Énoncé du Principe de Torricelli

Lagrange a écrit (i) : « Torricelli, fameux disciple de Galilée, est l'auteur d'un autre principe qui dépend aussi de celui des vitesses virtuelles ; c'est que, lorsque deux poids sont liés ensemble et placés de manière que leur centre de gravité ne puisse pas descendre, ils sont en équilibre dans cette situation. Torricelli ne l'applique qu'au plan incliné, mais il est facile de se convaincre qu'il n'a pas moins lieu dans les autres machines. «

C'est dans le recueil intitulé Opéra geomctrica Evangelisiœ Torricellii (2), publié à Florence on 1644, que se rencontre l'énoncé du principe dont parle Lagrange.

(l) Lagrange, Mécanique Analytique, l* Partie, Section I, n" \'6.

{ÎL) Opéra geomctrica Evangelistii; Torricellii : De solidis sphœralibus ; De motu ; De dimensione parabolœ ; De solido hyperbolico, cum appendicibus de cycloïde et cochlea.

A la seconde page, le litre De sphœra et solidis sjihœralibus libri

Dans la pièce sur le mouvement des graves, Torricelli s'exprime ( i ) ainsi :

" Nous poserons en principe : Que deux graves, liés ensemble, lœ peuvenl se mouvow deux-mêmes, à moins que leur commun centre de gravité ne descende.

y> En effet, lorsque deux graves sont liés ensemble de telle sorte que le mouvement de l'un entraîne le mouvement de l'autre, que cette liaison soit produite par l'intermédiaire de la balance ou de la poulie ou de tout autre mécanisme, ces deux graves se comporteront comme un grave unique formé de deux parties ; mais un tel grave ne se mettra jamais en mouvement, à moins que son centre de gravité ne descende. Or donc, quand il sera constitué de telle sorte que son centre de gravité ne puisse descendre en aucune manière, le grave demeurera assurément en repos dans la position qu'il occupe ; par ailleurs, en effet, il se mouvrait en vain, car il prendrait un mouvement horizontal qui ne tend nullement vers le bas. »

Ce principe, Torricelli le pose afin d'en tirer une solution du problème du plan incliné ; pour quelle raison l'obtention d'une telle solution lui semblait particulièrement souhaitable, nous le verrons plus tard. Aussitôt

duo esl suivi de celle iiicnlion : Florenlia,'. lypis Aniaioiis Massse cl Laureniii (le Landis ; I6i4.

La pièce qui nous inléresseia parliculicrement esl inlitulée : De motu gravium naturaliter descendenù'um et projectorum lihri duo, in quibus ingeiiium nalurae circa paiaboiicani lineam ludenlis per molum oslendilur, cl uni\ersa projectorum docirina unius descriplione semicirculi absolvilur.

Nous aurons également à ciier celte autre pièce : De dimensione parabolœ solidique hyperbolici problemata duo, antiquum alterum, in quo quadnitura parabolaB XX modis absolvilur, parlim geomcirici.«. mecanicisquc ; parlim ex indivisibilium gcomctria deduclis lalionibus ; novnm alterum, in quo mirabilis cujusdam solidi ab liyperbola genili accidenlia nonmilla demonslrantur. Cutn appendice, de dimensione spatii cycloidalis et cochleœ.

(1) Evangclisiœ Torricellii Le motu gravium naturaliter descendentium liber primus, p. 99.

qu'il a formulé son postulat fondamental, il énonce (i) cette proposition :

« Si deux graves sont placés siw deux plans inégalement inclinés, mais ayant même élévation^ et si les poids de ces graves sorit entre eux comme les longueurs de ces pdans, ces deux graves auront même momento.

r> Nous montrerons, en effet, que leur commun centre de gravité ne peut descendre, car, quelque mouvement que l'on impose aux deux graves, il se trouve toujours sur la même ligne horizontale... Ainsi deux graves attachés l'un à l'autre se mouvraient, et leur commun centre de gravité ne descendrait pas. Cela serait contraire à la loi d'équilibre que nous avons posée en principe. «

Torricelli revient également à cette loi d'équilibre au début de son écrit Sur la dimension de la parabole (2). Il formule, en effet, l'hypothèse suivante, qui devient pour lui la définition même du centre de gravité : - On supposera que la nature du centre de gravité est telle qu'im corps librement suspendu par un quelconque de ses points ne puisse demeurer en repos, tant que le centre de gravité ne se trouve pas au point le plus bas de la sphère sur laquelle il se meut. ^ Torricelli en déduit sans peine qu'au moment de l'équilibre, le centre de gravité se trouve dans la verticale du point de suspension et au-dessous de ce point.

En cette même pièce (3), Torricelli cherche à tirer de sa règle d'équilibre la loi d'équilibre du levier ; il en donne deux démonstrations équivalentes ; citons seulement la seconde :

Le levier AE (fig. 94) tourne autour du point B. 11 porte deux poids, respectivement suspendus en A et en E,

(1) Be mo(u gravium natitraliter descendcniium , liber [irimiis. Propositio I, p. 99.

(2) EvariLielisUo Torriccllii Be cUmcnsione parabohv..., Sup[iosiiiones et defiiiiiiones, p. 11.

(ô Torricelli, loc. cit., p. lu.

et en raison inverse des longueurs AB, BE, " Réunissons les deux centres de gravité G, L, par la droite GL. Comme la grandeur du poids L est à la grandeur du poids G dans le même rapport que AB à BE ou bien, pour des raisons de parallélisme, que GN à NL, le centre commun de gravité des deux poids suspendus au levier est en N. Si donc la balance AE ne demeurait pas en

repos, le centre de gravité N monterait ; car, se trouvant sur la verticale DF, il ne peut se mouvoir qu'il ne monte. »

Torricelli commet ici une inadvertance ; un déplacement virtuel de la balance ne ferait pas monter le point N ; il le laisserait immobile. Dans ce cas, donc, comme dans le cas du plan incliné, le centre commun de gravité des deux poids liés ensemble n'est pas le plus bas iwssible ; il serait aussi bas après un déplacement virtuel. Aujour-

d'hui, et grâce à Lagrange, nous savons relier ce caractère à un autre : Les deux cas d'équilibre traités par Torricelli sont des équilibres indifférents. Au contraire, l'équilibre d'un système de poids est stable lorsque le centre de gravité de cet ensemble de poids est plus bas dans l'état actuel que dans tout état voisin. Nous avons vu que Roberval, précédant Torricelli, avait traité un tel cas d'équilibre stable.

Il ne paraît pas, d'ailleurs, que Torricelli ait eu, touchant les questions de stabilité, les idées aussi nettes qu'elles l'eussent pu être, grâce aux recherches et aux discussions de ses prédécesseurs. La démonstration de la loi d'équilibre du levier, précédemment citée, est suivie (i) du passage que voici :

" Je n'ignore pas qu'une controverse s'est élevée entre les auteurs pour savoir si une balance portant des poids dont les centres se trouvent sur le fléau même, demeurera dans la position où on l'incline, ou bien si elle reviendra à sa position primitive. Quant à nous, dans ce livre, nous avons toujours supposé que les poids se trouvaient suspendus au-dessous du fléau ; nous avons mieux aimé écrire des choses qui soient utiles à notre objet que d'approprier nos démonstrations aux controverses d'autrui. »

Que les centres de gravité des poids soient ou non au-dessous du fléau, cela importe peu à la stabilité de la balance ; cette stabilité dépend de la disposition du fléau par rapport au point de suspension ; lorsque le fléau se réduit à une droite passant par le point de suspension, comme en la démonstration de Torricelli, l'équilibre de la balance est indifférent, lors même que les poids pendraient au-dessous du fléau. Ces idées étaient clairement exposées, dès le xiii^ siècle, dans le traité composé par le Précurseur de Léonard de Vinci. Léonard et Benedetti les avaient élaborées à nouveau. On peut s'étonner de

(1) Torricelli, loc. cit., p. 15.

rignornnce que le plus illustre disciple de Galilée mani- Icste à leur endroit.