (je ne sais si les érudits s'en sont dour.és) le meilleur moyen de tirer au clair cette question.

Qu'à la fin de cet écrit, le mot Charasto ou Karasto soit pris dans le sens de balance romaine, cela ne saurait faire l'ombre d'un doute. Après avoir montré comment on pourra calculer le poids du plateau qui, pendu au petit

(1) Steinschneider, Intorno al Liber Karastonis. Lettera a D. BaldaS' sare Boncompagni (Annali di Matematica, t. V, 1865, p. S4).

{1L1 Heiberg, LiUerargeschichtliche Studien ûber Euklid, Leipzig, 1882, p. 11.

(3) Maximilian Curtze, Bas angebliche Werk des Euklides ûber die Waage iZeitschrift fur Mathematik und Physik, \ix" Jahrgang. p. 265 ; 1874).

bras de la romaine, compensera l'excès de pesanteur da grand bras. Thâbit ajoute : ^ Nous diviserons le grand bras en segments qui soient dans un rapport connu avec le petit bras. Alors on saura ce que pèse un poids pendu à une division quelconque du charaston engendré (generati carastonis) par ce procédé, d'après la règle précédemment établie pour le cas où le fléau se réduit à une simple ligne. »

Une impression bien différente est reçue lorsqu'on lit l'épître dédicatoire adressée par Thâbit à un personnage qu'il nomme son frère ; traduisons le début de cette épître :

« Que Dieu continue ta conservation, et qu'il multiplie la proportion de ton salut, afin que je ne sois pas privé d'un frère tel que toi ; qui aiguillorme les esprits par sa curiosité ; qui excite l'âme à la spéculation ; qui, par sa propre nature, imprime la science ; qui s'aiguise lui-même ; qui retourne ce qui s'oppose à l'assimilation d'un sujet, et qui, de ce sujet, expose ce qu'il faut.

« J'ai lu, ô mon frère ! la lettre sur ce que j'ai dit touchant ton examen des Causae Karastonis, avec les traces que tu as relevées en celui-ci et les figures que tu as construites à propos de lui ; ces choses, tu les a trouvées lorsqu'abandonnant tout autre sujet de recherches, tu as fait de celle-ci ton occupation exclusive et, sur ces recherches, tu as fort bien exercé ta méditation. Parmi les passages obscurs, inacceptables aux intelligences, j'ai tenté une épreuve. J'ai donc tenu compte, ô mon frère, du changement de langue des traducteurs et des caprices de la main des copistes. J'ai longuement hésité à ce sujet, car toi-même tu n'as pu rendre ton opinion sauve de toute interprétation erronée. Tu m'as demandé de te donner de lui une exposition, écrite dans un langage facile, où ses intentions soient mises au jour, par des méthodes qui abrègent la longueur de son discours et allègent la difficulté de son raisonnement. Je te répondrai donc au sujet de ce que tu m'as demandé, et je te parlerai enfin

des choses au sujet desquelles tu veux être éclairé, avec des indications suffisantes et de saines démonstrations. Tu connaîtras donc où se trouve l'erreur, et à partir de quelle origine elle s'est multipliée jusqu'à s'emparer, en quelque sorte, de tout l'ensemble. A quel point elle est répandue, tu le sais déjà.

» Que Dieu te dirige et qu'il illumine l'intelligence de ton cœur !

« Que l'absence de figures géométriques dans les Causae Kaomstonis ne soit pas une excuse... »

Il résulte de ce passage que Thâbit se propose de restituer une forme claire à un écrit devenu incompréhensible par la faute des copistes et des traducteurs ; ce n'est donc point un écrit arabe qu'il s'agit de commenter, un traité dû aux Benî Moûçâ, mais bien un écrit grec ; et il paraît bien difficile d'interpréter les phrases que nous avons citées sans voir dans les mots Causae Charastonis le titre de l'ouvrage et le nom de l'auteur, sans traduire ainsi ces mots Le livre des causes, par Charaston.

Si donc, en divers passages qui se trouvent à la fin de notre manuscrit, le mot Charasto signifie assurément la balance dite romaine, il semble bien, au début du même ouvrage, désigner un mécanicien grec. Y a-t-il après tout, dans ce double sens, rien nui doive étonner ? Ne voit-on pas chaque jour, dans les arts mécaniques, un instrument prendre le nom de celui qui l'a créé ou perfectionné ? Nos descendants ne pourraient-ils pas éprouver quelque embarras en cherchant si Vernier fut un homme ou une règle divisée ? Et, dans nos laboratoires, ne faisons-nous pas les pesées grossières sur la Roberval^ sans que Roberval cesse d'être le nom d'un illustre géomètre ?

Il nous semble donc probable que Charaston désigne le nom d'un auteur grec, qui avait écrit un traité sur la balance romaine à laquelle on aurait donné son nom ; ainsi s'expliquerait, pour désigner la balance, l'existence en langue arabe de ce synonyme d'origine grecque : Karstûn.

De ce géoraèire grec, nous est-il possible de découvrir quelque autre vestige ?

Nous lisons dans Montucla (i) :

« Plusieurs des livres de Ptolémée sont accompagnés de cette adresse : ad Syrum fratrem ; ce qui prouve qu'il avait un frère de ce nom, qui était probablement versé en astronomie, peut-être un coopérateur de ses observations et de ses calculs.

V Je lui ai aussi déierré un fils nommé Hériston, duquel on peut former le même jugement. C'est dans le litre d'un livre extrêmement rare, imprimé à Venise en i5o9 sous ce titre : Sacratissimae astronomiae Ptolomei liber diversarwn reruin quem scripsit ad Heinstonem fîlium suwn. . . 7»

Kâstner, qui a eu entre les mains ce Hvj^e rarissime (2), nous en a donné une description minutieuse (i) et un résumé. C'est un in-4°, écrit en caractères gothiques, dont le titre complet est : Sacratissime astronomie Ptholemei liber diversai^um reru77i, quem scripsit ad Heristonem filium suum, tractans compendiose de diversis rébus, ut habetur in tabula que est in piHncipio istius libri. MD VIII. Felicibus astris prodeat in lucem, ductu Pétri Liechtenstein. Cum privilégia. A la fin du livre, se trouvent ces lignes : Explicit liber diversarum rerum Ptholemei philudiensis Alexandrini, asti^onomorum principis clarissimi. Anna virginei partus 1509, die tertio aprilis. Venetiis, in edibus Pétri Liechtenstein Coloniensis Gennani.

Ainsi donc, selon le livre imprimé par Pierre Liechtenstein, Ptolémée aurait eu un fils, versé en astronomie, du nom d' Hériston. Hériston n'est pas Charaston ; mais la différence est faible ; elle le semblera surtout à ceux qui connaissent les déformations étranges qu'ont subies les

(l) Montucla, Histoire des Mathématiques, t. I, p. 3U; Paris, An Vil.

(i) J. Graesse, Trésor de livres rares et précieux, t. V.

(5; Geschichte der Kûnste und Wissenschaften seit der Wiederherstellung derselben bis an dus Ende des achtzehnien Jahrhunderts. Vll'e Abtheilung : Geschichte der Mathematik, von A. G. Kâstner, Bd. II, p. 688; 1797.

noms grecs traduits d'abord en arabe et de l'arabe en latin. Steinschneider (i) a signalé quelques-unes de ces déformations : " Héron est devenu Iran et Iranius, Menelaiis s'est transformé en Milleius ; Aciiimedes tantôt en Arsamites, tantôt en Arami'des, tantôt en Archimenides ». Pour nous, nous avons rencontré du nom d'Archimède ces formes diverses : Arsamides, Arsanides, Ersemides [Bibl. Nai. 16 649 (lat.) — Bibl. Mazar. 3642], Arsamithes [Bibl. Nat. 9333 (lat.)], Alaminides [Bibl. Nat. 10 202 (lat.)]. QueCharaston fût devenu Hériston, il n'y aurait rien là qui nous puisse surprendre.

Mais le véritable nom de l'auteur qui nous occupe n'est point Charasion, ni Hériston ; ce nom se doit très vraisemblablement lire Charistion, Xapiorîcov.

Ouvrons n'importe quel dictionnaire grec au mot ;^api(Trîwv, et nous y trouverons ce renseignement : sorte de balance inventée par Archimède ; le dictionnaire de Bailly 12) nous dira, en outre, que le terme a été employé par Simplicius en ses Commentaires à la Physique d'Aristote.

Le seul passage où Simplicius (3) ait employé ce mot nous donne, d'ailleurs, des renseignements précieux. Simplicius y commente l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne, la proportionnalité de la puissance motrice au poids mû et à l'espace parcouru en un temps donné ; il se propose de discuter les restrictions qu'il convient d'apporter à cet axiome ; et, à ce propos, il nous dit qu' " Archimède, en se fondant sur cette proportiormalité entre la puissance motrice, le poids mû et l'espace parcouru, avait composé un instrument propre à peser qui est nommé charistion. — Taûr/; àï rh à^ctloyicc -où ztvoî/vroç /.où

(i) steinschneider, Hehraïsche Bibliographie, Bd. VU, p. 92; 1864. Cf. Moritz Cantor, Geschichte der Mathematik, Bd. 1, p. 604 ; Leipzig, 1880.

(2) Baifly, Dictionnaire grec- français, Paris, 1895.

(3) Simplicii m Aristotelis Physicorum libros quatuor posteriores commentaria ; Commentaria in Physicorum Vli, 3 (Édition Dieis, Berlin, 1895, p. 1110).

Tov xivovfiivov iCai toù (JiaorvjaaTOç rô aTa.Q^i(srubv âoyavov tov

Ainsi, du temps de Simplicius (vi^ siècle), non seulement on donnait à la balance romaine le nom de charistion, mais encore il était d'usage d'en rattacher la théorie aux principes dynamiques admis par Aristote, ce qui est précisément l'objet des divers écrits que nous analj^sons ; et, de plus, on avait oublié l'auteur de ces considérations mécaniques, puisqu'on les attribuait à Archimède, alors que l'illustre syracusain avait employé, dans l'analyse de semblables problèmes, de tout autres méthodes.

Que cet auteur se soit précisément nommé Xapjan'wv, Charistion ; que, par un phénomène bien fréquent dans les arts mécaniques, l'instrument ait pris le nom de celui qui l'avait inventé ou étudié, cela ne paraît point douteux. Comment expliquer, sans cela, que la racine x<^pic, grâce, ait pu fournir le nom d'une balance l Quoi de moins étonnant, au contraire, que de voir cette même racine fournir un nom propre, alors qu'elle a déjà fourni (i) le nom de femme Xaoïrcô et les noms d'homme Xaoto-QÉvyi;, Xapio-ià^y?;,

Xa&t'atoc, Xaot'oTioc et XaotVcov ?

Certains auteurs, il est vrai, ont cru que /«oKTrtwv désignait non pas la balance romaine, mais un guindoau propre à hâler les vaisseaux sur le rivage. Le texte de Simplicius est cependant formel, et les mots «rraSpidriJcc» o^yccjov ne peuvent s'entendre que d'une balance.

On pourrait supposer que Charistion a également donné son nom à un appareil en usage dans les ports ; mais il me semble plus probable qu'il s'agit ici d'une confusion de date récente. ^

Selon Simplicius, c'est l'invention du charistion qui aurait porté Archimède à s'écrier : « Trà (3w xyX xtvw ryjv ^y}v. Un point de départ, et je remue la Terre ". De même,

(1) Bailly, Dictionnaire grec-français ; Paris, 1895.

Tzetzes (i) lui attribue ce propos : « 7rà ^m kuï -^aptarîwvi ràv yàv xtv/îo'a) Tràoray ».

Ce propos s'applique admirablement à la romaine, où un petit poids, pendu au grand bras du fléau, soulève un grand poids, pendu au petit bras.

Toutefois, d'autres auteurs ont pensé que ce propos d'Archimède n'avait point trait à la romaine. Plutarque, qui lui donne la forme : " Aô; (xoi tcoù (jtôù xal tocv yàv yav&<jcù » , ne dit point à quelle machine il avait trait. Pappus, plus explicite, déclare (2) qu'Archimède s'écria : « Aoç poi ttoû arô) Aoà xivm ryjv yf,v » dans sa joie d'avoir combiné un puissant guindeau ; il donne la description de ce guindeau où, par l'emploi de multiples engrenages, une petite puissance peut mouvoir une grande résistance ; il assure, d'ailleurs, qu'il emprunte cette description à Héron d'Alexandrie.

Cet instrument est, en effet, décrit par Héron d'Alexandrie (3), qui ne le donne point comme étant d'Archimède. Mais ni Héron d'Alexandrie, ni Pappus, n'attribuent à ce guindeau le nom de xapKTTÎoiv, ce qu'ils n'eussent point manqué de faire s'il eût été ainsi nommé, de leur temps, à Alexandrie.

Sans doute, les passages où le mot célèbre d'Archimède sur la possibilité de mouvoir le monde est donné comme ayant trait au ^^apiorîMv ont été rapprochés de ceux qui font de ce mot une allusion au guindeau ; on en a alors conclu, bien à tort, que le charistion était le guindeau. Nous ne saurions nommer avec précision l'auteur de cette confusion. Nous savons seulement qu'elle est acceptée

(1) Tzetzes, Twv yiliiàtùv B (Corpus poetarum GRiECORUM, t. II, Genève 1614). — Tzetzes vécut à Constantinople de 1120 à 1180 environ.

(2) Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, edidit F. Hullsch. Lib. VIII, Propos. XI, p. 1060; Berlin, 1888.

(3) A. J Vincent, Géomt^trie pratique des Grecs (Notices et Extraits DES Manuscrits de la Bibliothèque Impériale, t. XIX, 2» partie, p. 330). — Carra de Vaux, Les Mécaniques ou V Élévateur de Héron d'Alexandrie, publié pour la première fois sur la version arabe de Qostâ ibn Lûkâ. Livre I, art. I, Paris, 1894.

par Stevin ( i ) ; Stevin nous apprend que la description du charistion avait été retrouvée par Jacques Besson.

Pour- nous, l'opinion de Stevin n'est point fondée, et ;(aptaTicov désigne la balance romaine.

Tenons donc pour certain que le livre grec dont Thâbit ibn Kurrah a entrepris la restitution était l'œuvre d'un géomètre alexandrin, du nom de Charistion, qui était probablement fils de Ptolémée ; que la balance romaine, étudiée par cet auteur, en prit le nom, en grec d'abord, puis en arabe, où elle fut appelée karstûn ; enfin que les caprices des traducteurs ont tiré de ce nom les deux formes Charaston et Hériston.

L'étude de l'œuvre de Thâbit nous apportera encore quelques nouveaux renseignements.

Tout d'abord, Thâbit nous apprend que l'écrit dont il entreprend le commentaire est intimement lié au liv7^e attribué à Euclide : " Hoc autem capitulum innixum est super librum qui dicitur Liber Euclidis « . A ce livre, il renvoie celui qui voudra des renseignements détaillés ; il se contentera, à titre d'introduction, de rappeler de ce livre ce qui est nécessaire à l'intelligence de l'écrit qu'il va étudier.

Ces déclarations précèdent immédiatement l'énoncé suivant : Les espaces que deux mobiles parcourent en un même temps sont entre eux coimne les vertus de ces deux mobiles ; aucune démonstration ne suit cet énoncé ; un exemple suflSt à l'éclairer. Or cet énoncé formule l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne, et cela, dans les termes mêmes où il figure au traité De ponderoso et levi. Nous voici donc assurés que Thâbit connaissait le petit écrit De ponderoso et levi ; que, de son temps, cet écrit portait déjà le nom d'Euclide ; enfin que les Causes de Charistion avaient ce livre pour fondement.

(1) Mathematicorum Hypomnematum de Statica , conscriptus a Simone Sievino brugensi. Liber III : De Stalicse praxi, p. 101.

De cet axiome à la loi de l'équilibre du levier, Thâbit passe par deux propositions qui développent simplement, avec beaucoup de précision, la démonstration de cette loi telle qu'elle est indiquée aux Mvi^avuà 7TpoêAv;|u.ara d'Aristote.

Au cours de ces démonstrations, le levier est supposé sans pesanteur ; il en est encore de même au cours des deux propositions suivantes :

Si le fléau d'une balance en équilibre porte deux poids égaux suspendus à des distances inégales du point d'appui, on pourra, sans rompre l'équilibre, remplacer ces deux poids par un poids unique, égal au double de chacun d'eux, et suspendu au milieu de l'intervalle qui sépare leurs points de suspension.

De même, si l'un des bras du fléau d'une balance en équilibre porte un certain nombre de poids égaux entre eux, pendus en des points équidistants les uns des autres, l'équilibre demeurera assuré si l'on remplace tous ces poids par un poids unique, égal à leur somme, et suspendu au milieu de l'intervalle qui contient tous les premiers points de suspension.

De cet énoncé général, Thâbit donne la démonstration en supposant que le nombre des poids à réunir soit quatre ; mais, visiblement, la démonstration est aisée à généraliser.

Ces propositions, vraies pour des fléaux sans pesanteur, cessent de l'être si le fléau est une règle d'une certaine épaisseur et d'une certaine pesanteur, dot)t les deux bras ne sont point égaux. Thâbit se propose de montrer comment on peut ramener ce cas, qui est celui de la balance romaine, à la considération d'un fléau sans ])esanteur.

Dans ce but, il considère d'abord un fléau réduit à une ligne sans épaisseur, dont une partie est recouverte par un cylindre pesant ; il se propose de prouver que ce cylindre équivaut à un poids égal, suspendu au point marqué par le centre du cylindre. La démonstration, tirée de la proposition qui précède celle-ci, revient, en somme, à admettre pour certaines portions du cylindre ce que l'on veut prouver du cylindre tout entier.

Cette proposition admise, il devient aisé de démontrer celle-ci : Un fléau cylindrique, homogène, pesant, ah (fi g. 16) dont les bras ag, bg sont inégaux, peut être maintenu parallèle à l'horizon en suspendant un certain poids e à l'extrémité du petit bras ga ; si hd est l'excès du grand bras sur le petit bras, si u est le point milieu de bd, le poids e sera au poids du segment hd comme la longueur gu est à la longueur ga.

j-iffjô.

Thâbit en tire cette règle : Si p est le poids total du fléau, le poids e est donné par la formule

Ce poids étant connu, on pourra suspendre au petit bras de la balance un plateau qui le représente exactement ou bien encore placer à l'extrémité de ce bras une surcharge égale ; sur le karaston ainsi constitué, on pourra raisonner désormais comme sur un fléau sans poids.

" Et maintenant, ô mon frère, ajoute le géomètre arabe, je t'ai exposé ce qui est capable de seconder le travail de ton esprit, de t'aider en l'œuvre de la connaissance, de te donner de saines idées à la lumière de la vérité et de porter ton âme à poursuivre son étude... Cet art est donc appuyé par les démonstrations et l'expérience le vérifie. Lors donc que tu feras usage de ce qu'il a démontré, lorsque tu auras compris par leurs démonstrations ce que nous avons énoncé en commençant, ce que nous t'avons exposé te fera franchir la borne de l'hésitation, te gardera d'une assimilation erronée, te fera

voir où se trouve la rectitude et te fera reconnaître les endroits où l'on peut tomber en erreur. Donc c'est la tin. »

Cette courte analyse nous montre clairement que le remarquable écrit de Thâbit n'est, en aucune façon, un développement du Traité de la balance traduit par le D*" Woepcke. En revanche, il tient par les liens les plus étroits aux quatie propositions dont nous avons signalé l'existence et résumé le contenu ; l'analogie est telle qu'un copiste a pu prendre ces quatre propositions pour un résumé du livre de Thâbit.

Une divergence, cependant, mérite d'être signalée. Thâbit tire la démonstration de la loi d'équilibre du levier de l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne : il la tire en suivant exactement la méthode indiquée dans les Questions mécaniques d'Aristoie ; la marche esquissée par l'auteur de la proposition A est tout autre ; elle suppose que la loi d'équilibre du levier a été établie directement et elle en déduit l'extension au levier de la loi de Dynamique énoncée dans la «Puatz?;; àxpo'aai; et dans le risù olpavov d'Aristote, ainsi que dans le Liber de ponderoso et levi attribué à Euclide. Tandis que l'écrit de Thâbit se rattache immédiatement au De ponderoso et leti^ il faut nécessairement, entre ce livre et nos quatre propositions, placer un intermédiaire ; nous l'avons dit, ce fragment intermédiaire pourrait bien être la source qui a donné naissance à la pièce publiée par le D"" Woepcke.

Si donc nos quatre propositions ont la plus étroite parenté avec l'écrit grec que Thâbit s'est proposé de reconstituer, elles ne paraissent pas représenter cet écrit même. Une autre considération fortifie cette opinion : Thâbit ne parle pas seulement de l'obscurité de l'écrit qu'il commente, mais aussi de sa prolixité; il se propose de l'abréger; il ne saurait être question de nos quatre propositions, dont les démonstrations sont réduites à quelques indications d'une extrême concision.

Nos quatre propositions ne semblent donc pas être un

débris des Causae Charastonis ; elles en seraient plutôt un résumé ; ou, plus probablement, elles représenteraient un thème plus ancien, dont Charistion aurait écrit un commentaire développé et légèrement modifié.

Ces remarques suggèrent une hypothèse; Ptolémée avait écrit un traité Sur les poids, Uepi poixâiv, qui nous est inconnu. Thurot avait déjà émis la supposition (i) que certains fragments parvenus jusqu'à nous, notamment le De ponderoso et levi attribué à Euclide, pouvaient bien être des débris du Ilîpt potz&v. Cette supposition ne pourrait-elle être exacte en ce qui concerne nos quatre propositions (2), en ce qui concerne également l'écrit dont le Traité de la balance, publié par Woepcke, est une déformation ? Charistion se serait alors borné à développer et à rattacher plus étroitement à la méthode péripatéticienne le IlepI poTrwv composé par son père.