Le parallélogramme des forces et la Dynamique

Les Observations de Roherval

Pierre Varignon (1654-1722) — La Lettre du P. Lamy

Les Principes de Newton — La Néo-Statique

du P. Saccheri

En dépit des critiques, bien mal justifiées, de Borelli, ]a loi de la composition des forces apparaîtra bientôt aux mécaniciens comme le principe qui doit servir à débrouiller toutes les questions de Statique. Dès lors, il y va de l'honneur de ce principe qu'il soit rendu indépendant de toute autre loi relative à l'équilibre, qu'il soit séparé des considérations sur le levier ou sur le plan incliné dont il découlait jusqu'ici ; il faut qu'on y parvienne d'emblée, à partir des lois premières du mouvement. ' Cette justification directe par les principes de la Dynamique, la règle de la composition des forces va la trouver tout d'abord en remontant à ses toutes premières origines, aux raisonnements des M-nyaviy.à TiooclriuaroL.

Aristote ou l'auteur, quel qu'il soit, des Quœstiones mechanicœ connaissait fort bien la règle de composition des vitesses. Or, pour lui, nous l'avons dit (1), connaître la loi de la composition des vitesses, c'était connaître la loi de la composition des forces, car, en vertu de l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne, une force constante produit un mouvement uniforme et la vitesse de ce mouvement est proportionnelle à la force qui l'engendre. On peut donc dire, si l'on veut, que la loi de la composition des forces a été connue dès l'antiquité. Si les auteurs modernes, si Léonard de Vinci, Stevin et Roberval se sont etforcés h la démonstration de cette loi, c'est

(1) V. Chapitre VI, n» 2.

qu'ils voulaient des preuves purement statiques, des preuves qui ne supposassent pas la proportionnalité entre la force qui meut et la vitesse du mobile ; la raison de ces efforts apparaissait très clairement à Stevin, qui regardait la Dynamique péripatéticienne comme condamnée et ne savait encore quelle Dynamique prendrait sa place.

Comme Stevin, Descartes pensait, nous l'avons vu, que l'ancienne Dynamique était à refaire, que la Dynamique nouvelle n'était pas encore faite ; il importait, par conséquent, de fonder la science de l'équilibre, au moins provisoirement, sur des postulats autonomes, sur des axiomes dont la certitude ne dépendît pas de la forme qui serait attribuée aux lois du mouvement.

A l'égard du principe péripatéticien qui affirme la proportionnalité entre la force et la vitesse, Roberval, lui aussi, éprouvait quelques doutes ; témoin ce passage que nous lisons dans son Traicté de Méchanique inédit (1) :

« Et quoyque la force ou impression augmente, et en conséquence la vistesse, il ne faut pas croire pourtant que cette vistesse augmente à proportion. Pour exemple, il ne faut pas croire qu'une double force ou impression cause à un mesme corps, une double vistesse, encore que toutes les autres conditions soient pareilles. Au contraire, pour causer une double vistesse, il faudroit souvent plus que le double de l'impression, sans pourtant qu'on sçache l'augmentation de l'une à proportion de l'autre, qui est une vérité fort difficile ix découvrir. »

Le scrupule dont témoigne ce passage est malheureusement isolé dans l'œuvre de notre géomètre ; partout ailleurs, Roberval raisonne en péripatéticien.

Cet auteur, nous l'avons vu (2), est le premier qui ait

(1) Traicté de Méchanique et spécialement de la conduitte et élévation des eaux, par Monsieur de Koberval (Bibliothèque nationale, fonds latin, Mp. n» 722C, fol. 14S, recto).

(2) V. chapitre XIII, 2; t. I, (), 511.

publié des démonstrations statiques correctes de la règle de composition des forces ; il en a donné deux, dont la seconde, tirée de l'axiome que Descartes devait formuler d'une manière générale, est fort belle. Néanmoins, pour avoir adopté l'idée que la loi du parallélogramme des forces devait être justifiée par des méthodes purement statiques et avoir assuré le succès de cette idée, il n'a pas jugé qu'il fût tenu d'abandonner l'antique manière de voir d'Aristote.

En mourant (lôyS), Roberval laissa, en manuscrit, ses Observations sur la composition des mouvemens, et 5wr le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes (i), qui sont un de ses grands titres à la gloire géométrique. La Mécanique n'apparaît que d'une m.inière fort accessoire en cet ouvrage, mais elle y apparaît sous une forme nettement péripatéticienne.

« Puissance, dit Roberval (2), est une force mouvante ; Impression est l'action de cette puissance ; la Ligne de direction de la puissance est celle par laquelle la puissance meut le mobile... Nous avons encore détîni la puissance en tant qu'elle nous peut servir considérant les diversités des mouvemens, ce qui n'empêche pas que dans d'autres spéculations, nous n'entendions par le mot de puissance une force capable de soutenir un poids ou de quelque autre etfet. «

D'ailleurs, un peu plus loin (3), Roberval considère « dans les corps deux, sortes d'impressions qui les peuvent

(1) Divers ouvrages de M. Personier Cizcj de Uoberval. Observations sur la Composilion des Mouvemens et sur le moyen de trouver les Touchantes des lignes courbes. Impiimé une premièiL' fois dans le recueil iniiuilé : Diveus ouvrages de Mathématiques et de Physique par Messieurs de i/Académie Hoyai.e des Sciences, à Paris, MDCXClll, ei réimprime dans les Mémoires de i/Académie des Sciences do|)uis lOGG jusqu'à 1699 ; Tome VI, MDCCXXX ; p. I.

("2) Uoberval, loc. cit., p. '2.

(5) Id., ibid., p. 9.

faire mouvoir ; l'une qui les chasse d'un lieu vers un autre avec violence : telle est celle que la raquette donne à la baie, la corde d'un arc à la flèche, etc. L'autre qui se fait par attraction des corps, soit que cette attraction soit réciproque ou non... «

Il n'est donc point douteux que, parmi les puissances dont il considère V impression, Roberval ne range le poids, la « vertu de l'aiman " (1), et les autres forces.

« Généralement (2), en ce Traité, nous considérerons deux choses dans les mouvements, leur direction et leur vitesse, r.

Que la direction du mouvement coïncide avec la ligne de direction de la puissance qui le produit, c'est ce qui résulte de la définition même que notre géomètre a donnée des mots : ligne de direction ; c'est ce qui résulte encore sans ambiguïté possible de propositions telles que celle-ci :

« La direction (3) d'une puissance mouvant un mobile, lequel par son mouvement décrit une circonférence de cercle, est la ligne perpendiculaire de l'extrémité du diamètre, au bout duquel le mobile se trouve. "

Cette proposition est trop exactement conforme à la Dynamique péripatéticienne pour ne nous point annoncer que Roberval accepte l'axiome même sur lequel repose cette Dynamique, la proportionnalité entre Vimpression d'une puissance et la vitesse du mouvement uniforme qu'elle engendre. En dépit du doute émis en son Traicté de Méchanique, cet axiome semble si évident au professeur du Collège de France qu'il ne songe, nulle part, à en demander l'acceptation ; mais il l'invoque de la manière la plus claire, et cela précisément pour identifier le problème de la composition des forces avec le problème de la composition des mouvements ou des vitesses :

(1) Roberval, loc. cit., p. 10.

(2) Id., ibid., p. 2.

(3) Id., ibid., p. 3.

« Or nous entendons (i) qu'un mouvement est composé de plusieurs mouvemens, lors que le mobile duquel il est le mouvement, est meû par diverses impressions... »

« Mais nous remarquerons (2) qu'en cette première composition de mouvemens (deux mouvements uniformes de directions fixes) et généralement en toutes les autres, nous pouvons considérer six choses. Sçavoir trois directions qui sont les deux simples, et la composée, et trois impressions qui sont les deux simples et la composée. »

« Or si les trois directions nous sont données, les trois impressions sont aussi données, cest à dire les propoi^tions des vitesses des trois mouvemens. »

Ainsi donc, dans ses Observations sur la composition des mouvemens, Roberval ramène la règle de la composition des forces à la Djmamique, mais à la Dynamique péripatéticienne ; son écrit se soude de la manière la plus naturelle aux Qiiœstiones mechanicœ et aux Causes de Charistion.

Aux Observations sur la compjosition des mouvemetis est annexé (3) le Projet d\m livre de Mécanique traitant des mouvemens composez ; ce livre, dont deux feuillets nous font connaître seulement l'avant-propos, eût, assurément, été rédigé dans le même esprit péripatéticien que les Observations .

Les Observations de Roberval furent imprimées seulement en 1693, longtemps après la mort de l'auteur ; mais la doctrine sur les mouvements composés qui s'y trouvait renfermée, la méthode pour - tirer les touchantes aux lignes courbes w qui s'en déduisait, furent assurément connues beaucoup plus tôt, soit par tradition orale issue de l'enseignement que Roberval donnait au Collège de France, soit par communication de manuscrits. Les pen-

(1) Uoberval, loc. cit., ji. 4.

(2) Id., ibid., |). 0.

(5j lil., ibid., |i. 90.

sées contoniips en cet écrit semblent avoir exercé une profonde influence sur les recherches de Varignon.

u Dès que M. Varignon eut découvert (i) que les mouvemens composez expliquoient aver une grande facilité l'emploi des forces dans les Machines ; qu'ils donnoient exactement les rapports de ces forces, selon quelque direction qu'on les y supposât placées, avantage qui manquoit aux méthodes que l'on avait suivies avant lui ; il s'attacha à en faire l'application aux Machines simples ; et en i685, dans VHistoh-e de la République des Lettres, il donna un Mémoire sur les poulies à moufles (2), dans lequel il se servoit des mouvemens composez pour déterminer tout ce que l'on peut désirer sur cette espèce de Machine. "

En 1687, Pierre Varignon se fit connaître du public par son Projet d'une nouvelle Méchanique (3), dédié à l'Académie des Sciences. Il ne cessa, sa vie durant, de travailler au traité de Statique dont ce Projet traçait le jdan ; mais ce traité (4) ne parut que trois ans après sa

(1) AverUssement à la Nouvelle Mécanique 'ie Varignon.

(2) Pierre Varignon, Bémonstration g(inérale de l'usage des poulies à moufle (Histoire de la Képubmque des Lettres, mai 1687, p. iS"). Je n'ai pu me procurer cel écrit. Je U-anscris ici ce qu'en dit Lagrange {Mécanique Anali/tique, Première Partie, Section 1, Art. 15): •• L"auieur y considère l'é.iuilibre d'un poids soutenu par une corde qui passe sur une poulie, et dont les deux parties ne sont pas parallèles. Il n'y fait point usage ni même mention du principe de la com|)0>ilion des forces, mais il emploie les théorèmes déjà connus sur les poids soutenus par des cordes, et il cite les Statiques de Pardis et de Dechales. Dans une seconde démonstration, il léduit la question au levier, en regardant la droite qui joint les deux points où la corde abandonne la poulie, comme un levier chargé du poids appliqué à la poulie, et dont les extrémités sont tirées par les deux portions de la corde que soutient la poulie. - On voit donc, comme le remarque Lagrange, que l'avertissement à la Nouvelle Mécanique "manque d'exactitude « en prétendant que Varignon « se servoit des mouvemens composez " dans son travail sur les poulies à moufle.

(ii) Projet dune nouvelle méchanique avec un examen de l'opinion de M. Borelli sur les propriétez des poids suspendus par des cordes. (Sans nom d auteur). A Paris, chez la veuve d'Edme Martin, Jean Boudot et Estienne Martin, rue S. Jacques, au Soleil d"or, MDCLXXXVil.

(4) Nouvelle Mécanique ou Statique dont le projet fut donné en

mort, imprimé par les soins de Beaufort et de l'abbé Camus.

Le Projet d'une Nouvelle Méchanique débute par une préface où Varignon initie le lecteur aux démarches par lesquelles son esprit a acquis une vue claire des lois de l'équilibre; l'auteur pense sans doute, par cette confidence, nous faire admirer l'originalité de ses intuitions et la rare profondeur de ses méditations ; mais cet objet n'est qu'imparfaitement atteint ; nous reconnaissons bientôt, dans les réflexions de Varignon, une suite de pensées qu'il est fort habituel de rencontrer dans les traités de Mécanique composés peu de temps avant le sien ; en sorte que ce qui nous frappe, dans l'œuvre de ce géomètre, c'est bien moins la force et la nouveauté des pensées qu'elle contient que la clarté et la fidélité avec lesquelles elle reflète les idées de ses contemporains.

" A l'ouverture du second Tome des Lettres de Monsieur Descartes, dit Varignon (i), je tombai sur un endroit de la 24 où il est dit que cest une chose ridicule que de vouloir employer la raiso?î du Levier dans la Poulie. Cette réflexion m'en fit faire une autre : Sçavoir s'il est plus raisonnable de s'imaginer un levier dans un poids qui est sur un plan incliné que dans une poulie. Après y avoir pensé, il me sembla que ces deux machines étant pour le moins aussi simples que le levier, elles n'en dévoient avoir aucune dépendance, et que ceux qui les y rapportoient, n'y étoient forcez que parce que leurs principes n'avaient pas assez d'étendue pour en pouvoir démontrer les propriétez indépendamment les unes des autres...

MDCLXXXVll. Ouvrage posthume de M. Vnrignon, «ies Académies Royales des Sciences de France, d'Angleterre ol de Prusse, Lecteur du Koy en Pliiloso|»hie au Collège Hoyal, et Professeur de Mathcmatitiues au Collège Mazarin. A Paris, chez Claude Joinbert, rue S. Jacques, au coin de la rue des Maihurins, à l'Image Notre-Dame, MDCCXXV.

(\) Varignon, Projet d'une nouvelle Méchanique, Préface.

» C'est peut-être ce qui a porté M. Descartes et M. WalUs à prendre une autre route ; quoi qu'il en soit, ce n'a pas été sans succez : puisque celle qu'ils ont suivie, conduit également à la connaissance des usages de chacune de ces machines, sans être obligé de les faire dépendre l'une de l'autre ; outre qu'elle a mené M. Wallis beaucoup plus loin qu'aucun Autheur, que je sçache, n'eût encore été de ce côté là.

« La comparaison que je fis de ces deux sortes de principes, me fit sentir que ceux d'Archimède n'étoient ny si étendus, ny si convainquants que ceux de M. Descartes et de M. Wallis ; mais je ne sentis point que les uns ni les autres m'éclairassent beaucoup : J'en cherchai la raison, et ce défaut me parut venir de ce que les autheurs se sont tous plus attachés à prouver la nécessité de l'équilibre, qu'à montrer la manière dont il se fait.

r Ce fut ce qui me fit résoudre à prendre le parti d'épier moi-même la nature, et d'essayer si, en la suivant pas à pas, je ne pourrais point apercevoir comment elle s'y prend pour faire que deux puissances, soit égales, soit inégales, demeurent en équilibre. Enfin je m'appliquai à chercher l'équilibre lui-même dans sa source, ou pour mieux dire, dans sa génération. "

Varignon donne alors un exemple de cette méthode qui permet de découvrir la génération même de l'équilibre ; il analyse l'équilibre d'un corps sur un plan incliné ; il montre comment la tension du fil qui retient le corps et la pesanteur de cette masse ont une résultante précisément normale au plan. Il ne dit rien à cet égard qui ne se trouve déjà dans Stevin, qui n'ait été maintes fois reproduit par Mersenne, par Herigone, par Wallis, par tous ceux qui ont écrit au sujet de la Statique.

« Après avoir ainsi trouvé la manière dont l'équilibre se fait sur des plans inclinez, je cherchai par le même chemin comment des poids soutenus avec des cordes seule-

ment, ou appliquez à des poulies, ou bien à des leviers, font l'équilibre entr'eux, ou avec les puissances qui les soutiennent; et j'aperçus de même que tout cela se faisoit encore par la voye des mouvemens composez, et avec tant d'uniformité que je ne pus m'empêcher de croire que cette voye ne fût véritablement celle que suit la nature dans le concours d'action de deux poids, ou de deux puissances, en faisant que leurs impressions particulières, quelque proportion qu'elles ayent, se confondent en une seule qui se décharge tout entière sur le point où se fait cet équilibre : De sorte que la raison Physique des effets qu'on admire le plus dans les machines me parut être justement celle des mouvemens composez...

» Des vues si étendues me surprirent, et l'évidence avec laquelle le détail de tout cela me paroissoit, indépendamment même du général, me confirma encore dans l'opinion où j'étois, qu'il faut entrer dans la génération de l'équilibre pour y voir en soi, et pour y reconnoître les propriétez que tous les autres principes ne prouvent, tout au plus, que par nécessité de conséquence. «

Comment Varignon est-il arrivé à cette opinion « que la raison physique des elfets qu'on admire le plus dans les machines est justement celle des mouvemens composez « i On n'en saurait douter : 11 y est parvenu par la voie même que Roberval a suivie dans ses Observations ; il y a été conduit par les principes de la Dynamique péripatéticienne dont il ne semble avoir douté en aucun de ses écrits de Statique.

Non seulement Varignon ne révoque pas en doute l'axiome fondamental de la Dynamique d'Aristoie. mais il le formule explicitement (i), il en fait l'axiome premier d'où découleront toutes ses déductions : ^^ Les espaces, dit-il, que parcourt un même corps, ou des corps égaux

(1) Varignon, Projet d'une nouvelle Mechayiique, p. I, Axiome.

dans des tems égaux, sont eiitre-eux comme les forces qui les meuvent ; et réciproquement lorsque ces espaces sont entre-eux comme ces forces, elles les font parcourir au même corps, ou à des corps égaux en tems égaux. »

Mais peut-être obj cetera- t-on que la similitude entre l'axiome d'Aristote et l'axiome de Varignon est une similitude apparente ; que la proposition énoncée par Varignon s'accorderait avec la Dynamique moderne, pourvu que les corps considérés partissent du repos ; que cette restriction était sans doute présente à l'esprit de Varignon, mais qu'il a négligé de la formuler.

Si l'opinion que nous avons émise pouvait être ébranlée par ces doutes, il nous suffirait, pour la raffermir, de lire le début de la Nouvelle Mécanique.

Après avoir déclaré (i) que la Pesanteur est une force ; que « c'est sur cette mesure que se fait d'ordinaire l'estimation de toutes les autres forces moins connues,... de sorte que Ton dit d'une force quelconque, qu'elle est d'une livre, de trois, etc. •», Varignon formule ses axiomes ; et, dans la liste des postulats qu'il énumère, nous trouvons ceux-ci :

« I. Les effets sont toujours proportionnels à leurs causes ou forces productrices, puisqu'elles n'en sont les causes qu'autant qu'ils en sont les effets, et seulement en raison de ce qu'elles y causent. «

« VI. Les vitesses d'un même corps, ou de corps de masses égales, sont comme les forces motrices qui y sont employées, c'est-à-dire, qui y causent ces vitesses ; réciproquement lorsque les vitesses sont en cette raison, elles sont celles d'un même corps, ou de corps de masses égales. ^

« VII. Les espaces parcourus de vitesses uniformes en tems égaux par des corps quelconques, sont entr'eux

(l) Varignon, Nouvelle Mécanique ou Statique, tome l, p. 5.

comme ces mêmes vitesses ; et réciproquement lorsque ces espaces sont en cette raison, ils ont été parcourus en tems égaux. ^

" VIII. Les espaces parcourus en tems égaux par un même corps, ou par des corps de masses égales, sont comme les forces qui les leur font parcourir ; et réciproquement lorsque ces espaces sont en cette raison, ils sont parcourus en tems égaux par un même corps, ou par des corps de masses égales. Cet Axiome-ci est un Corollaire des deux précédens. Ax. 6. 7. «

« Le mot vitesse dans la suite y signifiera toujours vitesse unifoivne, à moins qu'on n'y avertisse du contraire. "

II est impos>ibIe de formuler avec plus de netteté l'axiome dynamique constamment invoqué dans les Physicœ aiiscultationes et dans le De Cœlo, l'axiome supposé dans les Quœstiones mechanicœ ; et, certes, on ne peut sans stupeur songer que celui qui affirme cet axiome d'une manière si claire et si explicite est un mécanicien illustre, contemporain de Newton. L'erreur est vivace ; la déraciner entièrement est long et difficile ; toujours, de quelque souche que l'on croj'ait morte, pousse un surgeon imprévu ; de cette vitalité de l'idée fausse, les opinions que Varignon professait en Dynamique sont un saisissant exemple.

Puisque Varignon admet les principes de la Dynamique d'Aristote, la loi de la composition des forces ne saurait offrir à ses yeux aucune obscurité ; elle est ramenée à la loi de composition des vitesses et s'obtient (i) par la méthode même qu'a suivie Roberval.

Une fois le principe de la composition des forces ainsi établi, Varignon y ramène tous les cas d'équilibre que Ton peut rencontrer dans les machines ; en tous ces cas, les forces résultantes sont annihilées par les appuis. Ce que sont les procédés de réduction employés, à quel point ils

(I) Varignon, Projet d'une nouvelle Méchanique, p. 6. — youirlle Mécanique ou Statique, lome I, p. 14.

sont presque toujours ingénieux, mais trop souvent artificiels, il n'est pas utile que nous le marquions en détail. Beaucoup de ces procédés, devenus classiques, sont encore en usage dans l'enseignement.

C'est seulement dans la Nouvelle Mécanique (i) que Varignon est parvenu au théorème célèbre que nous énonçons aujourd'hui sous cette forme : Par rapport à un point quelconque pris dans leur plan commun, le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme algébrique des moments des compjosantes . Grâce à ce beau théorème, son nom est aujourd'hui connu du plus humble étudiant en Mécanique. Cependant, il n'eut pas grand effort à faire pour le découvrir.

Léonard de Vinci avait déjà aperçu la vérité de cette, proposition dans le cas où le point auquel on rapporte les moments est pris sur la direction de l'une des trois forces ; l'un des moments est alors égal à zéro. Sous cette forme, Stevin l'avait retrouvée et publiée ; après lui, Roberval, Herigone, Wallis, De Challes, Casati, Pardies, Borelli, l'avaient tous reproduite. Une généralisation bien aisée suffisait à donner le théorème qu'expose la Nouvelle Mécanique. Cependant, l'écolier qui répète le nom de Varignon ignore celui de Simon Stevin.

La réduction systématique de la Statique à la règle de composition des forces concourantes ne s'offrit pas seulement à l'esprit de Varignon ; elle se présenta en même temps aux méditations du P. Lamy. Celui-ci exposa ses idées, en 1687, sous forme d'une lettre (2) adressée " à

(1) Varignon, Nouvelle Mécanique, Section première, Lemme XVI; tome I, p. 84.

(2) Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des élémens des Méchaniques. Pour servir d'addition au Traité de Méchanique du R. P. Lamy, Prêtre de l'Oratoire. A Paris, chez André Pralard, rue S. Jacques, à l'Occasion. MDGLXXXVIl. — Les quelques pages dont se compose cet opuscule furent, en effet, accolées aux anciens Traitez de Méchanique du P. Lamy, dont le faux-titre fut également changé et remplacé par celui-ci : Traitez de Méchanique, de l'équilibre des solides et des liqueurs. Nouvelle édition. Où l'on ajoute une nouvelle manière de

Monsieur de Dieulamant, Ingénieur du Roy, à Grenoble».

Citons quelques passages de cette lettre : « i° Lorsque deux forces tirent le corps Z (fig. 1 09) par les lignes AC et BC qu'on appelle lignes de direction de ces deux forces, il est évident que le corps Z n'ira pas ni sur la lisrne AC, ni sur la ligne BC, mais par une autre ligne entre AC et BC, quelle que soit cette ligne que je nomme X, qui sera le chemin par lequel Z marchera.

w 2° Si le chemin X étoit fermé, alors Z qui est déter-

miné à marcher par ce chemin demeureroit immobile, ainsi les forces seroient en équilibre... »

« 4° Force, c'est ce qui peut mouvoir. On ne mesure les mouvemens que par les espaces qu'ils parcourent. Supposons donc que la force A est à B comme 6 est à 2. Donc si A dans un premier instant tiroit à soi le corps Z jusqu'au point E, dans le même instant, B ne l'auroit tiré que jusques en F ; je suppose que CF n'est qu'un tiers de CE. Nous avons vu que Z ne peut pas aller par AC ni par BC ; ainsi il faut que dans le premier instant, il vienne à D où il répond à E et à F, c'est à dire qu'il a parcouru la valeur de CE et de FC.

démontrer les principaux théorèmes de cette Science. Par le P. I>amy, Prêtre de l'Oratoire. A Paris, chez André Pralard, rue S. Jacques, k 1 Occasion. MDCLXXXVIl.

V Tout le monde convient de cela... »

« 6° Cette ligne X a ce rapport avec les lignes de direction des deux forces A et B que, de quel qu'un de ses points qu'on mène deux perpendiculaires sur ces deux lignes, elles sont entre elles réciproquement comme ces forces, ou comme DE à DF. »

Après avoir réduit à la composition des forces la théorie du plan incliné et du treuil, la loi d'équilibre d'une verge soutenue par deux cordes, etc., le P. Lamy ajoute : « Je ne crois donc pas qu'on puisse souhaiter un principe plus simple et plus fécond pour résoudre tous les problèmes qu'on peut faire sur les Méchaniques, et déterminer exactement la force de toutes les machines, de quelque manière qu'on leur applique les forces dont on se sert pour les remuer, y^

L'analogie était très grande entre les idées que Varignon exposait dans son Projet d'une Nouvelle Méchanique et celle que le P. Lamj esquissait en môme temps dans la lettre à M. de Dieulamant. Aussi, dans V Histoire des Ouvrages des Sçavans de 1688. Basnage accusa-t-il le P. Lamy de plagiat à l'égard de Varignon : " Il y a apparence, disait-il, que le P. Lamy doit à M. Varignon la découverte de ces nouveaux principes de Méchanique. " Le P. Lamy se défendit (i) très vivement contre cette accusation et affirma l'indépendance non douteuse de sa découverte par rapport aux recherches de Varignon.

Le P. Lamy eût été en droit de signaler une différence entre la démonstration qu'il donnait de la loi du parallélogramme des forces et celle qu'en donnait Varignon, et de tirer vanité de cette différence ; elle était cependant bien minime en apparence ; elle consistait toute dans l'in-

(1) La Nouvelle édition des Traitez de Méchanique du P. Lamy se termine par un Extrait du Journal des Sçavans du Lundy 13 septembre 1688. Mémoire servant de Réponse à ce que l'Auleur de l'Histoire des ouvrasses des Sçavans dit au mois d'avril 1G88, art. 5, touchant une lettre oij le P. Lamy proposa l'année dernière une nouvelle manière de démontrer les principaux Théorèmes des Élémens de Méchanique.

troduction de ces quelques mots : « Dans le premier instant v ; mais elle était bien profonde en réalité, puisque d'un raisonnement qui rapportait la loi de la composition des forces à la Dynamique péripatéticienne, elle faisait un raisonnement capable de rattacher la même loi à la Dynamique moderne. Il est bien vrai, en effet, selon cette Dynamique, que si diverses forces, constantes ou variables, agissent successivement sur un même mobile partant du repos, les vitesses qu'elles lui communiquent au bout d'un temps infiniment petit, le même pour toutes, sont proportionnelles aux intensités de ces forces.

En même temps donc qu'il proposait de réduire toute la Statique à un principe unique, représenté par la règle de la composition des forces, le P. Lamy parvenait à tirer cette règle des lois d'une Dynamique exacte. Or, au moment même où il adressait sa lettre à M. de Dieulamant. Newton faisait paraître son immortel ouvrage (i) sur les Principes mathématiques de la Philosophie naturelle. Le grand géomètre se proposait, lui aussi, de tirer des principes sur lesquels repose la science du mouvement une justification de la loi de la composition des forces ; il y parvenait en suivant exactement la même voie que le P. Lamy ; peut-être marquait-il cette. voie d'une manière un peu moins claire que ne l'avait fait le savant oratorien.

A chaque force, Newton fait correspondre (2) ce que Ton pourrait nommer une force instantanée, ce qu'il désigne par les mots : vis impressa. Au sujet de cette vis impressa, il donne cette indication : « Consistit hsec vis in actione sola, neque post actionem permanet in corpore. y> Il semble que sous cette formule, tiop concise pour être claire, il faille deviner la pensée suivante : La vis impressa est l'effet produit par une force qui agit sur

(1) Philosophiœ naturalis principia mathemalica, auciore Isaaco Nowlono. Londini, MDCLXXXVU.

(2) Newton, loc. cit., Uelinitiones. Detinilio IV.

un mobile pendant un temps infiniment petit, choisi une fois pour toutes.

La vis impressa détermine alors le mobile à se mouvoir en ligne droite, d'un mouvement uniforme dont, pour un mobile donné, la vitesse est proportionnelle à l'intensité de la force qui a été appliquée pendant un instant. De là, Newton tire sans peine la démonstration (i) de la loi du parallélogramme des forces.

Lorsque nous comparons aujourd'hui la déduction par laquelle Newton et le P. Lamy ont obteim la loi de composition des forces concourantes à la voie par laquelle Varignon est parvenu au même résultat, nous faisons entre ces deux méthodes une extrême différence. Varignon obtient la loi du parallélogramme des forces au moyen de la loi de composition des vitesses et de cet axiome : Une force est dirigée comme la vitesse du mouvement qu'elle produit ; elle est proportionnelle à cette vitesse. Newton et le P. Lamy, au contraire, font usage de la règle de composition des accélérations et de ce postulat : L'accélération d'un mobile est dirigée comme la force qui le sollicite et est proportionnelle à cette force. De ces deux principes, nous réputons le premier erreur grave et le second vérité essentielle.

Il ne paraît pas que les géomètres du xvii'' siècle ou du xviii^ siècle aient attaché la moindre importance à cette distinction. Les propositions auxquelles la Dynamique péripatéticienne avait, depuis deux mille ans, accoutumé les physiciens étaient encore familières à tous les esprits ; on continuait tout naturellement à les invoquer toutes les fois que leurs conséquences Jie heurtaient pas trop violemment les vérités découvertes par la nouvelle Dynamique.

De ce que nous venons d'avancer, les écrits de Varignon ne nous offrent-ils pas un exemple saisissant ?

Lorsqu'en 1687, Varignon donne son Projet d'une

(1) Newton, loc. cit., Axiomata, sive leges molus. Corollarium I.

nouvelle Méchanique, il prend pour point de départ de ses déductions des axiomes que l'on dirait empruntés à la Physica auscultatio ou au De Cœlo. Mais, à ce moment, Lamy et Newton montrent que les mêmes conséquences se peuvent tirer d'une Dynamique exacte. Varignon a sûrement connu la Lettre du P. Lamy et il serait de toute invraisemblance qu'il eût ignoré les Principes de Newton. En ces deux écrits, il trouvait le moyen de corriger ses raisonnements et de les rendre saufs de toiit emprunt à une Physique surannée. S'est-il soucié de le faire ? Aucunement. Pendant trente- cinq ans, il consacre ses eiforts à développer les indications contenues dans le Projet, et la Nouvelle Mécanique qu'il produit par ce labeur persévérant se trouve plus profondément imprégnée de Dynamique péripatéticienne que son premier essai.

La Néo-Statique du P. Saccheri prête à des remarques analogues.

Le P. Saccheri est originaire de San Remo, où il naquit <à une date inconnue. Il mourut à Milan, le 5 octobre 1733. L'année même de sa mort, il avait publié un livre de géométrie intitulé : Euclides ah omni nœvo vindicatiis (1).

Cet ouvrage suffit à prouver que le P. Saccheri était un logicien original et puissant. Il lui a valu l'honneur d'être salué par Beltrami (2) comme un précurseur de Legendre et de Lobatchewsky ; et M. P. Mansion (3) a pu dire de cet ouvrage : " Malgré ses défauts, YEuclidcs àb omni nœvo vindicatus est l'ouvrage le plus remarquable que

(!) f'Aiclides nb omni nœvo vindicatus sive conatus qeometricus quo stahiliuiiUir prima universae geomeUiœ |)ritu'ipia, auetoio Hieronymo Saccheiio, Soeioialis Jesu, in 'l'irinensi Universilale MaUieseos in-ofessore. Opusculuin ex"'" Senalui Mcdiolanensi ab auctore dicaluui. Mciliolani, MDCrAXXIII. Kx typn<:rapii a Paul! Anlonii Montani.

(-2) li. Ik'll! ami, Lhi precursore italiano di Legendi'e e di Lobatcheicski (Rendiconti Di'i.LA W. AccADEMiA DEi LiNCEi, t. V, p. 441 ; 17 mars 1889).

(5) 1». Maiisi.m, Analyse des recherches du P. Saccheri, S. J , sur le Postulatum d'Euclide (Annales de i,a Société scientifique de Biiuxelles, XlVc iinnée, iS8i)-90, seconde partie, p. 4G).

l'on ait écrit sur les Éléments avant Lobatchewsky et Bolyai. »

Un tel géomètre semble particulièrement apte à éviter les paralogisraes lorsqu'il traite des principes de la Mécanique; en sorte que l'on pourrait croire sa Néo-Statique (i), publiée en 1708, exemple de toute contradiction.

Un écrit de son confrère, le P. Ceva(2), avait signalé à l'attention du P. Saccheri certaines propriétés remarquables d'une pesanteur qui attirerait les éléments de volume des divers corps vers un centre fixe, et dont l'intensité serait proportionnelle à la distance de l'élément attiré au centre commun des graves.

Cette loi de gravité est précisément celle que Jean de Beaugrand, le Géostaticien, avait proposée et que Fermât acceptait avec quelques nuances.

Au sujet d'une pesanteur soumise à cette loi, Saccheri se propose de démontrer deux propositions qui sont, d'ailleurs, parfaitement exactes.

La première de ces propositions, qui semble condenser ce que les vues erronées de Fermât contenaient de vérité diffuse, peut se formuler ainsi : Si la gravité suit une telle loi, la pesanteur résultante d'un corps passe toujours par un point [centre de gravité] qui occupe, dans ce corps, une position absolument fixe et indépendante de la situation du corps.

La seconde de ces propositions affirme qu'un point, abandonné sans vitesse initiale et tombant en chute libre, mettra toujours le même temps pour parvenir au centre commun des graves, quelle que soit, au début du mouvement, sa distance à ce centre.

Des deux propositions que Saccheri se propose d'établir,

{\) Neo-Statica auclore Hicronymo Saccherio, 0 Socielate Jesii, in Ticinensi Universitate matheseos professore, excellentissimo Senalui Medioianensi; MDCCVIIl. Ex typographia Josephi Pandiilphi Malateslse.

Je dois au R. P. Thirion la connaissance et la communication de ce rare ouvrage ; qu'il me permette de lui en exprimer ici ma vive reconnaissance.

(2) Cf. Saccheri, Neo-Statica, lil). IV, Inlroductio, p. 125.

l'une ressortit à la Statique et l'autre à la Dynamique ; il nous sera donc donné de connaître les principes que le savant Jésuite emploie en ces deux branches de Mécanique.

Au point de départ de ses déductions, Saccheri place la notion de momentum. (i) ; cette notion, voisine de celle que Galilée nommait mémento, identique à la quantité de mouvement de Descartes , s'obtient en multipliant la masse (2) du mobile par la vitesse dont il est animé ; à cette vitesse même, Saccheri donne, en général, le nom d'impetus (3).

La composition et \-a décomposition des momenta ou des impetus n'est pas autre chose que la composition et la décomposition des vitesses ; de ce problème, il n'est point malaisé à Saccheri d'exposer la solution, connue depuis Aristote. Mais bientôt (4), nous voyons que les propositions ainsi obtenues subissent une insensible transposition; un imperceptible glissement transporte à la vis motrix ce que l'on avait prouvé de Yimpetiis, et les lois cinématiques de la composition des vitesses se transforment en lois statiques de la composition des forces, sans que l'auteur ait paru s'apercevoir de ce changement, que le lecteur discerne à grand'peine.

C'est par une telle transposition àe^ forces aux impetus que se trouve évaluée (5) la pesanteur apparente d'un grave sur un plan incliné. Sans doute, il est question, en cette évaluation, de vitesse à partir du repos (impetus ex quiète) et l'on pourrait y voir l'indication que les forces doivent être mesurées par la vitesse qu'elles impriment, au bout d'un temps infiniment court, au mobile partant du repos ; les raisonnements de Saccheri seraient alors semblables à ceux de Lamy et de Newton ; ils seraient

(1) Saccheri, Neo-Slatico, lib. l, Definiiiones, p. 5. [t) ki., ibid., lib. I, Definilio 7. p. 2.

(3) Id , ibid., lib. I, Uefinilio 9, p. ±

(4) Id., ibid., lib. I, Pro|»p. IX, X, XI.

(5) Id., ibid.. lib. I, l'ropp. XXVII ei XXVjil.

exacts. Mais aucun commentaire du moi ex quiète n'indique qu'il lui faille, en ce lieu, attribuer une telle importance ; dénué de tout rôle dans les considérations de Statique que développe Saccheri, il semble n'être qu'un subterfuge pour rendre moins criarde la contradiction qui éclate entre cette Statique et la Dynamique du même auteur.

Est-il possible, d'ailleurs, de douter un seul instant que Saccheri regarde la vis motrix comme proportionnelle à Vimpetus, comme identique au momentum, lorsqu'on lit cette définition (1) du centre de gravité :

« Par centre de gravité, nous entendons, en tout grave, ce point par lequel passe la direction naturelle de Vimpetus composé qui tend au centre commun des graves; on doit comprendre que cette direction résulte de l'ensemble des impetus naturels par lesquels les diverses parties du grave tendent au même centre, «

11 est bien clair que la Statique de Saccheri repose tout entière sur la supposition que la force est proportionnelle à Vimpetus, c'est-à-dire à la vitesse. Comme la Statique de Varignon, elle emprunte tous ses principes à la Dynamique d'Aristote.

Or, lorsqu'il aborde des problèmes de mouvement, c'est la Dynamique de Newton qu'invoque Saccheri.

Prenant un point pesant qui décrit une certaine trajectoire (2), il considère Vimpetus vivus de ce point, c'està-dire (3) la vitesse dirigée suivant la tangente à la trajectoire; il considère aussi, suivant une direction quelconque D, Vimpetus suhnascens ; cette grandeur est identique, d'après ce qu'il a sans cesse admis dans ses deux premiers livres, au quotient, par la masse du point, de la composante du poids suivant la direction D. Si Saccheri était conséquent avec les principes dont il a tiré sa Statique, il égalei'ait Vimpetus suhnascens selon la direction D à la

(1) Saeclini, Neo-Skitica, lib. H, Detinitio 5, p. 55.

(2) Id., ibid., lib. 111, Prop. 1.

(3) 1(1., ibuL, lil). III, Admonilio, j). 84.

composante de Yimpetus viviis selon la même direction. Ce n'est pas ce qu'il fait ; à Yimpetus subnascens, il égale Y accroissement (incrementum) de la composante suivant D de Yimpetus vivus. Pour parler notre moderne langage, il égale le quotient par la masse du mobile de la composante du poids suivant une certaine direction à la composante de Y accélération suivant la même direction ; l'égalité qu'il pose ainsi est le principe même de la Dynamique de Newton.

Nous voyons ainsi Saccheri, qui est un géomètre très habile et un logicien très subtil, se servir, pour traiter des problèmes de Dynamique newtonienne, de propositions de Statique qu'il a établies en suivant la méthode d'Aristote. Tout aussi bien, nous verrions le grand Euler, alors qu'il expose en un admirable traité (i) la Mécanique issue de l'œuvre de Newton, adopter en bloc les lois de Statique que Varignon a fondées sur les principes péripatéticiens.

Ces exemples suffisent à montrer combien la substitution de la Dynamique moderne à la Dynamique d'Aristote a été lente et malaisée. C'est que la Dynamique dAristote offrait une traduction bien plus immédiate des expériences les plus obvies ; infiniment plus abstraite, la Dynamique moderne est le fruit d'un prodigieux eiFort de réflexion et d'analyse ; il a fallu des siècles pour déshabituer l'esprit humain de la première et pour l'accoutumer à la seconde.

7. La lettre de Jean Bernoulli à Varignon (1717) L'énoncé définitif du pyHncipe des déplacements virtuels

En l'an 1687, il semble que la Mécanique ait pour toujours renoncé à la méthode des déplacements virtuels de

(1) Mechanica sive Motus Scientia, analytice exposita, aueiore Leonhardo Eulero, Acadeiniae Imper. Scientiarum membro et malheseos sublimioris piofessori'. Instar su()pleinenli ad Coininentar. Acad. Scient. Imper. Petropoli, ex lypogiaphia Academiae Scientiarum. An. 173G.

Jordanus, de Descartes et de Wallis, aussi bien qu'à la métliOde des vitesses virtuelles d'Aristote, de Charistion et de Galilée. Tous ceux qui ont écrit sur la Statique après Wallis, à l'exception de Casati et de De Challes, ou bien ont passé ces méthodes sous silence, ou bien ont déclaré que l'esprit n'y trouvait pas une suffisante assurance pour y prendre le fondement de la Statique ; tout au plus ont-ils consenti à en faire un corollaire de propositions construites sur d'autres hypothèses.

Après s'être etForcés d'asseoir toute la Statique sur le principe du levier, ils ont reconnu dans la loi de composition des forces concourantes un axiome d'où se peuvent aisément déduire les règles d'équilibre de toutes les machines ; en rattachant directement cette loi aux premiers principes de la théorie du mouvement, ils lui ont conféré une clarté et une certitude qui conviennent parfaitement à l'hypothèse sur laquelle doit reposer toute une doctrine.

La Statique semblait donc définitivement engagée dans la voie que Varignon traçait en son Projet d'une Nouvelle Méchanique, que le P. Lamy marquait dans sa lettre à M. de Dieulamant. Elle n'avait plus qu'à progresser dans la direction que ces auteurs lui avaient assignée. A ce progrès, d'ailleurs, Varignon consacrait le reste de sa vie ; il s'efforçait de conduire la Statique au but qu'il lui avait montré ; de ses efforts résultait cette Nouvelle Mécanique ou Statique qui, publiée peu de temps après la mort de son auteur, devait rester si longtemps classique.

Quant à la méthode des déplacements virtuels, dont nous avons suivi le développement continu de Jordanus à Descartes et à Wallis, il semblait qu'elle fût définitivement condamnée et qu'elle n'eût plus qu'à rentrer dans l'oubli.

Lorsqu'on suit le développement lent et compliqué par lequel une science se perfectionne, on voit parfois une idée qui, pendant un certain temps, a brillé d'un vif éclat, s'obscurcir peu à peu et cesser d'être perçue ; il

semble quelle soit à tout jamais éteinte. Mais bien souvent, cette disparition, que l'on prendrait pour une définitive extinction, n'est qu'une éclipse de peu de durée ; le moment où l'idée est devenue invisible à tous les j^eux pi'écède à peine celui où elle va reparaître, plus brillante qu'elle n'a jamais été, comme si elle s'était cachée un instant pour se reposer, pour reprendre de nouvelles forces et un nouvel éclat.

Déjà, nous avons vu la méthode des déplacements virtuels, qui s'était montrée si féconde dans les écrits de Jordaiius, du Précurseur de Léonard de Vinci, de Léonard lui-même et de Cardan, négligée ou repoussée par Guido Ubaldo, par Benedetti et par Stevin. Mais le moment même où elle semblait complètement abandonnée est précisément celui où elle fut reprise par Roberval et surtout par Descartes, où son principe se dégagea, clair et autonome, de toute alliance avec le postulat des vitesses virtuelles et avec la Dynamique d'Aristote.

Nous allons cissister à une résurrection toute semblable de la méthode des déplacements virtuels ; c'est dans le livre même qui semble consacrer l'irrémédiable défaite de cette méthode et le triomphe définitif de la Statique fondée sur la composition des forces, c'est dans la Nouvelle Mécanique de Varignon que nous allons voir le principe d'où découle cette méthode revêtir sa forme achevée.

Dans sa Nouvelle Mécanique, en etfet, Varignon insère ( 1 ) une lettre que Jean BernouUi lui avait adressée de Bâle le 26 janvier 1717. Cette lettre contient le passao-e suivant :

« Concevez plusieurs forces ditîerenles qui agissent suivant diâérentes tendances ou directions pour tenir en équilibre un point, une ligne, une surAice, ou un corps ;

(1) Pierre Vorijjnon, Nouvelle Mécanique ou Statique; seclion l\. Corollaire général de la Théorie précédente. Tome II, p. 174.

concevez aussi que l'on imprime à tout le système de ces forces un petit mouvement, soit parallèle à soi-même suivant une direction quelconque, soit autour d'un point fixe quelconque : il vous sera aisé de comprendre que par ce mouvement chacune de ces forces avancera ou reculera dans sa direction, à moins que quelqu'une ou plusieurs des forces n'ayent leurs tendances perpendiculaires à la direction du petit mouvement ; auquel cas cette force, ou ces forces, n avanceroient ni ne reculeroient de rien ; car

ces avancemens ou reculemens, qui sont ce que j'appelle vUesses virtuelles (i), ne sont autre chose que ce dont chaque ligne de tendance augmente ou diminue par le petit mouvement ; et ces augmentations ou diminutions se trouvent, si l'on tire une perpendiculaire à l'exirémité de la ligne de tendance de quelque force, laquelle perpendiculaire retranchera de la même ligne de tendance, mise dans la situation voisine par le petit mouvement, une petite partie qui sera la mesure de la vitesse vi?^tuelle de cette force.

T Soit, par exemple, P (fig. i lo) un point quelconque

(1) On voit que Jean BernouUi a donné le nom de vitesses virtuelles à (les longueurs, et non point à des vitesses ; le nom de déplacements virtuels eût seul été correct ; cette fâcheuse dénomination a persisté en Mécanique, où beaucoup d auteurs nomment encore Principe des vitesses virtuelles un principe oij les vitesses n'ont que faire et qui devrait se nommer Principe des déplnce^nents virtuels.

dans le système des forces qui se soutiennent en équilibre ; F, une de ces forces, qui pousse ou qui tire le point P suivant la direction FP ou PF ; Pp, une petite ligne droite que décrit le point P par un petit mouvement, par lequel la tendance FP prend la direction fp, qui sera ou exactement parallèle à FP, si le petit mouvement du système se fait eu tous les points du système parallèlement à une droite donnée de position (1) ; ou elle fera, étant prolongée, avec FP, un angle infiniment petit, si le petit mouvement du système se fait autour d'un point fixe. Tirez donc PC perpendiculaire sur fp, et vous aurez Cp pour la Vitesse virtuelle de la force F, en sorte que F X Cp fait ce que j'appelle Énergie. Remarquez que Qp est ou affîrmatif ou négatif ])2iV rapport aux autres : il est affirmatif si le point P est poussé par la force F, et que l'angle FP;j soit obtus ; il est négatif, si l'angle FPp est aigu ; mais au contraire, si le point P est tiré, Cp sera négatif lorsque l'angle FPp est obtus ; et affîrmatif lorsqu'il est aigu.

y Tout cela étant bien entendu, je forme cette Proposition générale : En tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière qu'elles soient appliquées, et suivant quelques directions quelles agissent les unes sur les autres^ ou médiatement, ou immédiatement, la somme des Energies affirmatives se?-a égale à la somme des Énergies négatives prises affirmativement . »

C'est en ces termes que BernouUi formule le principe, désormais complet, d'où l'on peut tirer toutes les lois de l'équilibre.

Comment Jean Bernoulli est-il parvenu à la connaissance de cet axiome général ? Ce que Varignon nous a communiqué de sa lettre ne nous donne aucun renseignement à cet égard ; mais il ne semble pas fort malaisé de

(i) Le lecteur remaaiuera que Jean Bernoulli introduit dans son énoncé quelques afflrnialions inexactes et quelques restrictions inutiles ; nous ne nous arrêterons pas ù relever ces vétilles.

deviner ce que> nous ne connaissons point par document positif.

La distance, en eifet, est bien courte (^t bien aisée à francliir entre la forme que Wallis avait donnée au principe des déplacements virtuels et la forme que cet axiome vient de prendre ; pour passer de l'une à l'autre, il suffit de déclarer ouvertement ce que Wallis soupçonnait déjà, de considérer nettement des déplacements intinitésimaux, des travaux infiniment petits ; cette transformation ne pouvait offrir aucune difficulté à un géomètre rompu aux considérations de l'analyse infinitésimale. Il paraît donc très vraisemblable que Jean Bernoulli soit parvenu à son énoncé du principe des déplacements virtuels en coordonnant et en perfectionnant les affirmations éparses dans l'oeuvre de Wallis. Par Wallis et par Descartes, son œuvre se reliait avec continuité aux ébauches de Jordanus et des mécaniciens de son Ecole.

Ce n'est pas que la méthode des déplacements virtuels dont Bernoulli vient de donner l'énoncé général et précis, ravisse d'emblée tous les suffrages et que tous les mécaniciens y reconnaissent le principe d'où doit découler la Statique entière. Varignon, qui nous ftiit connaître la découverte du grand géomètre de Baie, refuse d'y voir un principe ; il n'y reconnaît qu'un " corollaire général de la théorie " qu'il a fondée sur la loi du parallélogramme des forces. « Cette proposition me parut si générale et si belle, dit Varignon (i), que, voyant que je la pouvais aisément déduire de la théorie précédente, je lui demandai la permission qu'il m'accorda, de l'ajouter ici avec la démonstration que cette théorie m'en fournissoit, et qu'il ne m'envoyoit pas. La voici séparée pour toutes les machines précédentes. » Et, sans se lasser, Varignon consacre cinquante pages à prouver que toutes les machines dont il a tiré les conditions d'équilibre de la loi de la com-

(1) Varignon, Nouvelle Mécanique ou Statique, tome II, j). 174.

position des forces vérifient l'égalité posée par BernouUi. Ainsi en avaient agi Guido Ubaldo avec l'axiome d'Aristote et le P. F^ardies avec l'axiome de Deseartes. Ils avaient refusé à ces postulats largos et féconds le titre de principes pour les reléguer au rang de corollaires.

Nous arrêtons ici cette Histoire. Avec la Nouvelle Mécanique de Varignon, avec la lettre de Jean Bernoulli, se trouve close cette période du développement de la Statique qui mérite d'être appelée les Origines ; la Période classique est ouverte. Nous avions entrepris de rechercher les sources d'un fleuve ; nous en avons décrit le bassin supérieur, aux gorges sinueuses et tourmentées ; le fleuve entre maintenant dans une plaine aux molles ondulations où, dans un large lit, ses flots vont poursuivre leur cours paisible.

Au moment où nous cessons de le suivre, ce fleuve est divisé en deux bras, son courant se partage en deux directions diflerentes, et ces deux directioiis semblent orientées par les deux impulsions que la Statique a reçues dès l'origine ; en l'une, nous reconnaissons la tendance d'Archimède ; en l'autre, la tendance d'Aristote.

D'Archimède à Varignon, les géomètres ont poursuivi un même idéal ; ils le poursuivront encore de Varignon à Poinsot, de Poinsot jusqu'à nos comtemporains. Ils ré vent de construire la Statique sur le modèle des Éléments de Géométine d'Euclide. Ils veulent que, par une analyse aussi patiente qu'ingénieuse, les cas d'équilibre les plus compliqués des systèmes les plus divers soient décomposés, dissociés, jusqu'à ce que l'on voie clairement les équilibres simples, élémentaires, dont l'agencement complexe les a produits ; ils veulent, en outre, qu'en ces cas simples et élémentaires, le maintien de l'équilibi-e ait même évidence et même certitude que ces véiites de sens commun dont Euclide a fait ses demandes. Donner à la Statique des principes que l'on puisse réputer aussi clairs

et assurés qtie les axiomes de la Géométrie, tel était déjà l'objet d'Archimède lorsqu'il composait son Traité Ilepî ëTTtTTS'-îojv to-opp'jTTuwv ; tel étult eucore le désir de Daniel Bernoulli, puis de Poisson, lorsqu'ils s'efforçaient d'établir la loi du parallélogramme des forces sans foire appel aux principes généraux de la Dynamique.

Tandis que ce courant entraîne un bon nombre de mécaniciens, d'autres suivent la direction qu'Aristote avait déjà imprimée à la Statique. Leurs efforts ne tendent point à une analyse qui dissocie les lois les plus complexes de l'équilibre et les réduise à des propositions élémentaires claires et évidentes de soi ; ils tendent bien plutôt à une large synthèse ; tous les cas de repos que l'on rencontre dans la nature ou que l'art réalise, ils s'efforcent de les embrasser en un principe unique et universel. Assurément, ils tirent ce principe de quelques observations simples et obvies ; mais l'extrême généralisation par laquelle ils passent de quelques expériences particulières à une loi si ample, efface en celle-ci tout caractère d'évidence immédiate. Plus la science, en se développant, prend conscience des procédés logiques qu'elle met en œuvre, et mieux elle comprend que la certitude d'une hypothèse aussi générale ne pouvait être contenue dans les quelques fo,its qui l'ont suggérée ; mieux elle voit que ce qui confirme cette hypothèse et nous assure de sa valeur, c'est l'aisance avec laquelle elle classe la multitude des lois diverses que l'expérience a découvertes, c'est la sûreté avec laquelle elle annonce à l'expérience de nouvelles lois à découvrir.

C'est cette dernière tendance qui a conduit les géomètres, depuis Jordanus et ses élèves jusqu'à Roberval et à Descartes, depuis Descartes et de Wallis jusqu'à Jean Bernoulli, à préciser et à étendre sans cesse le principe des déplacements virtuels.

Entre ces deux tendances dont chacune s'efforce de diriger la Statique, le conflit est incessant. Mais un

observateur impartial de cette lutte n'a point de peine à reconnaître les qualités des deux méthodes. Certes, l'esprit d'analyse, par sa critique méticuleuse, contribue à dégager de toute trace d'erreur les vérités que l'esprit de synthèse a fait découvrir ; mais ses propres découvertes, rares et maigres, ne servent qu'à mieux prouver sa stérilité. La fécondité est l'apanage de l'esprit de synthèse ; c'est la méthode des déplacements virtuels qui, sans cesse, élargit le champ de la Statique.

L'emploi exclusif de cette méthode caractérise la Mécanique analytique de Lagrange.

L'œuvre de Lagrange est le confluent où viennent se réunir tous les courants qui, successivement, ont entraîné la Statique, où aboutissent toutes les tendances qui en ont diversement orienté l'évolution,

La Statique a mis à l'origine de ses déductions tantôt le principe du levier, tantôt les propriétés du plan incliné, tantôt la loi de la composition des forces ; tous ces principes sont équivalents entre eux, et leur équivalence résulte de ce fait qu'ils découlent tous immédiatement du principe des déplacements virtuels. Ainsi la science de l'équilibre se trouve ramenée par Lagrange à une parfaite unité ; elle se trouve tout entière condensée dans une seule formule.

Varignon, reprenant une idée qu'Albert de Saxe et Guido Ubaldo avaient esquissée, s'est efforcé de trouver la raison de tous les cas d'équilibre dans les pressions que les corps mobiles exercent sur leurs appuis. Lagrange tire de la méthode des déplacements virtuels im procédé aussi simple que sûr pour définir et déterminer ces pressions qu'annulent les liaisons.

La doctrine d'Albert de Saxe, selon laquelle le centre de gravité de tout corps pesant tend à s'unir au centre commun des graves, a fourni un principe de Statique que Galilée et Torricelli énoncent en ces termes : Un svstème est en équilibre lorsque tout changement de sa disposition obligerait son centre de gravité à s'élever. Ce })rincij)e est

demeuré longtemps séparé du i)i'iiicipe de l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant, du principe de Jordanus, de Descartes, de Wallis et de Jean BeruouUi. Lagrange met cà nu le lien étroit qui unit ces deux principes.

Le principe de Torricelli n'est pas l'exact équivalent du principe de Jean Bernoulli ; celui-ci prévoit tous les cas d'équilibre, celui-là en exclut quelques-uns ; c'est grâce à la théorie générale de la stabilité, créée par Lagrange, que l'on peut caractériser les cas d'équilibre que fait connaître le principe de Torricelli et montrer que ce sont les seuls équilibres stables.

Les physiciens se sont efforcés de tirer le principe fondamental de la Statique des lois de la Dynamique ; Roberval et Varignon ont ainsi déduit la loi du parallélogramme des forces de l'antique Dynamique péripatéticienne, de la proportionnalité entre la force et la vitesse ; le P. Lamy et Newton l'ont, plus justement, déduite de la proportionnalité entre la force et l'accélération. D'Alembert a, en quelque sorte, retourné la question et montré comment tout problème de mouvement se pouvait ramener à un problème d'équilibre. Lagrange demande alors à la méthode des déplacements virtuels la formule qui met en équation tout problème de mouvement.

Les assemblages de corps solides ne sont d'ailleurs point les seuls systèmes dont l'équilibre dépende du principe des déplacements virtuels ; la Statique des systèmes déformables et, particulièrement, des fluides, découle tout entière de ce principe ; les diverses méthodes propres à traiter l'Hydrostatique qu'ont proposées Newton, Bouguer, Clairaut, Euler, peuvent toutes se ramener à cette méthode générale.

Ainsi, par la méthode des déplacements virtuels, Lagrange constitue une Statique admirablement une et ordonnée, où se classent en un ordre parfait toutes les lois de l'équilibre des corps solides ou fluides, où tous les

désirs légitimes de ceux qui ont promu la science de l'équilibre trouvent leur pleine satisfaction.

Après Lagrange, la méthode des déplacements virtuels reste la méthode la plus précise, la plus générale, celle que les mécaniciens appellent à leur aide toutes les fois qu'il s'agit de dissiper une obscurité, de résoudre une embarrassante difficulté.

Navier a obtenu, sans le secours de cette méthode, les équations indéfinies de l'équilibre élastique ; mais, lorsqu'il veut, compléter son œuvre et joindre aux équations indéfinies les conditions aux limites qui achèvent la détermination du problème, il reprend ce problème par la méthode des déplacements virtuels.

Poisson pense que l'élasticité d'un corps cristallisé ne dépend, en général, que de 1 5 coefficients ; Cauchy et Lamé en portent le nombre à 36 ; c'est en usant des procédés de Lagrange que Green peut trancher le débat et prouver que le nombre exact de ces coefficients est 21.

Par le principe de l'équilibre des canaux, que Clairaut a imaginé et que Lagrange a déduit du principe des déplacements virtuels, Laplace a obtetju l'équation de la surface capillaire ; mais ses démonstrations sont peu sûres lorsqu'il veut établir les lois qui régissent le contact du liquide et du tube ; la constance de l'angle de raccordement est postulée et non démontrée. Gauss, dans un travail qui office l'un des plus beaux exemples de la méthode de Lagrange, démontre avec une entière précision l'ensemble des lois de la capillarité.

La théorie de l'équilibre des plaques élastiques semble poser aux géomètres une désespérante énigme ; Cauchy et Poisson ne s'accordent pas dans l'énoncé des conditions qui doivent être vérifiées au bord d'une plaque ; les conditions qu'ils proposent sont surabondantes. C'est encore la méthode des déplacements virtuels qui permet à Kirchhoif de donner le mot de l'énigme, d'écrire, sans omission

ni répétition, toutes les conditions requises au bord d'une plaque élastique.

Certes, la méthode des déplacements virtuels peut être fière du domaine qu'elle a conquis et auquel elle a imposé des lois si claires et un ordre si parfait ; mais voici qu'à la fin du XIX* siècle de nouvelles contrées, prodigieusement riches et étendues, viennent accroître son empire. Ce ne sont plus seulement les équilibres mécaniques qui se soumettent à ses arrêts ; elle pose, avec une souveraine autorité, les conditions des équilibres qui mettent fin aux changements d'état physique ou aux réactions chimiques, comme de ceux qui s'établissent en des systèmes électrisés et aimantés. La graine infime semée par Jordanus ne s'est pas contentée de produire la Mécanique analytique de Lagrange ; elle a encore engendré la Mécanique chimique et la Mécanique électrique de Gibbs et de Helmholtz.